10.Renty pewne-cz1.pdf

(449 KB) Pobierz
WYKŁAD 1
Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
WYKŁAD 3. RENTY PEWNE
3.1. Renty o ratach stałych
3.2. Renty o ratach tworzących ciąg arytmetyczny
3.3. Renty o ratach tworzących ciąg geometryczny
3.4. Renta uogólniona
3.1. RENTY O RATACH STAŁYCH
Rentą nazywamy ciąg kapitałów (ciąg rat) równomiernie rozłożony w czasie –
kolejne daty kapitałów następują po sobie w stałych równych odstępach czasu.
Rentą kapitałową nazywamy ciąg systematycznie uzyskiwanych dochodów
(ciąg rat) z kapitału nie wymagający dodatkowego wkładu pracy. Kapitał, z
którego wypłacana jest renta nazywamy kapitałem rentowym .
Rentę nazywamy pewną , jeżeli liczba rat jest z góry ustaloną liczbą natural-
ną n∈N lub jest liczbą nieskończoną. Rentę nazywamy życiową , jeżeli licz-
ba rat jest zmienną losową.
Rentę pewną nazywamy czasową, jeżeli liczba rat jest skończona w prze-
ciwnym przypadku rentę pewną nazywamy nieskończoną.
Renty pewne
1
190911927.011.png 190911927.012.png 190911927.013.png
Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
Okresem renty nazywamy stały okres czasu pomiędzy kolejnymi sąsiedni-
mi parami jej rat.
Rentę pewną nazywamy prostą (zgodną), jeżeli okres stopy procentowej,
okres kapitalizacji i okres renty są sobie równe. W przeciwnym przypadku
rentę nazywamy uogólnioną ( niezgodną).
Rentę prostą nazywamy płatną z dołu, jeżeli terminem płatności j-tej raty tej
renty jest koniec j-tego okresu bazowego .
Rentę prostą nazywamy płatną z góry, jeżeli terminem płatności j-tej raty tej
renty jest początek j-tego okresu bazowego.
R 3
n-1
R n
R 1
R 2
Raty renty
0
1
2
3
n-1
n
czas (okresy bazowe)
Początek
renty
Koniec
renty
Rys. 1. Renta prosta czasowa płatna z dołu.
Renty pewne
2
190911927.014.png 190911927.001.png
Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
R n
R 1
R 3
R 2
Raty renty
0
1
2
3
n-1
n
czas (okresy bazowe)
Początek
renty
Koniec
renty
Rys. 2. Renta prosta czasowa płatna z góry.
RENTY PROSTE (ZGODNE )
i –bazowa stopa procentowa
kapitalizacja zgodna z dołu
płatności zgodne z dołu
okres stopy procentowej = okres kapitalizacji = okres renty
Wartością początkową renty złożonej z n rat nazywamy sumę rat zdys-
kontowanych na początek renty.
Renta płatna z dołu:
R
(
0
=
R
1
(
+
i
)
−
1
+
R
2
(
+
i
−
2
+
L
+
R
n
(
+
i
)
−
(
n
−
1
+
R
n
(
+
i
)
−
n
(1)
R
(
0
)
= n
=
R
j
(
+
i
)
−
j
(2)
j
1
Renta płatna z góry:
R
(
+
)
=
R
1
+
R
2
(
+
i
−
1
+
.
.
.
+
R
n
−
1
(
+
i
−
(
n
−
2
+
R
n
(
+
i
−
(
n
−
1
(3)
Renty pewne
3
190911927.002.png
Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
R
(
0
+
)
=
∑ =
n
R
(
+
i
)
−
j
+
j
(4)
j
1
Z zapisanych wyżej wzorów wynika, że:
R
(
0
+
)
=
R
(
0
)
(
+
i
)
(5)
R (0) – wartość początkowa n- okresowej renty prostej płatnej z dołu,
R (0+) – wartość początkowa n- okresowej renty prostej płatnej z góry,
R j – j- ta rata renty,
i – bazowa stopa procentowa,
t = 0 – początek renty,
t = n – koniec renty.
Wartość początkowa renty prostej płatnej z góry jest równa wartości po-
czątkowej renty prostej płatnej z dołu oprocentowanej na jeden okres czasu.
Renty stałe R j =R dla j=1,2, . . . n.
Rentę nazywamy stałą , jeżeli wszystkie raty renty są sobie równe.
Dla renty stałej wzory (1) i (2) przyjmują postać:
R
(
0
)
=
R
=
n
(
+
i
)
−
j
(6)
j
1
R
(
0
+
)
=
R
=
n
(
+
i
)
−
j
+
1
(7)
j
1
Renty pewne
4
1
190911927.003.png 190911927.004.png 190911927.005.png
Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
Rentę nazywamy jednostkową , jeżeli wszystkie raty renty są równe jedno-
stce wartości.
a
n
|
i
= n
1
=
(
+
i
)
−
j
(8)
j
a &
n
|
= n
=
(
+
i
)
−
j
+
1
(9)
j
1
a
n
|
i
=
a
n
|
i
(
+
i
)
(10)
a – wartość początkowa renty jednostkowej złożonej z n rat płatnych z dołu,
n
|
i
a & – wartość początkowa renty jednostkowej złożonej z n rat płatnych z góry,
n
|
i
R =
(
0
)
R
a
n
|
i
(11)
R
(
0
+
)
=
R
a
n
|
i
(12)
Wartość początkowa renty stałej płatnej z dołu (z góry) jest równa ilo-
czynowi stałej raty renty oraz wartości początkowej renty jednostkowej
płatnej z dołu (z góry).
a
n
|
i
=
(
+
i
)
−
+
(
+
i
)
−
2
+
.
.
.
+
(
+
i
)
−
(
n
−
+
(
+
i
)
−
n
.
(13)
Renty pewne
5
&
&
1
1
190911927.006.png 190911927.007.png 190911927.008.png 190911927.009.png 190911927.010.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin