Ciagi liczbowe - zadania.pdf
(
62 KB
)
Pobierz
Microsoft Word - 1- Ciagi licbowe.doc
Lista Nr 1
CI
ġ
GI LICZBOWE
Zad.1. Wyznaczy
ę
nast
ħ
puj
Ģ
ce wyrazy ci
Ģ
gów liczbowych:
a
3
,
a
5
,
a
7
,
a
14
,
a
21
,
a
100
,
a
n
a
+
1
,
2
n
, je
Ň
eli
Ç
2
+
( )
−
1
n
+
1
×
( )
n
n
p
a)
a
=
5
b)
a
=
−
n
E
È
Ø
c)
a
n
=
n
−
d)
a
n
=
sin
n
n
3
2
É
Ù
e)
a
n
=
1
+
n
cos
n
p
f)
a
=
( )
1
n
+
2
2
g)
a
=
n
n
2
+
1
h)
a
n
=
1
n
( )
!
n
+
1
2
n
n
+
3
n
2
Uwaga: W przykładzie b)
E
oznacza funkcj
ħ
entier (cz
ħĻę
całkowita liczby).
(
x
)
Zad.2. Zbada
ę
monotoniczno
Ļę
nast
ħ
puj
Ģ
cych ci
Ģ
gów o wyrazach ogólnych:
a)
a
n
=
1
+
2
+
3
+
...
+
n
−
n
−
1
b)
b
n
=
2
+
c)
c
n
=
( )
( )
!
n
+
1
!
+
n
!
n
2
n
n
3
n
+
1
!
−
n
d)
d
n
=
2
n
2
+
5
−
2
n
2
e)
a
n
=
n
7 −
3
f)
f
n
=
log
4
+
( )
n
2
7
n
n
4
n
2
+
1
n
+
3
+
g)
a
n
=
h)
b
n
=
i)
b
n
=
!
3
n
2
+
2
2
n
5
Zad.3. Czy podane poni
Ň
ej ci
Ģ
gi s
Ģ
ograniczone? Z jakim rodzajem ograniczono
Ļ
ci mamy do czynienia?
1
Ä
+
1
Ô
n
n
a)
a
n
=
1 −
b)
a
=
Æ
1
Ö
c)
a
n
=
sin
4
n
n
n
2
d)
a
n
=
2
n
−
2
e)
a
=
( )
−
1
n
+
1
f)
a
n
=
n
+
4
n
Zad.4*. Korzystaj
Ģ
c z odpowiednich definicji granic ci
Ģ
gu, wykaza
ę
,
Ň
e:
2
n
+
1
1
Ä
( )
−
1
n
Ô
c)
(
)
−¥
a)
lim
=
b)
lim
Å
Æ
2
+
Õ
Ö
=
2
lim
10
−
n
=
n
®
n
¥
4
+
3
2
n
®
¥
3
n
n
®
¥
Zad.5. Obliczy
ę
granice ci
Ģ
gów:
5
n
2
+
6
n
+
3
4
n
2
+
6
n
5
+
3
n
−
1
n
2
−
3
n
+
1
a)
lim
b)
lim
c)
lim
5
+
4
n
3
n
5
+
4
n
7
n
7
+
3
n
−
2
n
®
¥
n
®
¥
n
®
¥
Å
Æ
n
Õ
Ö
1
1
−
(
n
2
4
n
3
−
d)
lim
e)
lim
f)
lim
2
+
7
n
−
n
2
1
1
5
+
4
n
®
¥
n
®
¥
n
®
¥
2
+
2
−
−
n
n
2
g)
lim
Æ
n
2
+
4
n
+
3
−
n
2
+
2
n
Ö
h)
lim
n
Æ
n
−
n
2
−
1
Ö
i)
lim
Æ
n
2
−
2
n
2
−
n
+
1
Ö
n
®
¥
n
®
¥
n
®
¥
j)
lim
Æ
n
+
n
−
n
−
n
Ö
k)
lim
3
2
n
+
5
l)
lim
1
7
−
8
n
®
¥
n
®
¥
n
®
¥
n
2
+
n
+
1
−
n
2
+
3
Ä
1
Ô
n
(
)
m)
lim
Æ
3
n
3
+
n
2
+
1
−
3
n
3
−
n
2
+
1
Ö
n)
lim
n
11
n
+
9
n
+
1
+
Æ
Ö
o)
lim
9
n
−
5
n
−
3
n
3
n
®
¥
n
®
¥
n
®
¥
Ä
Ô
2
n
+
3
+
3
n
+
1
p)
lim
Æ
n
3
2
−
3
2
n
3
+
5
n
2
−
3
Ö
r)
lim
n
2
×
3
n
+
3
×
4
n
+
1
+
4
×
5
n
s)
lim
2
n
+
3
×
3
n
n
®
¥
n
®
¥
n
®
¥
Ä
1
Ô
n
Ä
2
Ô
n
Ä
1
Ô
n
5
×
2
n
+
1
+
13
t)
lim
n
n
9
−
2
n
5
+
3
n
+
12
u)
lim
n
Æ
Ö
+
Æ
Ö
+
Æ
Ö
w)
lim
5
3
2
3
×
4
n
+
2
2
n
+
3
n
n
®
¥
n
®
¥
n
®
¥
x)
lim
log
2
( )
(
1
n
+
1
y)
lim
Æ
n
10
10000
−
n
10
−
10001
Ö
z)
lim
n
e
n
+
3
n
+
p
n
log
n
+
n
®
¥
n
®
¥
n
®
¥
3
1
−
Ä
Ô
Ä
Ô
Ä
Ô
Ä
Ô
Ä
Ô
Ä
Ô
Ä
Ô
Zad.6. Obliczy
ę
granice ci
Ģ
gów o wyrazach ogólnych:
2
n
+
5
n
sin
2
n
+
5
n
1
+
2
+
3
+
...
+
n
a)
a
=
n
b)
b
n
=
c)
c
n
=
cos
n
!
n
3
n
+
4
n
4
n
+
7
n
3
+
1
1
2
+
2
2
+
3
2
+
...
+
n
2
27
log
3
n
1
4
d)
c
n
=
e)
a
=
f)
b
n
=
cos
n
4
−
n
3
n
e
4
ln
n
2
n
16
n
+
3
ln
Õ
Ö
Ä
+
1
3
Ô
n
5
n
2
−
2
sin
2
(
2
n
+
3
)
g)
d
n
=
n
(
ln
( )
n
+
1
−
ln
n
)
h)
c
n
=
i)
a
n
=
)
(
)
(
1
4
n
+
7
3
n
+
n
n
j)
e
n
=
1
Å
Æ
n
Õ
Ö
+
1
Å
Æ
n
Õ
Ö
+
1
Å
Æ
n
Õ
Ö
k)
w
n
=
(
2
n
+
3
) ( ) (
[
ln
n
+
3
−
ln
n
+
4
)
]
l)
c
=
4
n
+
2
n
−
4
n
+
1
n
1
n
2
2
n
3
3
n
1
+
a
+
a
2
+
...
+
a
n
Ã
=
n
1
Ä
Ô
m)
c
=
n)
b
=
o)
d
n
=
n
Æ
3 3
n
+
n
−
n
Ö
n
n
1
1
1
3
6
1
+
+
+
...
+
k
1
n
+
k
n
4
16
4
n
10
2
n
n
(
n
2
n
!
p)*
a
=
r)*
a
n
=
s)*
p
=
n
2
n
!
n
n
2
1
+
5
+
9
+
...
+
(
4
n
−
1
1
−
2
+
3
−
4
+
5
−
...
+
(
2
n
−
1
)
−
2
n
n
+
2
cos
3
(
n
+
5
t)
h
n
=
u)
b
n
=
w)
a
n
=
1
+
2
+
3
+
...
+
n
( )
n
+
1
2
(
n
+
3
n
2
+
1
Uwaga: W przykładzie d) wykorzysta
ę
równo
Ļę
:
1
2
+
2
2
+
3
2
+
...
+
n
2
=
n
( )(
n
+
1
2
n
+
1
)
,
6
Zad.7. Obliczy
ę
granice ci
Ģ
gów wykorzystuj
Ģ
c liczb
ħ
e
Ä
+
n
5
Ô
2
n
+
3
Ä
−
1
Ô
n
2
+
5
Ä
n
−
2
Ô
3
n
+
7
Ä
5
n
+
3
Ô
9
n
−
1
a)
lim
Æ
Ö
b)
lim
Æ
1
Ö
c)
lim
Æ
Ö
d)
lim
Æ
Ö
n
n
4
n
+
5
5
n
+
8
n
®
¥
n
®
¥
n
®
¥
n
®
¥
−
+
3
n
+
1
Æ
n
Ö
2
n
11
n
+
3
Ä
+
5
Ô
Ä
n
2
+
3
n
+
2
Ô
Ä
n
2
+
1
Ô
2
Ä
n
+
5
Ô
e)
lim
Æ
1
Ö
f)
lim
Å
Æ
Õ
Ö
g)
a
=
Å
Æ
Õ
Ö
h)
lim
Æ
Ö
n
n
2
+
2
n
n
n
2
7
n
−
4
n
®
¥
n
®
¥
n
®
¥
Æ
n
Ö
6
−
3
1
−
3
n
2
+
2
n
n
Ä
4
n
2
+
6
n
−
4
Ô
2
Ä
8
n
+
5
Ô
Ä
+
2
n
5
Ô
Ä
n
2
+
9
Ô
i)
lim
Å
Æ
Õ
Ö
j)
lim
Æ
Ö
k)
lim
Æ
Ö
l)
lim
Å
Æ
Õ
Ö
4
n
2
+
5
n
+
3
8
n
−
7
n
n
2
+
2
n
®
¥
n
®
¥
n
®
¥
n
®
¥
3
n
2
+
3
n
n
2
+
3
3
−
7
n
Ä
n
2
+
6
n
−
4
Ô
Ä
2
n
2
+
n
+
4
Ô
Ä
7
n
+
2
Ô
Ä
n
+
4
Ô
5
−
2
n
m)
lim
Å
Æ
Õ
Ö
n)
lim
Å
Æ
Õ
Ö
o)
lim
Æ
Ö
p)
lim
Æ
Ö
10
+
n
2
+
5
n
n
2
+
5
n
4
n
+
5
n
−
1
n
®
¥
n
®
¥
n
®
¥
n
®
¥
2
−
n
Ç
Ä
n
Ô
×
1
+
n
Ç
n
2
+
n
+
2
×
( )
È
Å
Æ
Õ
Ö
n
−
3
Ø
È
Ø
2
Ê
Ç
Ä
1
Ô
×
Ú
2
È
Ø
(
) ( )
r)
lim
È
Ø
s)
lim
t)
lim
12
−
n
ln
7
+
n
+
ln
Ë
Æ
Ö
Û
É
Ù
È
1
+
2
+
3
+
...
+
n
Ø
È
Ä
n
Ô
Ø
n
+
10
n
®
¥
n
®
¥
n
®
¥
Ì
Ü
Å
Æ
Õ
Ö
È
3
Ø
È
Ø
É
Ù
È
3
Ø
É
Ù
Ä
n
+
2
Ô
a
2
Zad.8. Dane s
Ģ
ci
Ģ
gi
( ) ( )
a
i
b
, gdzie
a
=
Å
Æ
Õ
Ö
,
b
=
2
+
4
+
...
+
2
n
. Obliczy
ę
lim
¥
n
n
n
n
n
+
1
n
b
n
®
n
2
n
+
3
n
n
2
+
2
n
−
1
+
3
n
+
3
Ä
3
Ô
2
n
Zad.9. Niech
g
=
lim
,
g
=
lim
,
g
=
lim
Æ
1
+
Ö
.
1
4
n
+
5
n
2
3
2
n
+
1
n
®
¥
n
®
¥
7 6
n
+
5
+
9 8
n
+
10
n
®
¥
Czy prawd
Ģ
jest,
Ň
e: a)
g
= i
1
g
2
g
3
¹
0
b)
g
2
=
+¥
c)
g
<
3
e
an
2
−
1
Zad.10. Dany jest ci
Ģ
g o wyrazie ogólnym
b
n
=
. Wyznaczy
ę
warto
Ļę
parametru
a
tak, aby
lim =
¥
b
2
.
( )
a
−
1
n
2
+
n
n
®
n
Czy dla znalezionej warto
Ļ
ci parametru
a
dany ci
Ģ
g jest rosn
Ģ
cy?
2
Å
Æ
Ä
Ô
Ä
Ô
Ä
Ô
Ä
Ô
Ä
Ô
Plik z chomika:
hinatka3991
Inne pliki z tego folderu:
Równania rózniczkowe zwyczajne i cząstkowe.pdf
(1090 KB)
Algebra liniowa 2 - Przykłady i zadania.pdf
(14176 KB)
Algebra liniowa 1 - Definicje,twierdzenia,wzory.djvu
(7836 KB)
Analiza matematyczna 1 - DEFINICJE, WZORY 2.pdf
(635 KB)
MATEMATYKA (rozszerzony) probna 2008.zip
(302 KB)
Inne foldery tego chomika:
Angielski
Biologia
Chemia
Fizyka - hasło fizyka
Histologia
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin