Strumień rotacji przez dowolny przekrój poprzeczny s rurki wirowej jest zawsze równy cyrkulacji wzdłuż linii , jest więc stały; stanowi to treść drugiego twierdzenia Helmholtza . Również cyrkulacja wektora wzdłuż dowolnej linii zamkniętej i leżącej na rurce wirowej ma stałą wartość w każdej chwili.
Biorąc pod uwagę otrzymane własności przepływu wirowości przez rurkę wirową wprowadzono pojęcie włókna wirowego , jako granicy, do której dąży rurka wirowa przy zmniejszaniu jej przekroju poprzecznego i zwiększaniu wirowości w jej wnętrzu w taki sposób, że cyrkulacja pozostaje bez zmiany.
Z drugiego twierdzenia Helmholtza wynika ważny wniosek, że rurki wirowe i włókna wirowe nie mogą zaczynać się lub kończyć w obszarze płynu. Mogą one składać się więc z zamkniętych linii wirowych albo też zaczynać się i kończyć na ograniczeniach obszaru (ścianki sztywne, powierzchnia swobodna). Wynik ten możemy potwierdzić również w inny sposób. Obliczając
(3.34)
analogicznie do równania (3.20), które mówi o zachowaniu masy w przepływie płynu nieściśliwego, otrzymujemy równanie zachowania wirowości.
ĆWICZENIA
Przykład 3.1. Stacjonarne pole prędkości jest określone składowymi:
Wyznaczyć równania linii prądu i torów elementów.
Ponieważ zatem pole prędkości jest płaskie.
Na podstawie wzoru (3.6) piszemy równanie linii prądu
z którego po scałkowaniu otrzymujemy
Z kolei równania torów elementów (3.7) przyjmują postać:
czyli
co jest wynikiem poprawnym, gdyż w przepływach stacjonarnych linie prądu i tory elementów pokrywają się.
Przykład 3.2. Wyznaczyć kształt linii prądu i rodzinę torów elementów płynu dla nieustalonego przepływu płaskiego określonego przez następujące składowe prędkości:
.
Całkujemy równanie różniczkowe rodziny linii prądu (3.6)
traktując t jako stały parametr. W wyniku otrzymujemy
lub
Linie prądu stanowią więc w każdej chwili rodzinę hiperbol i np. w chwili t = 0 przez punkt: przechodzi linia o równaniu
Dla określenia torów elementów należy scałkować równania (3.8):
a zatem:
Przykładowo, dla toru, po którym porusza się element płynu znajdujący się w chwili t = 0 w punkcie: jest i następnie mamy
Przykład 3.3. Dla nieustalonego przepływu płaskiego określonego polem prędkości:
należy wyznaczyć równania: linii prądu, toru elementu płynu i linii wysnutej.
Układ równań różniczkowych linii prądu przyjmuje postać:
Po scałkowaniu otrzymujemy równania parametryczne tych linii:
gdzie i są stałymi całkowania. W szczególności zakładając, że interesujemy się kształtem linii przechodzącej przez punkt o współrzędnych otrzymujemy , a więc:
Rys. 3.7
Ostatnie wzory uwidaczniają fakt, że kształt linii przechodzącej przez punkt o współrzędnych zmienia się z czasem. Dla chwili jest ona określona następującymi równaniami parametrycznymi:
Eliminując parametr s otrzymujemy równanie linii prądu, która przechodzi przez punkt o współrzędnych w chwili
Linia ta jest przedstawiona na rys. 3.7 łącznie z innymi liniami.
Układ równań toru elementu płynu w rozważanym przypadku przyjmuje postać:
Całkując to równanie mamy:
Są to równania parametryczne rodziny torów elementów płynu. W szczególności jeżeli interesujemy się torem elementu płynu, który w chwili przechodzi przez punkt o współrzędnych (1, 1), otrzymujemy:
Eliminując czas t z tych równań dostajemy równanie toru
Tor ten został przedstawiony na rys. 3.7, gdzie widać, że nie pokrywa się on z linią prądu, a jedynie jest do niej styczny w punkcie o współrzędnych (1, 1).
Jak wspomniano w rozdziale 3.2, linia wysnuta jest rozwiązaniem toru elementu płynu. Tak więc rodzina linii wysnutych jest określona równaniami:
Przykładowo dla warunków początkowych
, gdy
równania te są następujące:
Są to równania parametryczne linii wysnutej, która przechodzi przez punkt o współrzędnych . Widzimy, że w rozważanym przypadku kształt tej linii zależy od czasu (przepływ jest nieustalony). W szczególności dla mamy:
Eliminując parametr t otrzymujemy równanie tej linii
,
co przedstawia rys. 3.7.
Należy zwrócić uwagę na fakt, że wszystkie trzy linie nie pokrywają się, mimo iż zostały wyznaczone dla tego samego przepływu. Przyczyną tego jest nieustaloność przepływu.
Przykład 3.4. Powierzchnię ziemi w otoczeniu miasta stanowi płaszczyzna , na której wyidealizowanym źródłem emisji spalin jest komin, znajdujący się w początku układu osi współrzędnych. Pole prędkości wiatru opisują składowe:
przy czym V oraz w mają wartość stałą.
a. Wyznaczyć i naszkicować rodzinę linii prądu wiatru.
b. Określić rodzinę torów poruszania się cząsteczek spalin, które w czasie znajdują się w punkcie o współrzędnych Przedstawić graficznie tory poruszania się kilku cząsteczek spalin, opuszczających komin w różnym czasie Napisać równanie toru poruszania się elementu dymu, który wypływa z komina w chwili
a. W równaniu różniczkowym linii prądu wiatru:
zatem
Ogólnym rozwiązaniem otrzymanej zależności jest wyrażenie
Stała całkowania jest parametrem rodziny linii prądu, które są prostymi równoległymi, przecinającymi oś x w czasie t pod kątem (rys. 3.8a). Ponieważ dla jest również więc stała
;
stąd linię prądu przechodzącą przez początek układu współrzędnych opisuje równanie
a) b)
Rys. 3.8
...
lukasz938