z3.pdf
(
82 KB
)
Pobierz
347442028 UNPDF
PODSTAWYTEORIILICZB–ZADANIA
Zestawnr.3–Funkcjearytmetyczne
Zad.1
(a)Znajd¹wszystkie
n
2
N
,któremaj¡10dzielników
(b)iznajd¹najmniejsz¡ztychliczb.
Zad.2
(a)Udowodnij,»eje»eli
M
n
=2
n
−
1jestliczb¡pierwsz¡,to
N
=2
n
−
1
·
(2
n
−
1)jestliczb¡
doskonał¡,atak»e
(b)Wyka»,»eostatni¡cyfr¡liczbydoskonałejmo»eby¢tylko6albo8.
Zad.3
Obliczwarto±¢sumy
j
p
k
j
p
k
j
p
k
j
p
k
1
+
2
+
3
+
...
+
n
2
−
1
.
Zad.4
Udowodnijto»samo±¢Hermite’a
b
x
c
+
x
+
1
n
+
...
+
x
+
n
−
1
n
=
b
nx
c
,
gdzie
x
2
R
,n
2
N
.
Zad.5
Liczbadzielników,
(
n
).
Funkcjaliczbydzielników,
(
n
)(lub
d
(
n
))wyst¦pujejakowspółczynnikiwpewnychszeregach
pot¦gowych,pełni¡cychrol¦
funkcjitworz¡cych
dla
(
n
).
(a)NaprzykładszeregLamberta,to—
|
x
|
<
1—
1
X
1
−
x
k
=
X
n
=1
x
k
(
n
)
·
x
n
.
k
=1
Udowodnijtenwzór.
(b)FunkcjadzetaRiemannaokre±lonajestjako
(
s
)=
1
X
1
n
s
;
s>
1
.
n
=1
Wyka»,»ezachodzi
1
X
(
n
)
n
s
=[
(
s
)]
2
,
dla
s>
1
.
n
=1
Zad.6
Sumadzielników,
(
n
).
(a)Wyka»,»esumasumdzielnikówcałkowitychwszystkichliczbmniejszychodlubrównych
pewnejliczbierzeczywistejidodatnej
x
,funkcja
X
x
n
S
(
x
)=
(1)+
(2)+
...
+
(
b
x
c
)=
n
.
n
=1
(b)Udowodnij,»efunkcj¡tworz¡c¡dla
(
n
)jestszereg
1
X
1
−
x
k
=
X
n
=1
kx
k
(
n
)
·
x
n
.
k
=1
3-1
b
x
c
wskazówka:rozwa»podwójn¡sum¦
1
X
1
X
kx
kl
.
k
=1
l
=1
(c)Stosuj¡ct¦sam¡technik¦jakwproblemiepoprzednimwyka»:
1
X
(
n
)
n
s
=
(
s
)
(
s
−
1)
,
dla
s>
2
.
n
=1
Zad.7
FunkcjaEulera,
(
n
).
(a)Wyka»,»esuma
X
n
d
=
X
d
|
n
(
d
)=
n.
d
|
n
(b)Wyka»
1
X
n
s
=
(
s
−
1)
(
s
)
.
n
=1
Zad.8
Wyka»,»edlaka»dego
n
2
n
2
2
<
(
n
)
·
(
n
)
<n
2
.
wskazówka:przydatnyb¦dziewzór,tzw.
iloczynEulera
:
(
s
)=
Y
1
1
−
p
−
s
;
s
=2
.
3-2
(
n
)
Plik z chomika:
chomikSGHowy
Inne pliki z tego folderu:
MM.pdf
(206 KB)
z10.pdf
(67 KB)
z11.pdf
(63 KB)
z5.pdf
(58 KB)
z7.pdf
(61 KB)
Inne foldery tego chomika:
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin