Tej prędkości przepływu nielepkiego odpowiadają szczególne wartości stałych we wzorze (9.19):
w związku z czym równanie (9.33) przyjmuje również postać szczególną
(9.35)
Przepływ płaski cieczy doskonałej w sąsiedztwie punktu spiętrzenia leżącego na płaskiej ściance jest opisany potencjałem zespolonym (przykł. 6.7)
. (9.36)
Składowe prędkości w tym przepływie wyrażają się wzorami:
a przebieg linii prądu (rys. 9.4) wynika z równania
Rys. 9.4
Dla y = 0 otrzymujemy linię prądu, która w środku układu współrzędnych rozgałęzia się na dwie linie określone równaniem y = 0; w punkcie tym mamy również . Pozostałe linie prądu są rodziną hiperbol o równaniach
Dla przepływu w sąsiedztwie punktu spiętrzenia wartości stałych A i r są więc następujące:
*
Założymy, podobnie jak dla funkcji prądu (9.22), że funkcja (9.13) zależy tylko od jednej zmiennej niezależnej
(9.37)
będącej kombinacją zmiennych t i z
(9.38)
Dla funkcji (9.19), zgodnie ze wzorem (9.12), obliczamy
i następnie wszystkie pochodne występujące w równaniu (9.14):
Ostatecznie otrzymamy równanie różniczkowe zwyczajne dla funkcji
(9.39)
w którym dokonamy jeszcze zamiany argumentu j na argument h , związanych wzorem
(9.40)
Po wyznaczeniu pochodnych i
równanie (9.39) przyjmuje postać równania Falknera i Skan (9.33).
9.5. Metody przybliżone wyznaczania warstwy przyściennej
Metody przybliżone wyznaczania warstwy przyściennej opierają się na tzw. związkach całkowych, które wynikają z równania Prandtla, ale nie są im całkowicie równoważne. Związki te są momentami rzędu równań (9.4) względem składowych w każdym przekroju poprzecznym warstwy przyściennej, tzn. całkami z iloczynów tych równań i funkcji dla Najważniejszym z tych związków, stanowiącym podstawę większości metod przybliżonych, jest związek całkowy Karmana - odpowiadający momentowi zerowemu ( p = 0).
W celu otrzymania związku całkowego Karmana dokonamy najpierw kilku przekształceń pierwszego równania układu (9.4), biorąc również pod uwagę równanie ciągłości. Przepisując lewą jego stronę w postaci
i wykorzystując zależność
otrzymujemy
Po scałkowaniu uzyskanego równania względem y w granicach od 0 do d, na mocy warunków brzegowych:
(9.41)
wynikających z (9.5) i (9.6) oraz (1.6), gdzie oznacza naprężenie styczne na ściance opływanego ciała, mamy
Wprowadzając następnie oznaczenia:
(9.42)
oraz przekształcając pierwszą całkę zgodnie ze wzorem wynikającym z różniczkowania całki ze zmienną granicą całkowania
możemy ostatecznie napisać
(9.43)
Występujące w powyższym związku całkowym Karmana wielkości i nazywać będziemy miarą liniową straty wydatku i miarą liniową straty pędu - zgodnie z sensem fizycznym tych wielkości, gdyż np.
wielkość określa więc stratę wydatku spowodowaną przyhamowaniem ruchu płynu w warstwie przyściennej.
Zauważmy jeszcze, że funkcje i będące rozwiązaniem równań Prandtla (9.4), będą spełniać również związek (9.43). Natomiast nie zachodzi zależność odwrotna: składowe prędkości spełniające związek całkowy, nie będą na ogół spełniały równań Prandtla - poza ścianką opływanego ciała i granicą warstwy przyściennej.
Najwcześniejsza ze znanych metod przybliżonych wyznaczania laminarnej warstwy przyściennej opartych na związku całkowym Karmana została zaproponowana przez Pohlhausena. W metodzie tej zakłada się, że składowa prędkości może być wyrażona wielomianem potęgowym
(9.44)
którego współczynniki są funkcjami zmiennej x, natomiast
Na funkcję (9.44) nakłada się warunki wynikające z równania Prandtla i z własności składowej prędkości
(9.45)
otrzymujemy następujący układ równań:
którego rozwiązaniem są współczynniki:
uzyskane po wprowadzeniu nowej funkcji
(9.46)
nazywanej parametrem kształtu , gdyż od niej zależy kształt rozkładu prędkości.
Do wyznaczenia funkcji pozostał nam wzór Karmana (9.43). Obliczamy więc wielkości , i
i wyprowadzamy zależności pomocnicze:
gdzie „prim” oznacza różniczkowanie względem zmiennej x. Po ich podstawieniu do (9.43) mamy
i następnie otrzymujemy równanie różniczkowe zwyczajne
(9.47)
w którym:
Równanie (9.47) ma dwa punkty osobliwe: punkt spiętrzenia U = 0 oraz punkt odpowiadający ekstremum prędkości Jeżeli pochodna ma być określona w tych punktach, musi być
(9.48)
w punkcie spiętrzenia oraz
w punkcie ekstremalnym.
Zauważmy jeszcze, że punktowi oderwania warstwy przyściennej
odpowiada na mocy (9.44)
(9.49)
Parametr kształtu jest zatem całką równania (9.47) z warunkiem początkowym (9.48). Po jego wyznaczeniu można określić wszystkie parametry warstwy przyściennej, a w szczególności naprężenia styczne na ściance i grubość warstwy przyściennej - wynikającą z (9.46).
9.6. Warstwa przyścienna w gazie lepkim
Płaski ustalony ruch gazu lepkiego, po pominięciu pola sił masowych jednostkowych, jest opisywany następującymi równaniami:
- równaniem ciągłości (3.16)
(9.50)
- równaniem Naviera-Stokesa w kierunku osi x (8.13a)
(9.51)
- równaniem Naviera-Stokesa w kierunku osi y (8.13b)
( 9.52)
i równaniem energii (8.26) ¸ (8.29)
(9.53)
które muszą być ponadto uzupełnione równaniem stanu oraz dodatkowymi związkami dla l i m.
Upraszczając te równania na podstawie oszacowań składowych prędkości i ich pochodnych (przedstawionych w rozdz. 9.2) oraz zakładając, że zmiany temperatury gazu w kierunku normalnym do ścianki są dużo większe od zmian w kierunku stycznym
,
otrzymamy układ równań dla ściśliwej laminarnej warstwy przyściennej:
(9.54)
...
lukasz938