Niech funkcja będzie całkowalna na przedziałach [a,T] dla każdego T>a. Całkę niewłaściwą pierwszego rodzaju funkcji f na przedziale [a,¥) definiujemy wzorem:
.
Jeżeli granica po prawej stronie znaku równości jest skończona, to mówimy, że całka niewłaściwa jest zbieżna. Jeżeli granica ta jest równa ¥ lub -¥, to mówimy, że całka jest rozbieżna odpowiednio do ¥ lub -¥. W pozostałych przypadkach mówimy, że całka jest rozbieżna.
Analogicznie definiuje się całkę niewłaściwą pierwszego rodzaju na przedziale (-¥,b]:
Def. 1.1.2 (całka niewłaściwa na prostej)
Niech funkcja będzie całkowalna na przedziałach [S,T] dla dowolnych S i T takich, że -¥ < S < T < ¥. Całkę niewłaściwą pierwszego rodzaju funkcji f na przedziale (-¥,¥) definiujemy wzorem:
,
gdzie a oznacza dowolną liczbę rzeczywistą. Jeżeli obie całki po prawej stronie znaku równości są zbieżne, to mówimy, że całka jest zbieżna. Jeżeli jedna z tych całek jest rozbieżna do -¥ lub ¥, a druga jest zbieżna albo rozbieżna odpowiednio do -¥ lub ¥, to mówimy, że całka jest rozbieżna do -¥ lub ¥. W pozostałych przypadkach mówimy, że całka ta jest rozbieżna.
Uwaga. Jeżeli całki , są zbieżne dla pewnego aÎR, to są zbieżne dla każdego aÎR i ich suma nie zależy od a.
Fakt 1.1.3 (zbieżność całek postaci )
Niech a>0. Wtedy .
Uwaga. Analogiczny fakt jest prawdziwy także dla całek , gdzie b<0, o ile funkcja podcałkowa jest poprawnie określona.
Tw. 1.2.1 (kryterium porównawcze)
Jeżeli
1. 0 £ f(x) £ g(x) dla każdego x Î [a,¥),
2. funkcje f i g są całkowalne na przedziałach [a,T] dla T>a,
3. całka jest zbieżna
to całka jest zbieżna.
Uwaga. Twierdzenie powyższe pozostanie prawdziwe, gdy nierówności w założeniu 1 są prawdziwe dla każdego x Î[a*,¥), gdzie a*>a. Jeżeli założenie 3 tego twierdzenia ma postać „całka jest rozbieżna”, to w tezie otrzymamy „całka jest rozbieżna”. Prawdziwe jest także analogiczne kryterium porównawcze dla całek niewłaściwych postaci .
Tw. 1.2.2 (kryterium ilorazowe)
Niech funkcje dodatnie f i g będą całkowalne na przedziałach [a,T] dla każdego T>a oraz niech , gdzie 0<k<¥. Wówczas
całka jest zbieżna Û całka jest zbieżna.
Uwaga. Prawdziwe jest także analogiczne kryterium ilorazowe dla całek niewłaściwych postaci .
Def. 1.3.1 (zbieżność bezwzględna całek niewłaściwych pierwszego rodzaju)
Niech funkcja f będzie całkowalna na przedziałach [a,T] dla każdego T>a. Całka jest zbieżna bezwzględnie jest zbieżna.
Podobnie określa się zbieżność bezwzględną całek , .
Tw. 1.3.2 (o zbieżności całek niewłaściwych zbieżnych bezwzględnie)
Niech funkcja f będzie całkowalna na przedziałach [a,T] dla każdego T>a. Jeżeli całka jest zbieżna bezwzględnie, to całka jest zbieżna. Ponadto
Uwaga. Powyższe twierdzenie jest prawdziwe także dla pozostałych rodzajów całek niewłaściwych pierwszego rodzaju. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe dla dowolnej funkcji, np. całka niewłaściwa z funkcji na przedziale [1,¥) jest zbieżna, ale nie jest zbieżna bezwzględnie.
Def. 1.4.1 (całki niewłaściwe drugiego rodzaju)
Niech funkcja będzie nieograniczona na prawostronnym sąsiedztwie punktu a oraz całkowalna na przedziałach [a+e,b] dla każdego 0 < e < b – a. Całkę niewłaściwą drugiego rodzaju funkcji f na przedziale (a,b] definiujemy wzorem:
Jeżeli granica po prawej stronie znaku równości jest skończona, to mówimy, że całka jest zbieżna. Jeżeli granica ta jest równa ¥ lub -¥, to mówimy, że całka jest rozbieżna odpowiednio do ¥ lub -¥. W pozostałych przypadkach mówimy, że całka ta jest rozbieżna.
Analogicznie definiuje się całkę niewłaściwą funkcji f nieograniczonej na lewostronnym sąsiedztwie punktu b:
Jeżeli funkcja f jest określona i ograniczona na przedziale (a,b] oraz całkowalna na przedziałach [a+e,b] dla każdego 0 < e < b – a, to całka obliczona według powyższej definicji jest zbieżna. Podobnie jest da funkcji określonej na przedziale [a,b).
Fakt 1.4.2 (o zbieżności całek )
Niech b>0. Wtedy całka niewłaściwa .
Analogiczny fakt jest prawdziwy także dla całek , gdzie a<0, o ile funkcja podcałkowa jest poprawnie określona.
Def. 1.4.3 (całki niewłaściwe drugiego rodzaju, ciąg dalszy)
Niech funkcja , gdzie cÎ(a,b), będzie nieograniczona na obustronnych sąsiedztwach punktu c oraz całkowalna na przedziałach [a,c-e ], [c+e,b] dla każdego 0 < e < min{b – c, c – a}. Całkę niewłaściwą drugiego rodzaju funkcji f na przedziale [a,b] definiujemy wzorem:
Jeżeli obie całki po prawej stronie znaku równości są zbieżne, to mówimy, że całka jest zbieżna. Jeżeli jedna z tych całek jest rozbieżna do -¥ lub ¥, a druga jest zbieżna albo rozbieżna odpowiednio do -¥ lub ¥, to mówimy, że całka jest rozbieżna do -¥ lub ¥. W pozostałych przypadkach mówimy, że całka ta jest rozbieżna.
W podobny sposób określa się całki niewłaściwe z funkcji nieograniczonych na sąsiedztwach punktów c1, c2, ..., cn Î [a,b]. Na przykład dla funkcji , nieograniczonej na prawostronnym sąsiedztwie punktu a i na lewostronnym sąsiedztwie punktu b oraz całkowalnej na przedziałach [a + e, b - e] dla każdego , przyjmujemy:
gdzie d jest dowolnym punktem przedziału (a,b).
1. 0 £ f(x) £ g(x) dla każdego x Î (a,b],
2. funkcje f i g są całkowalne na [a+e,b] dla 0 < e < b – a,
Uwaga. Twierdzenie powyższe pozostanie prawdziwe, gdy nierówności w założeniu 1 są prawdziwe dla każdego x Î (a,b*], gdzie a<b*<b. Jeżeli założenie 3 tego twierdzenia ma postać „całka jest rozbieżna”, to w tezie otrzymamy „całka jest rozbieżna”. Prawdziwe jest także analogiczne kryterium porównawcze dla funkcji określonych na przedziale [a,b) i nieograniczonych na...
chomikSGHowy