Trajektorię można sobie wyobrazić jako pewną linię skierowaną w n-wymiarowej przestrzeni stanów, zaczynającą się od stanu początkowego x(0), a w kolejnych chwilach czasu t określoną aktualnymi współrzędnymi wektora stanu x(t). w geometrycznej interpretacji wektora stanu trajektoria jest linią zakreśloną przez koniec wektora stanu w trakcie ‘ruchu’ układu, przy czym czas t jest parametrem trajektorii.

Metoda płaszczyzny fazowej stosuje się do układów drugiego rzędu, których zmienne stanu x1 I x2 określają współrzędne prostokątne punktu na płaszczyźnie; ponadto x1 I x2 są współrzędnymi fazowymi tzn.  x1= x2. Wobec tego met płaszcz faz stosuje się do układów opisanych równaniami stanu

x1 = x2

x2 = f(x1, x2)

metoda ta wykorzystuje szczególną łatwość określania I interpretacji trajektorii fazowej, czyli trajektorii stanu w tych szczególnych współrzędnych. Trajektoria jest tu bowiem zwykłą linią (krzywą) na płaszczyźnie I jej cechy geometryczne można bardzo łatwo określić. W szczególności z określenia współrzędnych fazowych wynika, że wartość zmiennej x1 przy x2>o powinna wzrastać, przy x2<0 – maleć, a przy x2 = 0 – osiągać lokalne ekstremum. Tak więc trajektorie fazowe przebiegają w górnej półpłaszczyźnie w prawo, w dolnej 0półpłaszczyźnie w lewo, oś x1 mogą przecinać, ale ze styczną prostopadłą do tej osi. Przyczyny stosowania płaszcz faz

-           układy drugiego rzędu I pierwszego wyczerpują w zasadzie podstawowe typy dynamiki układów w szczególności obejmują człon oscylacyjny wykazujący największą różnorodność zjawisk.

Portret fazowy – jest to rodzina trajektorii fazowych przy różnych warunkach początkowych. Pojedyncza trajektoria zawiera niewiele informacji o układzie. Metoda płaszcz faz ujawnia swoje największe zalety wtedy, gdy można przedstawić wiele trajektorii faz przy różnych warunkach początkowych. Jeśli tak utworzona rodzina trajektorii pokryje dość gęsto całą płaszczyzną, to otrzymujemy wtedy obraz wszystkich potencjalnych rozwiązań przy dowolnych warunkach początkowych. Oczywiście każdy punkt na płaszczyźnie fazowej może być warunkiem początkowym, strzałki na trajektoriach wskazują kierunek upływu czasu. W tej sytuacji portret fazowy faktycznie dostarcza pełnej informacji o właściwościach układu. Przez dany punkt płaszczyzny fazowej może przechodzić tylko jedna trajektoria – trajektorie nie mogą się przecinać. Wyjątkiem od tej zasady są tzw. Punkty osobliwe, w których nie można określić równania trajektorii.

Jest to równanie różniczkowego trajektorii fazowe, którego rozwiązanie stanowi rodzina krzywych x2 = x2(x1) odpowiadających różnym stanom początkowym. Równanie trajektorii nie jest określone, jeśli zachodzi równość x1 = x2 = 0

Warunek ten określa punkty osobliwe, w których pochodna            jest nieoznaczona, zatem przez punkt osobliwy może przechodzić więcej niż jedna trajektoria. 

Równanie trajektorii z zasady łatwiejsze jest do rozwiązania niż równanie stanu. W wyniku rozwiązania równania trajektorii otrzymamy bezpośrednie wyrażenie trajektorii jako zależność x2(x2) – natomiast po rozwiązaniu równań stanu otrzymuje się x1(t) I x2(t), skąd samą trajektorię można otrzymać dopiero po wyeliminowaniu zmiennej t. jedna w wielu przypadkach równanie trajektorii może być także dość skomplikowane. Korzysta się wtedy z przybliżonych metod rozwiązania, z których najbardziej znaną jest metoda izoklin.

Izokliną nazywa się linię       =A =const, tzn.linię, na której nachylenie trajektorii jest stałe. Równanie izokliny jest równaniem algebraicznym I ma postać

Zmieniając stałą A otrzymuje się różne izokliny – z określonym nachyleniem A trajektorii.  

IZOKLINA- krzywe łączące na płaszcz. faz. punkty o jednakowym nachyleniu krzywych całkowych. Iloraz dx2/dx1jest tg kąta nachylenia stycznej do krzywej całkowej w punkcie(x1,x2). przez podstawienie  =C, a więc 

Zmieniając w tym równaniu wartość stałej C tzn. kąt α otrzymamy rodzinę izoklin dostatecznie gęsto pokrywających płaszcz. faz. by znane było nachylenie krzywych całkowych w każdym punkcie płaszczyzny. Na podst. tej rodziny izoklin wykreślamy przebieg krzywych całkowych tzw. portret fazowy

l1,2 <0 , a1<0,a0<0  – węzeł stabilny   

l1, l2>0 ,a1>0,a0<0 – węzeł niestabilny

l1, l2<0 , a1>0,a0>0 – siodło

Re l1,2<0 , a1<0,a0<0 – ognisko stabilne

Re l1,2>0,a1>0,a0<0 – ognisko niestabilne

Re l1,2=0, a1=0,a0<0 – środek

l2 – a1l - a0 = 0

l1,2 =

Wahadło matematyczne (trajektoria)

                                             X1(położenie)

                                           Położenie 0

                                                           Prędkość 0

      Prędkość 0

                                                         X2(pręd.)                     

                                               Położenie 0            

Cykle graniczne – występują wówczas, gdy krzywa całkowa nie dochodzi do punktu równowagi, lecz przechodzi w krzywą zamkniętą otaczającą ten punkt. Odpowiada to takiemu stanowi układu, w którym poszczególne fazy ruchu powtarzają się cyklicznie. jest to zjawisko drgań nietłumionych układu wokół położenia równowagi. Cykl graniczny może być stabilny lub niestabilny

ELEMĘTY LOGICZNE

      ELEMENTY LOGICZNE

DOBÓR OPORNIKÓW W OR I AND.

Za kryterium wyboru zwykle przyjmuje się największą spodziewaną rozbieżność w działaniu układu, która wystąpi dla końcowo odczytanych  wartości oporności (tzn dla największej i najmniejszej z możliwych).Po wykonaniu pomiarów określa się wartości oporności , która jest optymalna dla danego układu:

-           w funktorze OR bardziej odpowiednim będzie rezystor , przy którym stany wejść będą zbliżone do stanu wyjść(napięcie wejściowe Uob będzie nieznacznie odbiegało od napięcia wejściowego Ur), wówczas dzięki małym stratą w układzie będzie można podłączyć do niego więcej elementów zachowując stany logiczne.

-           w funktorze AND dość trudno na podstawie stanów wyjść określić , który z oporników jest odpowiedni i aby zrobić należy przeprowadzić analizę pośrednią , uwzględniające warunki jakie występują w układzie w stanie „1,1”. Wówczas to wybieramy oporność ,dla której prąd przepływające przez diody będzie mniejszy , co wydatnie wpływa na sprawność działania diod wówczas występują mniejsze straty energii oraz źródło zasilania będzie mniej obciążone.

OPORNIKI I DIODY.

Wykorzystując oporniki i diody możemy realizować funkcję alternatywy i koniunkcji (sumy i iloczynu).Budowa diodowych elementów alternatywy i koniunkcji (trójwejściowych) jest przedstawiona poniżej:

                                                                      E

  X1

                                                            R   

                                                                             y

  X2 

                                  y

  X3  

               R                     

     OR (elem. alternatywy)   AND (koniunkcja)

W elemencie alternatywy , jeżeli na któreś z wejść podane zostanie napięcie ujemne (sygnał 1) , to napięcie to pojawi się również na wyjściu, gdyż odpowiednia dioda przewodzi i zwiera  y  z tym wejściem. Tylko w przypadku gdy na wszystkie trzy wejścia podany jest sygnał „0” na wejściu jest „0”.

W elemencie koniunkcji, jeżeli na któreś z wejść podany jest sygnał „0” to na wyjściu jest również „0”, gdyż odpowiednia dioda przewodzi i zwiera  y z tym wejściem . Tylko w przypadku , gdy na wszystkie trzy wejścia podany jest sygnał „1” na wyjściu jest „1”.

TRANZYSTORY I OPORNIKI.

Wykorzystując tranzystory i oporniki możemy realizować funkcję negacji ( np. NOR lub NAND )- negację sumy i iloczynu. Schemat elementu negacji , negator tranzystorowy:

                                                              E

                                                RC    

                                                 C               y

              RA                                   

                                       B     B            

   X

                       RB                         E

Przy podaniu na wejście sygnału „0” baza tranzystorowa pozostaje spolaryzowana dodatnio względem emitera : tranzystor nie przewodzi (znajduje się w stanie odcięcia ).Napięcie na wyjściu y jest wtedy równe „1”. Podanie na wejście sygnału „1” powoduje stan nasycenia tranzystora , kolektor jest wtedy praktycznie zwarty z emiterem ( a więc z masą ) i napięcie wyjściowe jest równe „0”.

OPORNIKI RA , RB i RC.

Dobór oporności RA, RB, RC powinien w efekcie umożliwić otrzymanie charakterystyki jak najbardziej zbliżonej do idealnej .Poszczególne oporniki wpływają na pracę układu  w następujący sposób:

-           RA – jest to rezystor sterujący prądem wpływającym do bazy tranzystora. Ponieważ jest szeregowo włączony złącza bazy – emiter, to zwiększenie jego oporu powoduje zmniejszenie prądu wpływającego do bazy , a zatem wolniejsze nasycenie się tranzystora. W rezultacie zwiększenie oporności RA powoduje opóźnienie przejścia tranzystora w stan przewodzenia , i co za tym idzie przesunięcie badanej charakterystyki w prawo (RA=12kW).

-           RB – podobnie wpływa na układ co RA , jednak ponieważ jest równolegle włączony w złącze baza – emiter , zwiększenie oporności przynosi od wrotne skutki, zwiększenie prądu wpływającego do bazy . Aby opóźnić zatem nasycenie tranzystora należy zmniejszyć wartość RB (RB=5,7kW).

-           RC – jest rezystorem włączonym na wyjściu . Zmniejszenie jego wartości pozytywnie wpływa na możliwości połączenia go w układ – nie będzie on przy połączeniach powodował wysokich spadków napięć  Z drugiej strony zmniejszenie jego oporności źle wpływa na przebieg charakterystyki funktora – funkcja jest bardziej nachylona do osi UR obszar przejścia ze stanu „1” do „0” zajmie większy przedział niż przy RC o większej oporności . Możliwość włączenia funktora w układ jest jednak sprawą nadrzędną , więc wskazane jest stosowanie opornika o małej rezystancji (RC=1kW).

  Ograniczenie liczby wejść i wyjść.

Przy projektowaniu układów z elementów diodowych trzeba uwzględnić szereg ograniczeń , spowodowanych spadkiem napięcia na diodach przewodzących i prądem wstecznym diod nie przewodzących .Dlatego np. rezystor R w elemencie alternatywy przyłącza się niekiedy do napięcia dodatniego. Liczba wejść elementów diodowych może sięgać 10, obciążalność 2-5.

NOR(DTL) – są to elementy diodowo-tranzystorowe. Wzmacniające działanie tranzystorów łagodzi ograniczenia dotyczące obciążalności (dopuszcza się 5-6) i struktury połączeń między elementami. Dodanie kondensatora ma za zadanie zwiększenie szybkości działania elementu.

NOR(RTL) - mają w prawdzie mniejszą szybkość działania , mniejszą liczbę wejść (zwykle 3 do 4) niż elementy DTL.

NAND(TTL) - te układy charakteryzują się dużą szybkością działania , liczba wejść dochodzi do 8, a obciążalność do 10.

Wykorzystując oporniki I diody można realizować funkcję sumy I iloczynu.

-  Suma logiczna nazywana często elementami LUB (OR). Zapisana w postaci:  y  = x1+x2+x3+… przy czy sygnał wyjściowy y oraz sygnały wejściowe x1, x2, x3 przyjmują wartości zero lub jeden. Funkcja sumy jest równa 1 jeżeli przynajmniej jeden z sygnałów wejściowych ma wartość 1

- iloczyn logiczny zwany elementami I (AND) zapisany w postaci y = x1x2x3…    funkcja ta ma wartość 1 tylko wtedy , kiedy wszystkie sygnały wejściowe są równe jeden.

      Wykorzystując tranzystory I oporniki można realizować funkcje logiczne:

- elementy NAND którego nazwa pochodzi od NOT AND realizuje zależność:

    y=x1x2x3….       Jest to negacja iloczynu, sygnał wyjściowy y ma wartość 0 tylko wtedy gdy iloczyn sygnałów wejściowych jest równy 1 gdy wszystkie sygnały wejściowe x1, x2, x3   są równe 1.

-  element NOR nazwa pochodzi od NOT OR realizuje zależność       y=x1+x2+x3+…      jest to negacja sumy. Sygnał wyjściowy y jest równy 1 tylko wtedy, gdy suma sygnałów wejściowych jest równa 0. Zarówno funkcja NOR jak I NAND pozwalają zrealizować każdą funkcję przełączającą.

Które oporniki I jak wpływają na funkcję NOT?

   -  negacja logiczna jeśli sygnał na wejściu jest równy „0” , baza tranzystora jest spolaryzowana napięciem dodatnim, więc  tranzystor jest zatkany -  nie przewodzi prądu I na wyjściu negatora jest ujemny potencjał względem masy. Napięcie zasilające powinno być bliskie wartości napięcia odpowiadającej jedynce, wówczas przy całkowitym zatkaniu tranzystora na wyjściu otrzymujemy „1”.

- Zwiększenie rezystora Ra powoduje zmniejszenie wysterowania tranzystora I przesunięcie progu przełączenia w kierunku wyższych wartości napięcia.

- Zwiększenie rezystora Rb powoduje zwiększenie wysterowania tranzystora I przesunięcie progu przełączenia w kierunku niższych wartości napięcia.

-           Zwiększenie Rc powoduje obniżenie poziomu napięcia na wyjściu, zmniejszenie obciążalności bramki.

Jak się dobiera oporności w funktorach typu OR I AND?

Za kryterium doboru zwykle dobiera się największą spodziewaną rozbieżność w działaniu układu, która wystąpi dla krańcowych wartości oporności. Po wykonaniu pomiarów określa się wartość oporności, która jest optymalna dla danego układu:

- dla funkcji OR bardziej odpowiednim będzie rezystor przy którym stany wejść będą zbliżone do stanu wyjść (napięcie wejściowe będzie w nieznacznym stopniu odbiegało od napięcia wyjściowego) wówczas dzięki małym stratom w układzie będzie można podłączyć do niego więcej elementów zachowując stany logiczne.

- funktorach AND dość trudno na podstawie stanów wyjść określić, który z oporników jest odpowiedniejszy I aby to zrobić należy przeprowadzić analizę pośrednią I uwzględniającą warunki jakie występują w układzie w stanie 1;1 którą to wybieramy oporność dla której prąd przepływający przez diody będzie mniejszy. Co wydatnie wpłynie na sprawność działania diod. Wówczas występują mniejsze straty energii oraz źródło zasilane będzie mniej obciążone.

Jak oporniki wpływają na pracę?

Ra – rezystor sterujący prądem wpływający do bazy tranzystora, ponieważ jest szeregowo włączony do złącza baza-emiter, to zwiększenie jego oporu powoduje zmniejszenie prądu wpływającego do bazy, a zatem wolniejsze nasycenie się tranzystora. W rezultacie zwiększenie oporności Ra powoduje opóźnienie przejścia tranzystora w stan przewodzenia i co za ty idzie przesunięcie badanej ch-ki w prawo.

Rb – podobnie wpływa na układ jak Ra. Jest włączony równolegle w złącze baza – emiter, zwiększenie oporności przynosi odwrotne skutki – zwiększenie prądu wpływającego do bazy. Aby opóźnić zatem nasycenie tranzystora należy zmniejszyć wartość rezystancji Rb.

Rc – rezystor włączony na wyjściu, zmniejszenie jego wartości pozytywnie wpływa na możliwość połączenia go w układ – nie będzie on przy połączeniach powodował wysokich spadków napięć, z drugiej strony zmniejszenie jego oporności źle wpływa na przebieg ch-ki funktora. Obszar przejścia ze strony 1do 0 . Zajmuje większy przedział niż Rc o większej oporności. Możliwość włączenia funktora w układ jest jednak sprawą nadrzędną więc wskazane jest stosowanie oporników o małej rezystancji.

         Jednoczesne zmniejszenie Rb I Rc powoduje otrzymanie ch-ki zbliżonej do idealnej I przesunięcie wykresu w prawo.

Czy  istnieją ograniczenia na liczbę wejść I wyjść dla funktora NOR?

Ograniczenia w NOR na liczbę wejść I wyjść istnieją. Gdyż wyjście każdej bramki jest odbiornikiem prądu, zaś wejście do którego bramki te są podłączone ma skończoną wydajność prądową. Podłączenie równolegle zbyt dużej ilości wejść spowoduje, że napięcie wyjścia w stanie wysokim zmniejszy się do poziomu, w którym podłączone bramki stan wysoki zaczną interpretować jako stan niski co spowoduje wadliwą pracę układu.

Czyli aby zapewnić prawidłowe działanie bramki NOR trzeba tak dobrać wartości rezystancji, aby przy wyłączonej bramce , tranzystory sterowane przez bramkę znajdowały się w stanie włączonym. Jest to warunek obciążalności czyli ograniczenia liczby tranzystorów, które mogą być sterowane z jednej bramki. Czyli dla danej bramki o danej wartości napięcia I rezystancji, maksymalna liczba układów, które mogą być sterowane przez tę bramkę, ograniczona jest wymaganiem, aby w stanie włączonym  bramki wszystkie sterowane tranzystory znajdowały się w stanie włączonym I pracowały w nasyceniu.
Czy można  AND I OR zbudować tylko za pomocą rezystorów. 

...