kinematyka_punktu.pdf

(273 KB) Pobierz
Wykład 6.
5.2.1. Tor, prędkość i przyśpieszenie punktu
Rozpatrzmy ruch punktu materialnego względem przyjętego układu odniesienia
uważanego za nieruchomy. Aby poznać ruch tego punktu, w każdej chwili musimy
mieć możliwość wyznaczenia miejsca, w którym się ten punkt znajduje. Do okre-
ślenia położenia dowolnego punktu M (rys. 5.1) w każdej chwili względem nieru-
chomego punktu O wystarczy podanie wektora r o początku w punkcie O i końcu
w rozważanym punkcie M.
z
L
hodograf wektora
wodzącego
M
r
wektor
wodzący
O
y
x
Rys. 5.1. Opis położenia punktu za pomocą wektora wodzącego
Wektorową funkcję czasu
= t .)
( )
nazywamy wektorem wodzącym . Wektor ten możemy zapisać analitycznie
w prostokątnym układzie współrzędnych x, y, z za pomocą jego współrzędnych
w postaci funkcji wektorowej:
rr
== + +
t xt yt zt .)
i j k
lub równoważnych trzech równań skalarnych
xxt yyt zzt
=
( ) ( ) ( )
,
=
,
=
. .)
Równanie (5.1) lub (5.2) nazywamy wektorowym równaniem ruchu , a trzy
równania (5.3), równoważne wektorowemu, skalarnymi lub algebraicznymi rów-
naniami ruchu.
rr
( ) ( ) ( ) ( )
3081865.003.png
91
Gdy punkt M będzie się poruszał, wektor r będzie zmieniał z upływem czasu
swoją wartość i kierunek, a koniec tego wektora zakreśli krzywą L, którą będziemy
nazywać torem punktu lub hodografem wektora wodzącego r . Jak już powiedziano
w p. 2.3.7, hodograf rozpatrywanej funkcji wektorowej to linia zakreślona przez
końce wektorów, których początki znajdują się w jednym punkcie.
W czasie ruchu punktu M wektor wodzący r tego punktu będzie zmieniał swoją
wartość i kierunek. Załóżmy, że w chwili czasu t 1 położenie punktu M 1 wyznacza
wektor wodzący r 1 = r (t 1 ), a w chwili t 2 = t 1 + ∆t punkt zajmuje położenie M 2 wy-
znaczone przez wektor wodzący r 2 = r (t 2 ), jak na rys. 5.2. Widzimy, że po upływie
czasu ∆t = t 2 – t 1 wektor wodzący uzyskał przyrost ∆ r = r 2 – r 1 . Iloraz ∆ r /∆t jest
wektorem współliniowym z wektorem ∆ r , czyli jest skierowany wzdłuż cięciwy
M 1 M 2 . Jeżeli przyrost czasu ∆t będzie dążył do zera, to w granicy otrzymamy po-
chodną wektora r względem czasu:
li t0
∆
∆
r
==
d
dt
r
v
,
∆
→
t
nazywaną prędkością punktu. Oznacza to, że prędkością punktu nazywamy
pochodną względem czasu wektora wodzącego tego punktu:
v
= d
dt
r
. .)
z
L
M 1
= d
dt
r
v
∆ r
M 2
r 1
∆
∆
r
t
r 2
O
y
x
Rys. 5.2. Prędkość punktu
Łatwo zauważyć, że jeżeli punkt M 2 dąży do punktu M 1 , to cięciwa M 1 M 2 dąży
do stycznej do toru w punkcie M 1 . Wynika stąd, że prędkość punktu jest styczna do
toru punktu M, czyli styczna do hodografu wektora wodzącego r .
3081865.004.png
92
Gdy wektor wodzący zapiszemy w postaci (5.2), to zgodnie z podanymi
w p. 2.3.7 zasadami różniczkowania jego pochodna
v
==++
d
dt
r
dx
dt
i
dy
dt
j
dt k
. .)
Po zapisaniu prędkości v w układzie współrzędnych x, y, z
v
= + +
vv v
x
i
y
j
z .)
k
i podstawieniu do równania (5.5) oraz po porównaniu wyrazów przy tych samych
wersorach otrzymamy wzory na współrzędne prędkości:
v
x
=
dx
dt
,
v
y
=
dy
dt
, = . (5.7)
v
z
dz
dt
Widzimy, że współrzędne prędkości są równe pochodnym względem czasu odpo-
wiednich współrzędnych wektora wodzącego.
Wartość prędkości określa wzór:
v vvv
x
= + +
2
2
2
. (5.8)
y
z
W czasie ruchu punktu M jego prędkość v w ogólnym przypadku ruchu zmienia
zarówno swoją wartość, jak i kierunek. Jeżeli dla dwóch położeń punktu M, odpo-
wiadających chwilom t 1 i t 2 = t 1 + ∆t, wektory prędkości oznaczymy odpowiednio
przez v 1 i v 2 i przesuniemy je tak, aby ich początki znalazły się w jednym punkcie
O 1 (rys. 5.3), to widzimy, że prędkość w czasie ∆t = t 2 – t 1 uzyskała przyrost
∆ v = v 2 – v 1 . Końce tych wektorów leżą na linii, którą nazywamy hodografem
prędkości .
a
= d
dt
v
hodograf prędkości
∆ v
v 1
∆
∆
v
t
v 2
O 1
Rys. 5.3. Przyśpieszenie punktu
Wielkością charakteryzującą zmianę prędkości w czasie jest wektor ∆ v /∆t
o kierunku przyrostu prędkości ∆ v . Jeżeli przyrost czasu ∆t będzie dążył do zera, to
dz
3081865.005.png 3081865.006.png
93
w granicy otrzymamy pochodną prędkości v względem czasu, nazywaną przyśpie-
szeniem a punktu M:
li t0
→
∆
∆
vv a
t
==
d
dt
.
Przyśpieszenie punktu jest pochodną prędkości względem czasu albo drugą
pochodną wektora wodzącego względem czasu .
==
d
dt
d
dt
2
r
a
. .)
2
Kierunek przyśpieszenia jest styczny do hodografu prędkości v .
W prostokątnym układzie współrzędnych x, y, z przyśpieszenie a możemy za-
pisać w następujący sposób:
a
= + +
aa a
x
i
y
j
z . .)
k
W celu wyznaczenia współrzędnych przyśpieszenia zróżniczkujemy względem
czasu prędkość wyrażoną wzorem (5.6):
a
== + +
d
dt
v
dv
dt
x
i
dv
dt
y
j
dv
dt
z
k . .)
Po uwzględnieniu zależności (5.7) współrzędne przyśpieszenia będą opisane zależ-
nościami:
dv
dt
dx
dt
dv
dt
dy
dt
2
dv
dt
dz
dt
a
= =
,
a
= =
y
,
a
= =
z
. (5.12)
x
2
y
2
z
2
Z powyższych wzorów wynika, że współrzędne przyśpieszenia punktu w nieru-
chomym prostokątnym układzie współrzędnych są pierwszymi pochodnymi wzglę-
dem czasu współrzędnych prędkości lub drugimi pochodnymi względem czasu
odpowiednich współrzędnych tego punktu.
Znając współrzędne przyśpieszenia, jego moduł obliczymy ze wzoru:
a
=++
a a
2
2
a
2
. .)
x
y
z
5.2.2. Prędkość i przyśpieszenie punktu w naturalnym układzie współrzędnych
W poprzednim punkcie wyznaczyliśmy współrzędne prędkości v i przyśpiesze-
nia a w prostokątnym układzie współrzędnych x, y, z. Na podstawie takiego postę-
∆
2
2
x
3081865.001.png
94
powania nie można ustalić, jak porusza się punkt względem toru L i jak zmieniają
się moduły i kierunki wektorów prędkości v i przyśpieszenia a w funkcji przebytej
drogi l. W celu udzielenia odpowiedzi na postawione pytanie przyjmijmy w punk-
cie M lokalny układ współrzędnych prostokątnych o osiach s, n, b o kierunkach
odpowiednio stycznym s, normalnym n i binormalnym b do krzywej
w rozważanym punkcie M (rys. 5.4). Kierunki osi s, n, b takiego układu współ-
rzędnych będą określone odpowiednio wersorami e s , e n i e b . Tak zdefiniowane
wersory e s , e n i e b wyznaczają w każdym punkcie linii (toru) L prawoskrętny układ
współrzędnych, który nazywamy układem naturalnym .
b
z
n
e b
e n
r (l)
M
L
e s
s
O
y
x
Rys. 5.4. Ruch punktu w naturalnym układzie współrzędnych
Wykażemy, że jeżeli dane jest wektorowe równanie toru w funkcji drogi l mie-
rzonej wzdłuż toru:
( )
= l, .)
to wersory te są opisane wzorami:
d
dl
r
d
dl
r
e
=
,
e
=
ρ
,
eee
s
=
× , (5.15)
s
n
2
b
n
gdzie ρ jest promieniem krzywizny w punkcie M.
W tym celu przedstawmy fragment linii L w płaszczyźnie ściśle stycznej sn
widzianej od strony strzałki osi binormalnej b (rys. 5.5). Na torze (linii) obierzmy
punkt M i drugi M′ tak, aby długość ∆l drogi mierzona po łuku MM′ była niewiel-
ka. Jeżeli weźmiemy granicę ilorazu przyrostu wektora wodzącego ∆ r i przyrostu
drogi ∆l
rr
2
3081865.002.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin