Metoda_element_w_skonczonych_-Lodygowski.pdf

Tomasz Łodygowski, Witold Kąkol

METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH W

WYBRANYCH ZAGADNIENIACH MECHANIKI

KONSTRUKCJI INŻYNIERSKICH

Politechnika Poznańska 2003 r.

Alma Mater

PRZEDMOWA

Przedmowa do wydania elektronicznego Alma Mater

Tomasz Łodygowski, Witold Kąkol – Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki

konstrukcji inżynierskich

Alma Mater

SPIS

TREŚCI

Tomasz Łodygowski, Witold Kąkol

METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH W WYBRANYCH ZAGADNIENIACH

MECHANIKI KONSTRUKCJI INŻYNIERSKICH

Przedmowa

Ok ł ładka

SPIS TREŚCI

1. Wstęp

2. Wprowadzenie

2.1. Czym jest MES

2.2. Co zawiera opracowanie

3. Kratownica jako bezpośrednia ilustracja metody

3.1. Sztywność elementu w globalnym układzie współrzędnych

3.2. Scalenie czyli agregacja macierzy sztywności układu

3.3. Modyfikacja układu równań przez wprowadzenie warunków brzegowych

3.4. Odpowiedź układu i podsumowanie głównych kroków metody

3.5. Układ współrzędnych lokalnych i globalnych oraz transformacja wektorów i macierzy

4. Metody aproksymacyjnego rozwiązywania równań różniczkowych

4.1. Uwagi wstępne i koncepcje podstawowe

4.1.1 Metoda Ritza

4.1.2. Metoda wariacyjna Rayleigha-Ritza

4.2 Metoda ważonych reziduów

4.2.1. Punkt kollokacji

4.2.2. Podobszar kollokacji

4.2.3. Metoda najmniejszych kwadratów

4.2.4. Metoda Galerkina

4.2.5. Przykład MES w aproksymacji Galerkina

5. Podstawowe sformułowania metody elementów skończonych w nawiązaniu do

równań mechaniki kontinuum

5.1 Podstawowe równania liniowej sprężystości

5.1.1 Podstawowe równania w zapisie wskaźnikowym

5.1.2 Podstawowe równania w zapisie macierzowym

5.2. Analiza przybliżona problemu brzegowego

5.3. Podstawy MES wynikające z równania pracy wirtualnej

5.4. Podstawy MES wyprowadzone z twierdzenia o minimum całkowitej energii potencjalnej

5.5. Podsumowanie

6. Płaski stan naprężenia i odkształcenia

6.1. Podsumowanie równań opisujących płaskie stany

6.2. Elementy trójkątne płaskiego stanu naprężeń i odkształceń

6.2.1. Trójwęzłowy element o stałych odkształceniach

6.2.2. Sześciowęzłowy element trójkątny o liniowej zmianie odkształceń

6.3. Elementy czworokątne płaskiego stanu naprężeń i odkształceń

6.3.1. Element czworokątny biliniowy

6.3.2. Elementy czworokątne składane z elementów trójkątnych

6.4. Wyjaśnienia końcowe i podsumowanie

7. Sformułowanie izoparametryczne

7.1. Współrzędne naturalne

7.2. Element czworokątny

Tomasz Łodygowski, Witold Kąkol – Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki

konstrukcji inżynierskich

Alma Mater

SPIS

TREŚCI

Tomasz Łodygowski, Witold Kąkol

METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH W WYBRANYCH ZAGADNIENIACH

MECHANIKI KONSTRUKCJI INŻYNIERSKICH

7.3. Element trójkątny

7.4. Element ośmiowęzłowy Q8

7.5. Izoparametryczny element przestrzenny – sześciościan

7.6. Całkowanie numeryczne

7.7. Błędy w rozwiązaniach MES

7.8. Uwagi końcowe

8. Elementy płytowe i powłokowe

8.1. Naprężenia i odkształcenia płyt cienkich (Kirchhoffa)

8.2. Wybrane elementy płytowe

8.2.1. Niedostosowany element prostokątny

8.2.2. Dostosowany element prostokątny

8.2.3. Element trójkątny

8.3.Element trójkątny powłokowy

9. Wybrane zagadnienia dynamiki konstrukcji

9.1. Zagadnienia własne w dynamice konstrukcji

9.2. Transformacja uogólnionego problemu własnego do postaci standardowej

9.3. Metody całkowania równań ruchu

9.3.1. Metody całkowania bezpośredniego

9.3.2. Metoda superpozycji modalnej

10. Wybrane zagadnienia stateczności konstrukcji

10.1. Podstawowe elementy teorii stateczności konstrukcji

10.2. Stany krytyczne układów zachowawczych

10.3. Sformułowanie macierzy dla płaskiego elementu belkowego

10.4. Sformułowanie macierzy dla elementu płytowego

10.5. Uwagi końcowe

11. Uwagi o komputerowych obliczeniach metodą elementów skończonych

12. Literatura

Dodatki

A. Rozwiązanie układu równań liniowych algebraicznych

B. Całkowanie numeryczne w przestrzeni dwuwymiarowej

C. Rozwiązanie uogólnionego problemu własnego metodą iteracji odwrotnych

Tomasz Łodygowski, Witold Kąkol – Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki

konstrukcji inżynierskich

Alma Mater

1. WSTĘP

WSTĘP

Rozwój metody elementów skończonych (MES) datuje się od połowy lat sześćdziesiątych,

choć co prawda podaje się nazwisko Couranta, który jako matematyk w 1942 roku opublikował pra-

cę uważaną dziś za pionierską w tej dziedzinie. Należy jednak podkreślić, że rozwój metody jest za-

sługą zarówno matematyków, jak i inżynierów mechaników, zmagających się z trudnymi proble-

mami praktycznymi. Chęć dokonania analizy takich konstrukcji jak samoloty, pojazdy kosmiczne,

konstrukcje budowli towarzyszące reaktorom atomowym, czy platformy do wydobywania ropy naf-

towej z dna mórz wywołała wielkie zainteresowanie metodą elementów skończonych i spowodowa-

ła podjęcie prac nad oprogramowaniem komputerowym.

Obecnie co roku ukazuje się ogromna liczba prac naukowych, które w mniejszym lub więk-

szym stopniu dotyczą problematyki związanej z metodą elementów skończonych. Wobec szybkiego

rozwoju i dostępności sprzętu komputerowego rozwiązywanie coraz to trudniejszych problemów

algebraicznych nie stwarza już większych kłopotów. W naturalny sposób to, co przed kilku laty by-

ło wyłączną domeną ośrodków komputerowych, staje się teraz powszechną praktyką inżynierską.

Ta rewolucja dzieje się za przyczyną niewiarygodnego postępu w elektronice i jest niejako pochod-

ną rewolucji mikroprocesorowej. Daje ona projektantom do ręki bardzo dobre narzędzia pracy, ja-

kimi są mikrokomputery. Posługiwanie się tymi najnowszymi zdobyczami techniki wymaga od in-

żynierów specjalnego przygotowania, takiego, by korzystanie z nich otwierało nowe horyzonty po-

znawania zjawisk czy podejmowania problemów dotąd nie rozwiązanych.

Razem z

szansa ich realnego rozwiązania. Dotąd, ze względu na trudności w jednoczesnym spełnieniu

wszystkich wymagań narzucanych na własności rozwiązań, tylko nieliczna grupa zadań była roz-

wiązywana analitycznie. Większość problemów z inżynierskiej praktyki, charakteryzująca się skom-

plikowanymi warunkami brzegowymi i sformułowana w kategoriach analizy matematycznej, nie mo-

gła być w ogóle rozwiązana. Dopiero pojawienie się metod nawiązujących do dyskretyzacji, a co za

tym idzie do zmiany formy matematycznego opisu problemów (z analitycznego na algebraiczny)

umożliwiło podejmowanie tych skomplikowanych zadań.

Niniejszy skrypt przeznaczony jest dla studentów

nicznych) i stanowi wprowadzenie do rozległej tematyki związanej z analizą konstrukcji za

pomocą metody elementów skończonych. Skrypt ten nie ma stanowić kompendium wiedzy na temat

MES, lecz ma być pomocą do wykładów. Wiele elementów zawartych w tym opracowaniu wymaga

obszernego komentarza, którego Czytelnik w nim nie znajdzie. Uważamy, że te właśnie komentarze

mogą stanowić dodatkową treść wykładu i ćwiczeń niezbędnych do nabrania biegłości. Skrypt po-

wstał jako zbiór notatek autorów do prowadzenia wykładu na temat MES w ramach tzw. wykładów

obieralnych l w ramach studium podyplomowego dla inżynierów środowiska poznańskiego.

Pragniemy wyrazić podziękowanie Panu Prof. Michałowi Kleiberowi, recenzentowi teg

rego uwagi przyczyniły się do poprawienia prezentacji zawartego materiału. Bardzo przydało

się nam doświadczenie, które nabyliśmy w trakcie wykonywania przez naszych studentów prac dy-

plomowych, związanych z zastosowaniem MES w budownictwie. Tym naszym młodszym kolegom, z

którymi spędziliśmy długie godziny na dyskusjach i przy komputerach, składamy więc niniejszym

podziękowanie. Dziękujemy też studentom koła naukowego, zapaleńcom, dzięki którym znajdujemy

satysfakcję z uprawianej przez nas dydaktyki. Dziękujemy także wszystkim naszym przyjaciołom z

Pracowni Metod Komputerowych Instytutu Technologii i Konstrukcji Budowlanych PP, na których

pomoc, merytoryczną dyskusję i zaangażowanie w pracę służącą słusznej sprawie mogliśmy zawsze

liczyć. Dziękujemy także programowi edukacyjnemu TEMPUS - JEP - 0369 -90, który wspierał wy-

danie tego skryptu. Dziękujemy naszym żonom Annom.

rozwojem metody elementów skończonych dla wielu problemów mechaniki pojawi-

ła się

budownictwa lądowego (także wydziałów

mecha

tu, któ

o skryp-

Tomasz Łodygowski, Witold Kąkol – Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki

konstrukcji inżynierskich

Alma Mater

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: