WYKL11_SEM1_pon.pdf

(254 KB) Pobierz
Prezentacja programu PowerPoint
Rozwiązanie obwodu RLE w stanie nieustalonym – wyznaczenie przebiegu
prądu i(t):
t=0
R
Dla t ≥ 0 równanie napięciowe ma postać:
E
L
di
L =
+
Ri
E
i
dt
Ponadto korzystamy z warunku ciągłości prądu w elemencie indukcyjnym,
stosując go tu dla chwili t=0: - prąd nie płynął przed zamk-
nięciem łącznika; otrzymaliśmy warunek początkowy dla prądu i(t). Nale-
i
( ) ( )
−
=
i
0
+
=
0
żyrozwiązać to równanie różniczkowe z danym warunkiem początkowym.
Rozwiązanie jest sumą składowej swobodnej i s (t) i składowej wymuszonej
i w (t) :
t
−
L
t
E
−
E
i
(
t
)
=
i
+
i
=
A
⋅
e
R
+
=
A
⋅
e
T
+
s
w
R
R
0
199393480.008.png 199393480.009.png
Pozostaje jeszcze wyznaczenie stałej całkowania A; korzystamy tu z
warunku początkowego i(t=0 + )=0, więc:
−
0
E
E
E
0
=
A
⋅
e
T
+
⇒
0
=
A
+
⇒
A
=
−
R
R
R
Rozwiązanie ma ostatecznie postać:
−
t
⎛
−
t
⎞
E
L
E
E
⎜
L
⎟
E
⎛
t
⎞
−
i(t)
=
−
⋅
e
R
+
=
⎜
1
−
e
R
⎟
=
⎜
1
−
e
T
⎟
R
R
R
R
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
i
E
R
t
199393480.010.png 199393480.011.png 199393480.001.png
 
Teoretycznie stan przejściowy trwa nieskończenie długo – rozwiązanie
zmierza asymptotycznie (funkcja exp) do wartości ustalonej; w praktyce
przyjmuje się, że po upływie ok. 4÷5 stałych czasowych został osiągnięty
stan ustalony. Wartość prądu po upływie 5-ciu stałych czasowych wynosi:
E
⎛
−
5
T
⎞
E
E
i
(
t
)
=
1
−
e
T
=
( )
−
e
−
5
≈
0
993
⎜
⎟
R
R
R
⎝
⎠
czyli prąd osiąga ponad 99% wartości, jaką miałby w stanie ustalonym (dla
4 stałych czasowych jest to ponad 98%). Ponieważ stała czasowa:
T =
L
R
zależy od parametrów R, L obwodu (nie zależy np. od napięcia E), stąd
tylko te wartości decydują o czasie trwania stanu przejściowego – im
większa indukcyjność, tym czas ten jest dłuższy (tzn. prąd wzrasta
wolniej), im większa rezystancja tym krótszy czas narastania prądu. Prąd
najszybciej rośnie na początku stanu przejściowego tzn. dla t=0 + ,
maksymalna stromość przebiegu prądu:
di
d
⎡
E
⎛
−
t
⎞
⎤
E
−
t
E
−
t
di
E
=
⎢
1
−
e
T
⎥
=
e
T
=
e
T
⇒
=
⎜
⎟
dt
dt
⎢
R
⎥
RT
L
dt
L
⎣
⎝
⎠
⎦
max
⎜
⎟
1
⎜
⎟
199393480.002.png 199393480.003.png 199393480.004.png 199393480.005.png
Załóżmy, że w naszym obwodzie parametry wynoszą:
E = 100 V, L = 50 mH, R = 100 Ω .
W tym przypadku stała czasowa obwodu wynosi:
T
=
L
=
0
05
H
=
0
⋅
10
−
3
s
=
0
ms
R
100
Ω
a zatem prąd osiągnie wartość ustaloną po czasie (w przybliżeniu) ok. 2 ÷
2,5 ms.
Maksymalna stromość tzn. szybkość narastania prądu – tuż po załączeniu
łącznika - wyniesie:
di
=
E
=
100
V
=
2000
A
2
A
dt
L
0,05
H
s
ms
max
Ograniczenie stromości narastania prądu ma często znaczenie w układach
zawierających elementy półprzewodnikowe – można wówczas włączyć
szeregowo indukcyjność.
=
199393480.006.png
Przeanalizujmy przebieg procesu ładowania kondensatora w obwodzie
RCE:
przy założeniu, że kondensator nie był
uprzednio naładowany, czyli:
R
u =
t
<
0
)
0
t=0
C
Dla t ≥ 0 równanie napięciowe ma postać:
E
u
u
+
Ri
=
E
i
ale:
i =
C
du
stąd:
RC
du
+
u
=
E
dt
dt
Ponadto korzystamy z warunku ciągłości napięcia na elemencie pojemnoś-
ciowym, stosując go tu dla chwili t=0: - napięcie nie
u
( ) ( )
0
−
=
u
0
+
=
0
występowało na kondensatorze przed zamknięciem łącznika; otrzymaliśmy
warunek początkowy dla napięcia u(t). Należy rozwiązać to równanie
różniczkowe z danym warunkiem początkowym.
Składową swobodną wyznaczamy poprzez rozwiązanie równania charakte-
rystycznego:
1
1
RC
⋅
r
+
1
=
0
⇒
r
=
−
=
−
RC
T
199393480.007.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin