SIMR_WRR_05.pdf

(1188 KB) Pobierz

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE

WYKŁAD 5

785977901.050.png

785977901.051.png

Równania różniczkowe rzędu drugiego

Równania rzędu drugiego sprowadzalne do równań

rzędu pierwszego

Równanie różniczkowe rzędu drugiego postaci

0

xF

(

,

y

'

,

y

"

)



( y nie występuje w sposób jawny ) sprowadza się przez podstawienie

y 

' x

u

)

do równania

xF

(

,

u

,

u

'

)



0

2

785977901.052.png

785977901.053.png

785977901.001.png

785977901.002.png

785977901.003.png

785977901.004.png

785977901.005.png

785977901.006.png

785977901.007.png

785977901.008.png

785977901.009.png

785977901.010.png

785977901.011.png

785977901.012.png

785977901.013.png

785977901.014.png

Równania różniczkowe rzędu drugiego

Przykład

Rozwiązać równanie

'

( y



yx 

)

"

Cy 

 ,

C

R

Funkcja

jest jednym z rozwiązań równania.

Dla C

y 

otrzymujemy u

(



ux 

)

'

y 

' x

u

)

stosując podstawienie

du

dx

 1

Rozdzielając zmienne x

i całkując obustronnie dostajemy

u



ln

u ln



ln

|

1



|



C

Cu 



( x

)

, czyli

dy 

Zatem Cx



C

dx

1 C

2

y



C

(

x



2

x

)



1

2

Stąd

3

785977901.015.png

785977901.016.png

785977901.017.png

785977901.018.png

785977901.019.png

785977901.020.png

785977901.021.png

Równania różniczkowe rzędu drugiego

Równanie różniczkowe rzędu drugiego postaci

0

yF

(

,

y

'

,

y

"

)



( x nie występuje w sposób jawny ) sprowadza się przez podstawienie

y 

' y

u

)

do równania

du

F

(

y

,

u

,

u

)



0

dy

dy

'

du

dy

du

y

"









u

(ponieważ

)

dx

dy

dx

dy

4

785977901.022.png

785977901.023.png

785977901.024.png

785977901.025.png

785977901.026.png

785977901.027.png

785977901.028.png

785977901.029.png

785977901.030.png

785977901.031.png

785977901.032.png

785977901.033.png

785977901.034.png

785977901.035.png

Równania różniczkowe rzędu drugiego

Przykład

Wyznaczyć całkę ogólną równania

1 + ( y’ ) 2 = 2 yy”

Po podstawieniu y’= u ( y ) ( y”= u’y’= u’u ) dostajemy

1 +u 2 = 2 yuu’

Jest to równanie pierwszego rzędu o zmiennych rozdzielonych

2

udu

dy



2

1



u

y

2

ln(

1



u

)



ln

y



C





ln

y



C



ln

y



ln

C



ln

C

y

,

C



0

1

1

1

2

C

y



1



u

,

1

u



y

'





C

y



1

1

5

785977901.036.png

785977901.037.png

785977901.038.png

785977901.039.png

785977901.040.png

785977901.041.png

785977901.042.png

785977901.043.png

785977901.044.png

785977901.045.png

785977901.046.png

785977901.047.png

785977901.048.png

785977901.049.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

SIMR_WRR_03.pdf (1734 KB)
SIMR_WRR_05.pdf (1188 KB)

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin