Algebra macierzy.pdf
(
88 KB
)
Pobierz
8143109 UNPDF
Spistre±ci
Spistre±ci 1
1Algebramacierzy 1
1.1Definicjamacierzy....................... 1
1.2Dodawanie,odejmowanieimno»eniemacierzy........ 1
1.3Wyznacznikmacierzy..................... 2
1.4Transponowaniemacierzy................... 3
1.5Numeryczneobliczaniewyznacznika............. 4
Literatura 5
1Algebramacierzy
Macierzepełni¡bardzowa»n¡rol¦wgraficekomputerowejigeometriiobli-
czeniowej.Poni»ejzamieszczonezostałypodstawowewiadomo±cidotyc¡ce
operacjialgebraicznychnamacierzach.Wi¦cejinformacjinatematoperacji
namacierzachmo»naznale¹¢wka»dympodr¦cznikualgebryliniowej(np.
praca[1]).
1.1Definicjamacierzy
Macierztonicinnegojakprostok¡tna(wszczególno±cikwadratowa)tabela
liczb.Otoprzykładowamacierzposiadaj¡ca2wierszei4kolumny:
1215
3243
Ogólniemacierzposiadaj¡ca
m
wierszyi
n
kolumnwygl¡danast¦puj¡co:
0
a
11
a
12
···
a
1
n
a
21
a
22
···
a
2
n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
m
1
a
m
2
···
a
mn
1
B
B
B
@
C
C
C
A
Indeksyprzyposzczególnychelementachmacierzy(
a
11
,a
12
,
···
,a
mn
)ozna-
czaj¡kolejno:numerwierszainumerkolumny.
1.2Dodawanie,odejmowanieimno»eniemacierzy
Macierzemo»nam.in.dodawa¢,odejmowa¢imno»y¢:
a
11
a
12
a
21
a
22
+
b
11
b
12
b
21
b
22
=
a
11
+
b
11
a
12
+
b
12
a
21
+
b
21
a
22
+
b
22
a
11
a
12
a
21
a
22
−
b
11
b
12
b
21
b
22
=
a
11
−
b
11
a
12
−
b
12
a
21
−
b
21
a
22
−
b
22
a
11
a
12
a
21
a
22
b
11
b
12
b
21
b
22
a
11
b
11
+
a
12
b
21
a
11
b
12
+
a
12
b
22
a
21
b
11
+
a
22
b
21
a
21
b
12
+
a
22
b
22
=
1ALGEBRAMACIERZY
2
Dodawanieiodejmowaniejestintuicyjneisprowadzasi¦doodpowied-
niejoperacjiarytmetycznejnaposzczególnychelementachmacierzy.Nato-
miastmno»enienapocz¡tkumo»esprawi¢kłopot.Zasadajestjednakbar-
dzoprosta:bierzemykolejnewierszepierwszejmacierzy(mno»na)imno-
»ymyjeprzezkolejnekolumnydrugiejmacierzy(mno»nik).Jakpomno»y¢
wierszprzezkolumn¦?Bardzoprosto-pierwszyelementwierszamno»y-
myprzezpierwszyelementkolumny,podobniemno»ymykolejneelemen-
tywierszaikolumny,asumaotrzymanychiloczynówdajewefekcieje-
denelementmacierzywynikowej.Zatempoprzemno»eniuprzezpierwszy
wierszwszystkichkolumndrugiejmacierzy,otrzymujemywwynikupierw-
szywiersziloczynumacierzy.Itakmno»ymyprzezkolejnewiersze,a»do
uzyskaniapełnegowyniku.
Wa»n¡własno±ci¡działaniamno»eniamacierzyjestjegonieprzemien-
no±¢,tzn.istniej¡macierze
M
1
i
M
2
,dlaktórychniejestprawdziwerów-
nanie:
M
1
M
2
=
M
2
M
1
.
Łatwozauwa»y¢,»emno»eniemacierzyjestwykonalnetylkowówczas,
gdyilo±¢kolumnwpierwszejmacierzyjestrównailo±ciwierszywdrugiej.
Rol¦jedynkilubelementuneutralnegowmno»eniumacierzykwadra-
towychspełniamacierzjednostkowa(tradycyjnieoznaczanaE),onast¦pu-
j¡cejbudowie:
0
10
···
0
01
···
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
00
···
1
1
E
=
B
B
B
@
C
C
C
A
Jakwida¢macierz
E
posiadaniezeroweelementy(jedynki)wył¡czniena
tzw.głównejprzek¡tnej.Macierzposiadaj¡cadowolneniezeroweelementy
wył¡cznienagłównejprzek¡tnejnazywamymacierz¡diagonaln¡.
1.3Wyznacznikmacierzy
Kolejn¡wa»n¡operacj¡wykonywan¡namacierzachkwadratowychjestli-
czeniewyznaczników.ZgodniezewzoremLaplace’a,wyznacznik(det
M
)
1ALGEBRAMACIERZY
3
macierzy:
0
a
11
a
12
···
a
1
n
a
21
a
22
···
a
2
n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n
1
a
n
2
···
a
nn
1
M
=
B
B
B
@
C
C
C
A
opisujenast¦puj¡cerównanierekurencyjne:
8
<
n
=1
niechA
=(
a
11
)
,w
ó
wczas
det
1
A
=
a
11
n
2 det
n
A
=
n
P
(
−
1)
1+
j
a
1
j
det
n
−
1
A
1
j
:
j
=1
gdzie
A
1
j
tomacierzpowstałapousuni¦ciuzmacierzy
A
pierwszegowiersza
i
j
-tejkolumny.
Wyznacznikmacierzyoznaczasi¦symbolem:
det
M
=
a
11
a
12
···
a
1
n
a
21
a
22
···
a
2
n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n
1
a
n
2
···
a
nn
Dlailustracjipodanegowzoru,policzymywyznacznkimacierzy2
×
2
i3
×
3:
a
11
a
12
a
21
a
22
=
a
11
|
a
22
|−
a
12
|
a
21
|
=
a
11
a
22
−
a
12
a
21
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
=
a
11
a
22
a
23
a
32
a
33
−
a
12
a
21
a
23
a
31
a
33
+
a
13
a
21
a
22
a
31
a
32
=
a
11
a
22
a
33
+
a
21
a
32
a
13
+
a
31
a
12
a
23
−
a
13
a
22
a
31
−
a
23
a
32
a
11
−
a
33
a
12
a
21
1.4Transponowaniemacierzy
Kolejn¡operacj¡specyficzn¡dlamacierzyjesttransponowanie.Polegaono
nazamianiemiejscamikolumniwierszywedługnast¦puj¡cegoschematu:
1ALGEBRAMACIERZY
4
0
B
B
B
@
a
11
a
12
···
a
1
n
a
21
a
22
···
a
2
n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n
1
a
n
2
···
a
nn
1
C
C
C
A
0
B
B
B
@
a
11
a
21
···
a
n
1
a
12
a
22
···
a
n
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
1
n
a
2
n
···
a
nn
1
C
C
C
A
=
Jakłatwozauwa»y¢wprzypadkutransponowaniamacierzykwadrato-
wejjedynieelementyznajduj¡cesi¦nagłównejprzek¡tnejniezmieniaj¡
swojegopoło»enia.Jako¢wiczenieCzytelnikmo»eudowodni¢własno±¢:
det
A
T
=det
A
.
1.5Numeryczneobliczaniewyznacznika
Jednazmetodnumerycznegoobliczaniawyznacznikamacierzykwadrato-
wejMpostaci
0
1
a
11
a
12
...a
1
n
a
21
a
22
...a
2
n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n
1
a
n
2
...a
nn
M
=
B
B
B
B
@
C
C
C
C
A
poleganasprowadzeniujej,metod¡eliminacjiGaussa,dopostacimacierzy
trójk¡tnejgórnej:
U
=
0
B
B
B
B
B
B
@
u
11
u
12
u
13
...u
1
n
0
u
22
u
23
...u
2
n
0 0
u
33
...u
3
n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 0
...u
nn
1
C
C
C
C
C
C
A
Wyznaczniktakiejmacierzyrównyjestiloczynowielementównagłównej
przek¡tnej:
|
A
|
=
|
U
|
=
u
11
·
u
22
···
u
nn
SzczegółowyopismetodyeliminacjiGaussaorazprezentacj¦wieluin-
nychmetodnumerycznychCzytelnikznajdziewpracy[2].
T
Plik z chomika:
chomikSGHowy
Inne pliki z tego folderu:
Abstract algebra.pdf
(499 KB)
Algebra Liniowa.pdf
(238 KB)
Algebra macierzy.pdf
(88 KB)
DzielenieWielomianow.pdf
(74 KB)
Macierz odwrotna.pdf
(52 KB)
Inne foldery tego chomika:
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin