Matematyka-Vademecum.pdf

(941 KB) Pobierz
GMV-13
169881543.051.png
13.1. Uk∏ad wspó∏rz´dnych kartezjaƒskich
13. Funkcje
13.1. UK¸AD WSPÓ¸RZ¢DNYCH KARTEZJA¡SKICH
Y
Prostokàtny uk∏ad wspó∏rz´d-
nych to dwie wzajemnie pros-
topad∏e osie liczbowe o wspólnym
punkcie 00
8
oÊ rz´dnych
_ i, zwanym poczàt-
kiem uk∏adu wspó∏rz´dnych.
OÊ poziomà (oÊ OX ) nazywamy
osià odci´tych, a oÊ pionowà (oÊ
OY ) nazywamy osià rz´dnych.
Osie te dzielà p∏aszczyzn´ na
cztery çwiartki.
W uk∏adzie wspó∏rz´dnych
mo˝na opisaç po∏o˝enie ka˝-
dego punktu za pomocà jego
wspó∏rz´dnych (np.:
II çwiartka
6
I çwiartka
4
P= (5, 3)
2
–
8
–
6
–
4
–
2
0
2
468
X
– 2
_ i).
Zawsze jako pierwszà wspó∏-
rz´dnà wymieniamy t´, którà
odczytujemy na osi X , a jako
drugà t´, którà odczytujemy na
osi Y .
P 53
,
oÊ odci´tych
–
4
III çwiartka
IV çwiartka
–
6
Y
6
K= (
–
5, 3)
4
P= (5, 3)
Punkty, których pierwsze
wspó∏rz´dne sà liczbami przeci-
wnymi, a drugie sà takie same,
sà po∏o˝one po przeciwnych
stronach osi OY i w tej samej
odleg∏oÊci od tej osi, na przy-
k∏ad:
punkt
2
–
8
–
6
–
4
–
2
0
2
4
6
8
X
–
2
K
=-
_
53
,
i i punkt
_ i
oraz punkt
=
,
–
4
M
=- -
_
74
,
i
M= (
–
7,
–
4)
N= (7,
–
4)
i punkt
N 74
=-
_
,
i.
Y
6
S = (7, 5)
H = (
–
3, 4)
4
Punkty, których drugie wspó∏-
rz´dne sà liczbami przeciwnymi,
a pierwsze sà takie same, sà po-
∏o˝one po przeciwnych stronach
osi OX i w tej samej odleg∏oÊci
od tej osi, na przyk∏ad:
punkt
2
– 8
– 6
– 4
– 2
0
2
468
X
–
2
H
=-
_
34
,
i i punkt
L
=- -
_
34
,
i
–
4
oraz punkt
S 75
=
_ i i punkt
,
L = (
3,
4)
–
–
D 75
=-
_
,
i.
–
6
D = (7, – 5)
75
=
P 53
169881543.062.png 169881543.070.png 169881543.071.png 169881543.001.png 169881543.002.png 169881543.003.png 169881543.004.png 169881543.005.png 169881543.006.png 169881543.007.png 169881543.008.png 169881543.009.png 169881543.010.png 169881543.011.png 169881543.012.png 169881543.013.png 169881543.014.png 169881543.015.png 169881543.016.png 169881543.017.png 169881543.018.png
13. Funkcje
Y
Y
8
(8, 8)
(7, 7)
(6, 6)
(5, 5)
(4, 4)
(3, 3)
(2, 2)
(1, 1)
8
6
6
(0, 5)
4
4
2
2
(0, 2)
–
8
–
6
–
4
–
2
–
2
(0, 0)
(
–
1,
–
1)
0
2
468
X
0
2
X
(
–
2,
–
2)
–
2
–
2
(0,
–
2)
(
–
3,
–
3)
(
–
4,
–
4)
–
4
–
4
(
–
5,
–
5)
–
6
–
6
(0,
–
7)
–
8
–
8
Punkty, których obie wspó∏rz´dne majà jednakowà wartoÊç, na
przyk∏ad
A 11
=
_,
,
B
=- -
_
33
,
i,
O 00
=
_ i, le˝à na prostej o rów-
,
Punkty, których pierwsza
wspó∏rz´dna jest równa zero,
le˝à na osi OY .
naniu yx
=
.
Y
CHCESZ WIEDZIEå WI¢CEJ?
2
Inna nazwa prostokàtne-
go uk∏adu wspó∏rz´dnych to
uk∏ad wspó∏rz´dnych karte-
zjaƒskich. Nazwa ta pocho-
dzi od nazwiska jego twórcy
– Kartezjusza (1596-1650),
autora s∏ynnego powiedze-
nia „MyÊl´, wi´c jestem”.
–
8
–
6
–
4
–
2
(1, 0) (4, 0) (7, 0)
(
–
7, 0) (
–
4, 0) (0, 0)
0
2
468
X
– 2
Punkty, których druga wspó∏rz´dna jest równa zero, le˝à na osi OX .
13.2. DEFINICJA FUNKCJI I SPOSOBY JEJ OPISYWANIA
Funkcjà okreÊlonà na zbiorze X o wartoÊciach
w zbiorze Y nazywamy takie przyporzàdkowanie,
które ka˝demu elementowi xX
!
przyporzàdko-
X – zbiór argumentów lub dziedzina funkcji
Y – zbiór, do którego nale˝à wartoÊci funkcji
x – argument funkcji
y – wartoÊç funkcji
wuje jeden element yY
!
.
13.2.1. Opis s∏owny
PRZYK¸ADY
Uwaga!
Nie ka˝de przyporzàdkowanie jest funkcjà!
„Ka˝demu uczniowi klasy III a przyporzàd-
kowujemy jego numer w dzienniku”.
„Ka˝dej liczbie ze zbioru {, , }
PRZYK¸AD
przy-
porzàdkowujemy liczb´ do niej przeciwnà”.
„Ka˝demu kwadratowi przyporzàdkowuje-
my jego pole”.
A 246
=
„Ka˝demu miastu Polski przyporzàdkowuje-
my rzek´, która przez to miasto przep∏ywa”.
To przyporzàdkowanie nie jest funkcjà, bo
sà miasta w Polsce, które nie le˝à nad rzekà.
76
169881543.019.png 169881543.020.png 169881543.021.png 169881543.022.png 169881543.023.png 169881543.024.png 169881543.025.png 169881543.026.png 169881543.027.png
13.2. Definicja funkcji i sposoby jej opisywania
13.2.2. Graf
PRZYK¸AD
Graf opisuje funkcj´, której dziedzinà jest pier-
wszy zbiór (z którego strza∏ki wychodzà),
zbiorem wartoÊci – drugi zbiór, a przyporzàd-
kowanie jest zapisane za pomocà strza∏ek.
1
2
3
4
4
3
2
1
PRZYK¸ADY
K
0
1
a
L
1
1
2
b
c
M
3
3
d
– ten graf przedstawia funkcj´ (z ka˝dego ele-
mentu pierwszego zbioru wychodzi jedna
strza∏ka)
– ten graf nie przedstawia funkcji (z jednego
z elementów pierwszego zbioru wychodzà
dwie strza∏ki)
1
a
A
1
B
2
2
b
C
5
D
3
c
4
E
7
– ten graf nie przedstawia funkcji (istnieje ele-
ment w pierwszym zbiorze, z którego nie
wychodzi ˝adna strza∏ka)
– ten graf przedstawia funkcj´ (z ka˝dego ele-
mentu pierwszego zbioru wychodzi jedna
strza∏ka).
13.2.3. Tabela
Tabela opisuje funkcj´, której dziedzinà sà wszystkie elementy w pierwszym wierszu, a zbiorem
wartoÊci sà wszystkie elementy z drugiego wiersza. Elementowi z pierwszego wiersza przyporzàd-
kowany jest element z drugiego wiersza, który le˝y bezpoÊrednio pod nim.
PRZYK¸AD
x
y
1
3
3
5
5
7
7
9
9
11
11
13
dziedzina funkcji
zbiór wartoÊci funkcji
x
y
2
4
5
7
7
8
5
9
6
10
8
12
– ta tabela nie opisuje funkcji, gdy˝ argumentowi
5 przyporzàdkowane sà dwie liczby
13.2.4. Wzór
PRZYK¸ADY
!
Wzór opisuje funkcj´, której zarówno dzie-
dzina, jak i zbiór wartoÊci nale˝à do liczb rze-
czywistych.
Uwaga!
Powy˝szà funkcj´ mo˝na te˝ zapisaç za pomocà
wzoru fx 23
=+ , x
R
Inne przyk∏ady wzorów funkcji:
yx 4
=- +
dla x
!
R
5
!
yx 43
=
x
dla x 0
2
=+-
dla x
!
R
yx 1
=+ dla x
!
R
_i . f _i jest to wartoÊç funkcji f
okreÊlonej danym wzorem dla argumentu x .
=+
y
=
NWD
_idla x
x 1
,
! +
y
= r
x
2
dla
x
!
_
0
,
3
i
77
y 23
y
$
169881543.028.png 169881543.029.png 169881543.030.png 169881543.031.png 169881543.032.png 169881543.033.png 169881543.034.png 169881543.035.png 169881543.036.png
13. Funkcje
13.2.5. Wykres
W funkcji przedstawionej za pomocà wykresu
argument x to pierwsza wspó∏rz´dna, tzw. „od-
ci´ta” (odczytywana na poziomej osi OX ),
a wartoÊç y to druga wspó∏rz´dna, tzw. „rz´dna”
(odczytywana na pionowej osi OY ).
PRZYK¸AD
Y
( x , y 1 )
PRZYK¸AD
Y
( x , y )
X
( x , y 2 )
X
Ta krzywa nie przedstawia funkcji, bo jednej
liczbie x przyporzàdkowane sà dwie liczby y 1
i y 2 .
13.3. W¸ASNOÂCI FUNKCJI
13.3.1. Miejsce zerowe funkcji
, dla którego wartoÊç funkcji f jest równa
zero ( fx 0
!
Y
_i ). Na wykresie miejscem zerowym
jest odci´ta punktu przeci´cia si´ wykresu
funkcji z osià OX .
Miejsce zerowe funkcji mo˝emy tak˝e obliczyç,
rozwiàzujàc równanie fx 0
=
_i .
=
x 1
x 2
X
PRZYK¸AD
Znajdê miejsce zerowe
funkcji y 42
Wiemy, ˝e dla miejsca zerowe-
go fx 0
x
=- =-
2
1
4
2
=+
, x
!
R
.
_i , to znaczy
x 420
=
1
Miejsce zerowe to
-
.
fx 42
_i
=+
+=
x 42
2
=-
13.3.2. MonotonicznoÊç funkcji
Funkcja f jest rosnàca , gdy
wraz ze wzrostem argumentów
rosnà wartoÊci funkcji, to zna-
czy dla ka˝dego xX
1
!
i xX
2
!
Funkcja f jest malejàca , gdy
wraz ze wzrostem argumentów
malejà wartoÊci funkcji, to zna-
czy dla ka˝dego xX
1
!
i xX
2
!
Funkcja f jest sta∏a , gdy wraz
ze wzrostem argumentów war-
toÊç funkcji nie ulega zmianie
(jest sta∏a), to znaczy dla ka˝-
dego xX
1
takich, ˝e xx
1
2 , zachodzi:
takich, ˝e xx
1
2 , zachodzi:
!
i xX
2
!
zachodzi:
fx fx
1
j
<
`
2
j.
fx fx
1
j
>
`
2
j.
fx fx
1
`
j
=
`
2
j .
Y
Y
Y
X
X
X
78
Miejsce zerowe funkcji jest to ten argument
xX
`
`
169881543.037.png 169881543.038.png 169881543.039.png 169881543.040.png 169881543.041.png 169881543.042.png 169881543.043.png 169881543.044.png 169881543.045.png 169881543.046.png 169881543.047.png 169881543.048.png 169881543.049.png 169881543.050.png 169881543.052.png 169881543.053.png 169881543.054.png 169881543.055.png 169881543.056.png 169881543.057.png 169881543.058.png 169881543.059.png 169881543.060.png 169881543.061.png 169881543.063.png 169881543.064.png 169881543.065.png 169881543.066.png 169881543.067.png 169881543.068.png 169881543.069.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin