z2.pdf

PODSTAWYTEORIILICZB–ZADANIA

Zestawnr.2:Podzielno±¢liczb;Liczbypierwsze

Zad .0Podajtre±¢ zasadniczegotwierdzeniaarytmetyki iudowodnijtotwierdzenie.

Zad.1 Udowodnij,»enieistniej¡takie k i n ; k,n 2 N,dlaktórychliczba

± 1

k + n

jestcałkowita.

wskazówka: wyka»np.,»eniemog¡istnie¢dwaró»nemianowniki k + w ,któremiałybyoba

dzielnik2 ,gdzie mawarto±¢maksymaln¡dlacałegozbioruułamków.

Zad.2 Wyka»,»e

limsup( p n +1 − p n )= 1 ,

gdzie p n i p n +1 tokolejneliczbypierwsze.

wskazówka: rozpatrzci¡g( n +1)!+ k, k =1 , 2 ,..., ?

Zad.3 Wyka»,»ewykładnik ,zktórymliczbapierwsza p wyst¦pujewrozkładzieliczby m !jestrówny

p 1

p 2

p 3

+ ...

wsk. Knuth,matematykakonkretna.

Zad.4 Wyka»,»edladowolnejliczbyrzeczywistej x 2zachodzinierówno±¢

p< 4 x .

p ¬ x

p 2 P

wsk. indukcja.

Zad.5 Udowodnij,»edlaka»dego n inieparzystego k

1+2+ ... + n | 1 k +2 k + ... + n k .

wsk. indukcja.

Zad.6 Udowodnij,»edlawszystkich n> 0zachodzi n 2 | ( n +1) n − 1 .

Woparciuotenwynikudowodnij,»edlawszystkich n> 0zachodzi(2 n − 1) 2 | 2 (2 n − 1) n − 1 .

wsk. wzórdwumianowy

p n + q n = r n , n 2 N ,n> 1

niemarozwi¡za«wliczbachpierwszych.

Zad.8 a)Udowodnij,»eka»daliczbanaturalnawi¦kszaod6,jestsum¡dwóchliczbnaturalnych m i n ,

gdzie m,n> 1oraz m ? n .

b)Korzystaj¡cza)sprawd¹,»edla n 3zachodzi

p n +1 + p n +2 ¬ p 1 p 2 ...p n .

2-1

k ± 1

k +1 ± ... ± 1

Zad.7 Wyka»,»erównanie