logarytmy.pdf

(171 KB) Pobierz
395074145 UNPDF
Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza.
Równania i nierówno±ci wykładnicze i logarytmiczne.
Definicja 1. Niech a i b b¦d¡ dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a 6 = 1 . Logarytmem liczby
b przy podstawie a nazywamy liczb¦ x spełniaj¡c¡ równanie a x = b. Piszemy wtedy x = log a b.
log a b = x , a x = b.
Logarytmy przy podstawie 10 nazywamy logarytmami dziesi¦tnymi i zamiast log 10 x piszemy
log x pomijaj¡c podstaw¦.
Twierdzenie 1. (własno±ci logarytmów) Dla dowolnych a,b,c 2 R + , a 6 = 1 mamy
1. log a 1 = 0 ,
2. log a a b = b,
3. a log a b = b,
4. log a ( b · c ) = log a b + log a c,
5. log a c = log a b − log a c,
6. log a b k = k log a b dla dowolnego k 2 R ,
log c a , c 6 = 1 .
Definicja 2. Funkcj¦ f : R ! R + okre±lon¡ wzorem f ( x ) = a x , gdzie a 2 R + \{ 1 } nazywamy
funkcj¡ wykładnicz¡.
log c b
Poni»sze rysunki przedstawiaj¡ wykresy funkcji wykładniczych w przypadku a > 1 oraz dla
0 < a < 1.
Innymi słowy
7. log a b =
395074145.013.png
Definicja 3. Funkcj¦ f : R + ! R okre±lon¡ wzorem f ( x ) = log a x, gdzie a 2 R + \{ 1 } nazywamy
funkcj¡ logarytmiczn¡.
Poni»sze rysunki przedstawiaj¡ wykresy funkcji logarytmicznych dla a > 1 oraz dla
0 < a < 1.
Funkcja wykładnicza jest ró»nowarto±ciowa, tzn. je±li a x 1 = a x 2 , to x 1 = x 2 . Ponadto je±li
a > 1, to funkcja f ( x ) = a x jest rosn¡ca, a dla 0 < a < 1 jest malej¡ca.
Podobne własno±ci ma funkcja logarytmiczna, tzn. je±li log a x 1 = log a x 2 , to x 1 = x 2 . Po-
nadto je±li a > 1, to funkcja f ( x ) = log a x jest rosn¡ca, a dla 0 < a < 1 jest malej¡ca.
Funkcja f ( x ) = log a x jest funkcj¡ odwrotn¡ do funkcji g ( x ) = a x ; ich wykresy s¡ symetrycz-
ne wzgl¦dem prostej y = x .
Przykład 1. Oblicz log 3 27 p 3 .
Roz w i¡zanie. Poniewa» 27 p 3 = 3 3 · 3 2 = 3 2 , wi¦c na mocy definicji logarytmu
2 .
Mo»na tak»e skorzysta¢ z własno±ci logarytmów
7
log 3 27
p
3 = log 3 27 + log 3
p
3 = log 3 3 3 + log 3 3 2
= 3 1
2 .
Przykład 2. Oblicz 2 2 log 4 3+3 log 8 3 .
Rozwi¡zanie. Mamy
2 2 log 4 3+3 log 8 3 = 4 log 4 3 · 2 log 2 3 3 3
= 3 · 2 log 2 3 = 9 .
Przykład 3. Oblicz log p 13 121 · log 11
p 13 .
Rozwi¡zanie. Skorzystamy z ostatniej z własno±ci logarytmów wymienionych w twierdze-
niu. Mamy
p 13 =
5 p 13 · log p 13
2 log 11
1
2 log 13
log 11
log p 13 121 · log 11
log 11
=
5 log 13 ·
= 5 .
log 3 27 p 3 =
log 121
log
1
395074145.014.png 395074145.015.png 395074145.016.png 395074145.001.png 395074145.002.png 395074145.003.png 395074145.004.png
Przykład 4. Rozwi¡» równania
a) 8 7 x +5 −
3 p 4
9 − x
= 0 ,
b) 4 x +1 − 5 · 2 x +1 + 4 = 0 ,
c) ( p 3 + p 2) 11 − x = ( p 3 − p 2) 3 x − 1 ,
d)
p 7
2 − 3 x
=
25 5 3 x .
Rozwi¡zanie.
a) Sprowadzimy najpierw pot¦gi do tych samych podstaw
2 3(7 x +5) = 2 3 (9 − x ) .
Teraz wystarczy porówna¢ wykładniki
3(7 x + 5) =
2
3 (9 − x ) .
Ostatecznie x = − 2 65 .
b) W tym równaniu wspólna podstaw¡ jest 2
4 · 2 2 x − 10 · 2 x + 4 = 0 .
Podstawmy t = 2 x . Otrzymamy równanie kwadratowe
4 t 2 − 10 t + 4 = 0 ,
2 ma rozwi¡zanie x = − 1,
z warunku 2 x = 2 dostajemy x = 1. Zatem dane równanie ma dwa rozwi¡zania x = − 1
i x = 1.
c) Zauwa»my, »e ( p 3+ p 2)( p 3 − p 2) = 1, czyli p 3 − p 2 = ( p 3+ p 2) − 1 . St¡d dane równanie
mo»emy zapisa¢ jako
które ma dwa pierwiastki t 1 =
2 , t 2 = 2. Równanie 2 x =
1
p
p
p
p
(
3 +
2) 11 − x = (
3 +
2) − (3 x − 1) .
Po porównaniu wykładników otrzymamy x = − 5.
d) W tym równaniu przyjrzymy si¦ wykładnikom. Mamy
p 7
2 − 3 x
= 5 3 x − 2 ,
czyli
p
2 − 3 x
1
5
2 − 3 x
7
=
.
St¡d po pomno»eniu stronami przez 5 2 − 3 x otrzymamy
5 · p 7
2 − 3 x
= 1 ,
a to oznacza, »e 2 − 3 x = 0, czyli x =
3 .
1
1
2
395074145.005.png 395074145.006.png 395074145.007.png 395074145.008.png
 
Przykład 5. Rozwi¡» równania
a) log 5 ( x 2 − 1) − log 5 ( x + 1) = 3 ,
b) x log 2 p x − 1 = p 8 ,
c) log x +5 9 = 2 ,
d) 5 log 3 x − 2 log 9 x = 12 .
Rozwi¡zanie.
a) Dziedzin¡ danego równania jest zbiór rozwi¡za« układu nierówno±ci
(
x 2 − 1 > 0
x + 1 > 0 ,
czyli przedział (1; 1 ). Korzystaj¡c z własno±ci logarytmu otrzymamy równanie
log 5
x 2 − 1
x + 1
= 3 ,
czyli log 5 ( x − 1) = 3, wi¦c x − 1 = 125. Ostatecznie rozwi¡zaniem równania jest x = 126
(nale»y do dziedziny równania).
b) Dziedzina tego równania jest zbiór R + . Zlogarytmujemy obie strony równania przy pod-
stawie 2
log 2 x log 2 p x − 1 = log 2
p
8 .
Dalej mo»emy napisa¢ 1
2 log 2 x − 1
log 2 x =
3
2 .
Podstawimy t = log 2 x i rozwi¡»emy równanie
2 t 2 − t − 2 = 0. Mamy t = − 1 lub t = 3,
2 lub x = 8. Obie liczby nale»¡ do dziedziny równania, wi¦c dane równanie
ma dwa rozwi¡zania x =
1
2 , x = 8.
c) Dziedzin¡ równania jest zbiór tych x , dla których x + 5 > 0 oraz x + 5 6 = 1, czyli suma
przedziałów ( − 5 , − 4) [ ( − 4 , 1 ). Z definicji logarytmu dane równanie mo»emy zapisa¢ w
postaci ( x + 5) 2 = 9. Rozwi¡zaniami tego równania kwadratowego s¡ x = − 2 i x = − 8.
Drugie z rozwi¡za« nie nale»y do dziedziny. Ostatecznie rozwi¡zaniem jest x = − 2.
2 log 3 x .
Dane równanie mo»emy wi¦c zapisa¢ w postaci 4 log 3 x = 12, zatem log 3 x = 3, czyli
x = 27.
log 3 x
log 3 9
=
1
1
a zatem x =
1
d) Dziedzina tego równania jest zbiór R + . Skorzystamy z równo±ci log 9 x =
395074145.009.png 395074145.010.png
Przykład 6. Rozwi¡» nierówno±ci
a) 0 , 1 5 x − 2 < 0 , 001 ,
b) 4 x + 2 − 5 · 2 x > − 2 ,
c) log 7 log 3 ( x + 11) > 0 ,
d) log x ( x 3 − 4 x ) ¬ 1 .
Rozwi¡zanie.
a) Sprowadzimy obie strony nierówno±ci do tej samej podstawy
0 , 1 5 x − 2 < (0 , 1) 3 .
Teraz mo»emy porówna¢ wykładniki pami¦taj¡c, »e funkcja wykładnicza przy podstawie
mniejszej od 1 jest malej¡ca. Otrzymamy 5 x − 2 > 3, czyli x > 1.
2 2( x + 2 ) − 5 · 2 x > − 2
podstawmy t = 2 x . Rozwi¡zaniami nierówno±ci kwadratowej 2 t 2 − 5 t + 2 > 0 s¡ t 2
( −1 , 2 ) [ (2 , 1 ). Nierówno±¢ 2 x < 2 daje nam x < − 1, a z warunku 2 x > 2 otrzymujemy
x > 1. Zatem ostatecznie x 2 ( −1 , − 1) [ (1 , 1 ).
c) Dziedzin¡ nierówno±ci jest zbiór rozwi¡za« nierówno±ci x + 11 > 0. Mamy
log 7 log 3 ( x + 11) > log 7 1 .
3 i znów mo»emy opu±ci¢ logarytmy pami¦taj¡c, »e tym razem pod-
stawa jest mniejsza od 1 i znak nierówno±ci zmieni si¦ na przeciwny x + 11 < 3 . St¡d
x < − 10 3 . Po uwzgl¦dnieniu dziedziny otrzymamy, »e zbiorem rozwi¡za« nierówno±ci jest
przedział( − 11 , − 10 3 ).
d) Wyznaczymy najpierw dziedzin¦ tej nierówno±ci. Musi by¢ x 3 − 4 x > 0, czyli x ( x − 2 )( x +
1
2
2 ) > 0, a wi¦c x 2 ( − 2 , 0) [ ( 2 , 1 ). Ponadto podstawa logarytmu x musi spełnia¢ warunki
x > 0, x 6 = 1. Zatem dziedzin¡ jest suma przedziałów ( 2 , 1) [ (1 , 1 ). W nierówno±ci
4 x ) ¬ log x x
znak po opuszczeniu logarytmów zale»y od x . Rozwa»ymy dwa przypadki.
1 0 < x < 1. Mamy x 3 − 4 x ­ x , czyli x 3 − 4 x ­ 0. St¡d
log x ( x 3 − 1
x ( x −
p 5
2
)( x +
p 5
2
) ­ 0 ,
2 , 1 ). Po uwzgl¦dnieniu warunku 0 < x < 1 i dziedziny nierówno±ci,
z rozwa»anego przypadku otrzymamy pusty zbiór rozwi¡za«.
2 x > 1. Ro z wi¡»em y nierówno±¢ x 3 − 4 x ¬ x . Post¦puj¡c jak poprzednio otr zy mamy
x 2 ( −1 , −
2 , 0] [ [
p 5
2 ].
Rozwi¡zaniem d anej nierówno±ci jest suma rozwi¡za« z poszczególnych przypadków, czyli
przedział (1 ,
] [ [0 ,
p 5
2
]. Poniewa» x > 1, z tego przypadku otrzymamy x 2 (1 ,
p 5
p 5
2
].
b) W nierówno±ci
Po opuszczeniu zewn¦trznego logarytmu otrzymamy log 3 ( x + 11) > 1. Dalej dostaniemy
log 3 ( x + 11) > log 3
zatem x 2 [ −
p 5
p 5
2
395074145.011.png 395074145.012.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin