CAŁKI KRZYWOLINIOWE
Niech K - krzywa w R3,
, gdzie oraz .
Zatem dowolny punkt (x,y,z) krzywej K można przedstawić w postaci
i krzywa K zadana jest przez wektor parametryzacji
K: .
Definicja
Jeśli krzywa nie ma punktów wielokrotnych, tzn. gdy spełniony jest warunek , to nazywamy ją łukiem zwykłym. Łuk zwykły jest łukiem skierowanym, gdy określony jest zwrot tego łuku, tzn. uporządkowanie punktów łuku odpowiadające wzrostowi parametru.
Zmiana parametru na przeciwny daje łuk przeciwnie skierowany –K:
Podstawiamy
, gdzie
Jeśli jedynym punktem wielokrotnym krzywej jest punkt początkowy i końcowy, tzn. jeśli w łuku zwykłym dopuścimy , to krzywą nazywamy krzywą zamkniętą zwykłą.
Krzywa zwykła zamknięta, zawarta w R2 dzieli płaszczyznę na dwa obszary: wnętrze, tzn. obszar ograniczony krzywą i zewnętrze (obszar na zewnątrz krzywej).
Jeśli w czasie obiegu po krzywej zamkniętej wnętrze znajduje się po stronie lewej, to krzywą nazywamy zorientowaną dodatnio i oznaczamy .
Jeśli w czasie obiegu po krzywej zamkniętej wnętrze znajduje się po stronie prawej, to krzywą nazywamy zorientowaną ujemnie i oznaczamy .
Punkt krzywej K, gdzie nazywamy punktem osobliwym krzywej K, gdy zerują się pochodne dla dowolnej parametryzacji tej krzywej.
K – jest krzywą gładką
)
K nie ma punktów wielokrotnych
K nie ma punktów osobliwych, tzn. ,
Każda krzywa, którą można podzielić na skończoną liczbę krzywych gładkich jest nazywana krzywą odcinkami gładką lub krzywą regularną.
Uwaga
Krzywa regularna jest prostowalna.
1
Całka krzywoliniowa nieskierowana
(całka krzywoliniowa funkcji skalarnej)
Niech
K – krzywa regularna w R3
f – pole skalarne, tzn
Wtedy
· krzywą K dzielimy na n części o długościach
· w każdej z krzywych cząstkowych wybieramy po jednym punkcie
· tworzymy sumę
Jeśli przy i istnieje granica niezależna od sposobu podziału krzywej i od wyboru punktu Mi, to granicę tę nazywamy całką krzywoliniową nieskierowaną i oznaczamy.
Gdy zmienimy zwrot krzywej na przeciwny przy tym samym podziale krzywej i tych samych wybranych punktach, to nie zmienią się sumy , a zatem nie zmieni się całka krzywoliniowa nieskierowana
.
Twierdzenie (o zamianie całki krzywoliniowej nieskierowanej na całkę oznaczoną)
Jeżeli K – krzywa regularna,
to
Przykład
Obliczyć całkę , gdzie K: dla .
Oczywiście krzywa K jest regularna oraz . Zatem można zastosować twierdzenie o
zamianie całki krzywoliniowej na całkę oznaczoną.
Stąd
1. Jeśli krzywa K leży w płaszczyźnie OXY, ,
oraz
,
2. Jeśli krzywa K leż w płaszczyźnie OXY i zadana jest w sposób jawny, tzn.
to K możemy sparametryzować:
K:
i wtedy
Obliczyć , gdzie, .
Funkcja dla określa krzywą K.
Obliczamy i korzystamy z uwagi 2.
Interpretacja geometryczna całki krzywoliniowej niekierowanej
- długość krzywej K.
- pole części powierzchni walcowej znajdujące się pod wykresem funkcji f.
Interpretacja fizyczna całki krzywoliniowej nieskierowanej
1. Jeśli r - gęstość liniowa masy rozmieszczonej wzdłuż krzywej K, to
- masa krzywej K
2. Jeśli d – funkcja określającą odległość punktu krzywej K od pewnej prostej, to
- moment bezwładności krzywej K względem tej prostej.
Niech , gdzie krzywa regularna dla i=1,…,n.
Wtedy definiujemy
3
Całka krzywoliniowa skierowana
(całka krzywoliniowa funkcji wektorowej)
Niech K – krzywa regularna o początku A i końcu B, zawarta w
W – pole wektorowe,
· dzielimy krzywą K na n krzywych punktami: , gdzie dla i=1,2,…,n
· tworzymy wektory cięciw: dla
· wybieramy po jednym punkcie na każdej z krzywych cząstkowych , dla i=1,2,…,n
· wyznaczamy wektory dla i=1,2,…,n
· tworzymy sumę ...
chomikSGHowy