cz1 BW3d(4).doc

cz1.

WSZYSTKIE TEKSTY SA TAKEI SAME JAK W KAZDEJ INNEJ PRACY – TAKZ E JEŚLI PRZEPISZESZ TO ZYWCEM TO JEST 100% PRAWDOPODOBNE ZE ZACZNIE CIE PYTAC O WSZYSTKO JAK I SKAD OBLICZYLES. Staraj się żeby praca nie była podobna, zmieniaj tekst, zdania, rysunki, układ strony, ale generalnei warto cos wiedzcie jak jest to policzone bo Ci ludzie zawsze i każdego potrafią zapytac ukradkiem o jakas głupotę, im mniej człowiek wie tym go bardziej pytaja.

Zadanie 1 – wyprowadzenie równań równowagi płynu.

Rozważamy dowolną przestrzeń wypełnioną płynem idealnym

                                                                                                                - wnętrze obszaru

                                                                                                                  - powierzchnia ograniczająca obszar                                                                                                                

                                                                                                          ds – elementarny wycinek powierzchni                                                                                                                      dV – elementarny wycinek wnętrza obszaru

                                                                                                          ΔFp – jednostkowa siła powierzchniowa

                                                                                                          ΔFv – jednostkowa siła objętościowa

                                                                                                                   - wektor normalny do wycinka ds.

                                                                                                                              - gęstość sił objętościowych

- gęstość sił powierzchniowych

Siły powierzchniowe zależą od usytuowania rozpatrywanej powierzchni, nie są zatem wielkością stałą i niezależną. Niezależnie od doboru powierzchni opisywał będzie stan cieczy tensor napręzeń– charakteryzujący naprężenia w danym punkcie. Na jego wartości nie ma wpływu sposób doboru powierzchni.

- tensor naprężeń

Ze względu na równości odpowiednich naprężeń stycznych, macierz ta jest macierzą symetryczną, czyli: ,    ponieważ  .

Rysunki przedstawiają elementarny wycinek obszaru  Ω- czyli d Ω, oraz jego naprężenia i współrzędne wektora                            

Są to makroskopowe ujęcia punktu obszaru. Można spostrzec ze na jego powierzchnię działają siły powierzchniowe zależne od doboru powierzchni. Ściana powierzchni opisywana jest przez wektor

Ogólny stan naprężenia  w danym punkcie przedstawia tensor naprężeń σ Siła powierzchniowa będzie zatem równa:

                - jest to wektor [N/m] = [Pa]

         (R3)  (R3x3) (R3)

Znalezienie siły wypadkowej wymaga scałkowania po powierzchni:

;    [N]

Analizując budowę tensora σ zauważymy, że:

Tensor σ                           tensor kulisty            tensor dewiatorowi  - σD

Gdzie: ;    oraz  - ślad macierzy σ

Tensor kulisty to

Czyli ostatecznie: 

Tensor kulisty odpowiedzialny jest za opis matematyczny wszechstronnego ściskania/rozciągania. Dewiator jest wyrażeniem związanym ze zmianą postaci ciala – ścinaniem. Ponieważ przy rozpatrywaniu płynu nie możemy mowić o rozciąganiu, a σ0  ma kierunek naprężeń rozciągających, to ma on zawsze wartość ujemna. Wartość tę nazywamy ciśnieniem.

;               ;             

Po uwzględnieniu założenia, że siła powierzchniowa w każdym kierunku jest jednakowa i skierowana prostopadle do powierzchni, to dla danej chwili:

                                                                                                                Jest to całka wektoru

Rozważając kolejno siły objętościowe:

   [N/m3]   - gęstość siły objętościowej.

Są to siły wewnętrzne, wzajemne. Obliczamy ich  wypadkową dla danej chwili:

Siła wypadkowa w całym obszarze to :

Na mocy Twierdzenia Gaussa-Ostrogradskij-ego możemy zastąpić całkę powierzchniową całka objętosciową w poniższy sposób:

Aby zachowana była równowaga to: dla każdego obszaru Ω czyli:

Musi tak być dla każdego obszaru Ω à0 (ponieważ równie dobrze wymagać można zachowania równowagi i tego obszaru). Zależność = 0 nazywamy równaniem równowagi ośrodka ciągłego, lub równaniem Eulera. Obowiązuje ono dla płynu nielepkiego.

              , a wtedy:

Możemy zatem napisać równanie równowagi dla płynu:

              Ponieważ:, oraz  to ostatecznie:

Dla zachowania pełnej równowagi spełnione musi być też równanie momentów.

Po przekształceniach analogicznych do tych z warunku na równowagę sił, możemy zauważyć że jeżeli siłą wypadkowa będzie równa zeru, to niezależnie od tego na jakim ramieniu będzie działała, również da moment równy zeru. A zatem warunkiem wystarczającym do spełnienia aby ośrodek był w równowadze, jest zależność:

Jest to warunek równowagi płynu doskonałego.

Zadanie 2 – cysterna

Znajduję siły objętościowe działające na ciecz w poruszającej się cysternie:

Siła ciężkości: fg =...