Podstawy geometrii fraktalnej.docx

Spinoza

"Nic w naturze nie jest przypadkowe. Rzeczy wydają się losowe tylko przez niepełność naszej wiedzy."

Strona powstała jako praca magisterska pod promotorstwem dra Sebastiana Stach na Wydziale Informatyki i Nauki o Materiałach Uniwersytetu Śląskiego.

Witryna zawiera najważniejsze informacje z zakresu geometrii fraktalnej oraz pojęć ściśle z nią związanych. Powstała z myślą o osobach studiujących na naszej uczelni jako pomoc dydaktyczna, oraz dla wszystkich innych ciekawych wiedzy z zakresu fraktali.

Maksymilian Mucha

Patrząc na świat, nie widać prostych kształtów, widoczne są zróżnicowane struktury często mające wiele cech fraktali. Gdy patrzy się na obiekty materialne w pewnym momencie stwierdza się, że mają one strukturę fraktalną. Poprawne jest stwierdzenie B. Mandelbrota -Fraktalem jest wszystko. Człowiek jednak z natury skłonny jest do uproszczeń. Zamiast skomplikowanych wzorów, którymi przyroda obdarowuje, widzi proste bryły geometryczne. Tak, więc lina horyzontu to prosta, drzewa to walce, a szczyty górskie to stożki. Tak na przyrodę patrzył Euklides, ojciec geometrii. Klasyczna "…geometria nie potrafi opisać kształtu chmury, góry, linii brzegowej lub drzewa. Chmury nie mają kształtu kuli, góry nie mają kształtu stożka, linia brzegowa nie jest okręgiem, kora nie jest gładka, a błyskawica nie biegnie po prostej" .

Formy te, niedające się opisać klasyczną geometrią, starano się opisać za pomocą tworów, które są jakby jej zaprzeczeniem. Twory te to FRAKTALE.

Historia fraktali

Zanim nadano imię fraktalom, wiele z nich było tylko wzorami na kartkach papieru. Do matematyki  to pojęcie  wprowadzono w latach siedemdziesiątych ubiegłego wieku, wieku komputerów. Poprzez wizualizacje fraktale stały się bardziej przystępne. Zanim jednak Benoit Mandelbrot pokazał światu swój zbiór, istniały prace, w których fraktale miały swój początek. W opracowaniach wszystkie miały podobną cechę, posiadały niecałkowity wymiar Hausdorffa, służyły w literaturze za materiał dowodowy w pewnych matematycznych twierdzeniach. Wielu matematyków przed Mandelbrot'em miało z nimi styczność. Matematycy dali światu szereg fraktali, które do dziś uznaje się za fraktale klasyczne. Ich nazwy pochodzą od nazwisk odkrywców takich jak: George Cantor, Giuseppe Peano, David Hilbert, Helge von Koch, Wacław Sierpiński czy Gaston Julia. Dzięki dziełom tych wspaniałych matematyków Benoit Mandelbrot stworzył podstawę dla swojej nowej idei geometrii - geometrii fraktalnej. Ich konstrukcje były częścią tej geometrii. Były jej kamieniem węgielnym. W krótkiej historii fraktali, konstrukcje te nie powstawały w umyśle ich twórców, jako podstawy nowego spojrzenia, czy nowej geometrii natury. Zbiór Cantora, trójkąt Sierpińskiego, czy krzywa Peano uważane były za pewnego rodzaju matematyczne monstra, choć wyjątkowe, to jednak używane jako kontrprzykłady - zaprzeczenia pewnych teorii. Pierwsze fraktale powstały przy próbie zrozumienia takich pojęć jak krzywa czy ciągłość. Zbiór Cantora, dywan Sierpińskiego i gąbka Mengera są szczególnie ważnymi przykładami, dzięki ich głębokim korzeniom i podstawowej roli jaką odegrały w rozwoju wczesnej topologii.

Nawet w kręgach matematyków ich głębokie znaczenie się nieco zatraciło - nie były one postrzegane, jako kształty typowe, a raczej jako kształty przejawiające odchylenia od normalnych struktur. Mandelbrot udowodnił później, że te "wczesne" matematyczne fraktale mają wiele cech wspólnych z kształtami, które można znaleźć w naturze. Stąd wziął się tytuł jego książki, opublikowanej w 1982 r., "The Fractal Geometry of Nature" (Fraktalna geometria natury). Można powiedzieć, że Mandelbrot odwrócił oficjalną interpretację i ocenę tych fantastycznych obiektów do góry nogami. W rzeczywistości zrobił on o wiele więcej. Takie struktury jak zbiór Cantora istniały wcześniej, ale to Mandelbrot stworzył język, który umożliwił integrację wszystkich wcześniejszych obiektów fraktalnych. Zgodnie z tym co sam twierdzi, nie podążał on za jakimś jednym wielkim planem podczas realizacji tego programu. Było to raczej podsumowanie jego złożonego - chciałoby się rzec samotniczego - doświadczenia naukowego w matematyce, lingwistyce, ekonomi, fizyce, naukach medycznych, czy sieciach komunikacyjnych.

Odkrywcy nie sądzili, że ich twory tak głęboko i tak trwale zakorzenią się we współczesnej geometrii fraktalnej. Nigdy nie przyszło im na myśl, że stworzą coś, co pozwoli zrozumieć rzeczy, które za ich czasów nie dawały się wytłumaczyć a często nawet sklasyfikować. Stworzą coś, co być może wytłumaczy samą naturę.

Definicja

W tym rozdziale przybliżono, czym jest fraktal. Nie użyto słowa definicja gdyż taka nie istnieje. Według encyklopedii PWN fraktal pochodzi od słowa fractus oznaczającego złamany. Matematycznie rzecz ujmując to skomplikowana figura geometryczna, o której na pierwszy rzut oka trudno powiedzieć, czy jest krzywą, powierzchnią, czy ma jeszcze większy wymiar; charakteryzuje ją swoista regularność w nieregularności — stopień tej regularności jest określony liczbą niecałkowitą (wymiar fraktalny).

Fraktale mają swoje pierwowzory w świecie fizycznym i są nimi krzywe i powierzchnie ilustrujące wszelkie przypadkowe nieregularności:

- ruchy Browna,

- wahania cen giełdowych,

- różnorodne kształty płatków śniegu,

- zakręty linii brzegowych oraz inne.

Do badań matematycznych wprowadził je w 1975r. francuski matematyk Benoit Mandelbrot. Jednym z pierwszych fraktali, które pojawiły się w rozważaniach matematyków przed wprowadzeniem tego pojęcia był dywan Sierpińskiego, który ujrzał światło dzienne ok. 1920r. Innym przykładem dawno znanego fraktala powstałego około 1904r. jest śnieżynka Kocha będąca jednym z najprostszych matematycznych modeli pełnej linii brzegowej. Fraktale trafiły do matematyki z nauk przyrodniczych i technicznych, a badane zaawansowanymi metodami współczesnej matematyki znów znajdują zastosowanie do opisu zjawisk przyrody i techniki, np. turbulencji i chaosu; dzięki komputerom można je efektywnie badać, a w grafice komputerowej mają zastosowanie do tworzenia obrazów.

W próbie opisu wraz z niecałkowitym wymiarem pojawia się również samopodobieństwo. Dla klasyfikacji tych obiektów, należy napisać podpunkty, które w większym lub mniejszym stopniu spełniać będą, co jest, a co nie jest fraktalem.

W „Fraktal Geometry of Nature” za najważniejsze cechy określające fraktale, uważa się:

- fraktale nie są określane wzorem, lecz zależnością rekurencyjną,

- są samopodobne,

- ich wymiar nie jest, lub nie musi być liczbą całkowitą.

Patrząc na te cechy wyraźnie widać, że fraktale to całkowicie inna i odmienna grupa obiektów matematycznych. Opis fraktali dobrze ujmuje cytat: „Wraz z kolejnymi iteracjami, wynik transformacji zostaje coraz bardziej przybliżony. Owszem, czasem stosuje się wzory jako transformacje, ale nie jest to obowiązkiem”. Punkt drugi mówi o samopodobieństwie fraktali. Jest to cecha, która decyduje o ich pięknie. Każdy fraktal składa się z nieskończonej liczby małych kopii siebie lub swoich fragmentów. Czasem bywa także, że w powiększeniu jednego fraktala znajdujemy kopie innych, jak jest to w zbiorze Mandelbrota, w którym znajdują się kopie wszystkich zbiorów Julii. Punkt trzeci wynika z faktu, że wymiar fraktalny oblicza się inaczej niż wymiar zwykłych figur geometrycznych. Tutaj patrząc na fraktal nie możemy intuicyjnie obliczyć jego wymiaru. Najczęściej wymiar fraktalny jest liczbą niewymierną, jednak i od tego zdarzają się wyjątki.

Prof. Kudrewicz w pracy "Fraktale i chaos" pisze: fraktalem na płaszczyźnie nazywamy dowolny niepusty i zwarty podzbiór płaszczyzny X. To stwierdzenie później ułatwi zrozumienie wymiaru fraktalnego. Poniżej przedstawiono jeden z najogólniejszych podziałów fraktali:

- fraktale stochastyczne (występujące w naturze),

- fraktale niestochastyczne (niewystępujące w naturze).

Teoria fraktali daje możliwość zobaczenia wcześniej ukrytego piękna matematyki. Pierwszy raz w historii człowieka widać tak bliski związek matematyki z naturą. Dopiero teraz można oderwać się od przyrządów matematycznych, wyjść na świeże powietrze i zobaczyć piękne idealne struktury będące fraktalami. Do tego celu wystarczy inne spojrzenie na świat.

Podsumowując rozważania literaturowe można zapisać, iż fraktalem jest obiekt, którego wymiar Hausdorffa-Besicovitcha jest większy od wymiaru topologicznego. Wymiar ten to zależność między powierzchnią lub objętością a długością danego fraktala, jej wynik jest przeważnie wartością niewymierną. Często również wypełnia przestrzeń, w której jest osadzony. Każdy wycinek jest podobny do całości i niezależnie od powiększenia ma coraz to nowsze szczegóły.

Po przeanalizowaniu, ukażą się fraktale w każdym niemal kształcie wymyślonym przez przyrodę. Nie byłoby możliwości opisu struktur przyrody gdyby nie geometria fraktalna. Nie dałoby się opisać chmur, kształtu drzew, łańcuchów górskich. Ekonomia i meteorologia nie miałaby narzędzia do prognozowania. Metalurgia nie zrozumiałaby właściwości fraktalnych powierzchni metalu i pęknięć, astronomia - rozłożenia galaktyk we wszechświecie.

Geometria fraktalna występuje w każdej dziedzinie nauki, od astronomii po zoologię, bada populacje, białka a nawet kod DNA. Prognozuje pogodę jak i kursy akcji na giełdzie. W informatyce symuluje krajobrazy jak i pomaga je przekształcać oraz kompresować. Nieliczne pozostają dziedziny, w których nie odcisnęła swojego piętna, o ile jeszcze takowe istnieją.

Cechą charakterystyczną obiektów geometrycznych jest wymiar. Z punktu widzenia geometrii analitycznej, wymiar figury geometrycznej równa się liczbie współrzędnych potrzebnych do określenia położenia dowolnego punktu tej figury. Jednak wymiar to wbrew pozorom nie jest łatwe pojęcie. W ciągu wieków, matematycy borykali się z pytaniem: Co to jest wymiar i jakie są jego własności? Na domiar złego w obecnych czasach musimy się borykać niestety nie z jedną definicją. Ponieważ rodzajów wymiaru jest kilka:

- wymiar topologiczny
- wymiar Hausdorffa
- wymiar fraktalny
- wymiar samopodobieństwa
- wymiar korelacyjny
- wymiar pudełkowy
- wymiar pojemnościowy
- wymiar informacyjny
- wymiar Lyapunowa
- wymiar euklidesowy
- wymiar cyrklowy

Kiedyś wymiar był w matematyce liczbą przypisaną zbiorowi lub przestrzeni w taki sposób, by punkt miał wymiar równy 0, prosta wymiar równy 1, płaszczyzna wymiar równy 2.

Jednak wraz z postępem nauk matematyczno – przyrodniczych pojawiły się nowe definicje wymiaru a istniejące zostały rozwinięte. Niniejsze opracowanie nakreśla tylko niezbędne definicje dla geometrii fraktalnej, gdyż sposób przypisania wymiaru zależy od działu matematyki. Dla przykładu, wymiar w przestrzeni liniowej definiuje liczba elementów jej bazy (liniowo niezależny układ wektorów rozpinający przestrzeń).

Liczba definicji wymiarów została skomplikowana, gdy odkryto krzywe pozwalające wypełnić obiekt dwuwymiarowy. Wszystko ma swój początek w topologii, która w równoznaczny sposób traktuje krzywą Kocha jak i prostą. Natomiast płaszczyzna jest równoznaczna z naszpikowaną wzniesieniami i dolinami powierzchnią. Jeśli chodzi o topologię, to jest ona gałęzią matematyki, zajmująca się kwestiami formy i kształtu. Powstał problem, który niepokoił matematyków. Mimo, iż znane było stwierdzenie że wymiar obiektu X jest to liczba niezależnych parametrów (współrzędnych), które są potrzebne do jednoznacznego opisu jego punktów, to jednak udowodniono istnienie obiektów pośrednich, niebędących ani krzywą, ani płaszczyzną. Krzywa Kocha, mająca wymiar topologiczny równy 1, odbiega od wymiaru Hausdorffa wynoszącego log 4 / log 3=1,2618. Gdzie niecałkowity wymiar to typowa cecha obiektów fraktalnych.

Benoit Mandelbrot

"Fraktalem jest wszystko."