zadania.maturalne.pdf

(65 KB) Pobierz
Tematy_porady
Tematy zada ı – porady.
1. Co mo Ň na, a czego nie mo Ň na zrobi ę z równaniem i dlaczego ?
1) Rozwi ĢŇ równanie:
4
-
x
=
x
-
2
2. Co mo Ň na, a czego nie mo Ň na zrobi ę z nierówno Ļ ci Ģ i dlaczego?
1) Rozwi ĢŇ nierówno Ļę :
4
-
x
>
x
-
2
3. Nie panikuj!!! 10 przykładowych zada ı , na których widok przeci ħ tny maturzysta
dostaje oczopl Ģ su, a które rozwi Ģ zuje si ħ w kilku linijkach.
1) Wyka Ň , Ň e suma kwadratów dwóch kolejnych liczb naturalnych parzystych jest
podzielna przez 4 i nie jest podzielna przez 8.
2) Dana jest funkcja
f
Å
Æ
1
x
+
3
Õ
Ö
=
2
x
-
1
. Wyznacz wzór funkcji f.
2
2
2
3) Napisz 3 pocz Ģ tkowe wyrazy ci Ģ gu wiedz Ģ c, Ň e suma n pocz Ģ tkowych wyrazów
ci Ģ gu jest równa
.
4) Pole powierzchni wielo Ļ cianu opisanego na kuli o promieniu R jest równe S.
Oblicz obj ħ to Ļę wielo Ļ cianu.
5) Wanna napełnia si ħ całkowicie wod Ģ w ci Ģ gu 10 minut, a opró Ň nia w ci Ģ gu 15
minut. Jak długo b ħ dzie trwało napełnianie wanny, je Ň eli jednocze Ļ nie odkr ħ cimy
kran i otworzymy odpływ?
6) Niech n b ħ dzie dodatni Ģ liczb Ģ naturaln Ģ parzyst Ģ . Ile ró Ň nych rozwi Ģ za ı ma
równanie postaci:
S
=
n
3
-
5
n
x
n
+
1
-
x
n
-
64
x
+
64
=
0
?
7) W ci Ģ gu
(
1
×
2
2
×
3
3
×
4
4
×
5
5
×
6
...
)
znajd Ņ kolejne dwa wyrazy ró Ň ni Ģ ce si ħ o
2000.
8) Rozstrzygnij, czy istnieje trójk Ģ t, którego wysoko Ļ ci maj Ģ długo Ļ ci 1, 2 i 3.
2
1
.
10) Pierwiastki trójmianu kwadratowego
x
3
+
8
=
9
x
3
y
=
4
x
2
-
8
x
+
c
s Ģ nieujemnymi liczbami
całkowitymi. Oblicz c.
4. Co jest najwa Ň niejsze w temacie zadania? Jak zabiera ę si ħ za rozwi Ģ zywanie
zadania?
1) Wysoko Ļę trapezu równoramiennego wynosi 5 cm, a jego przek Ģ tna ma 13 cm
długo Ļ ci. Oblicz pole trapezu.
5. Zadania z parametrem.
1) Dla jakich m suma odwrotno Ļ ci ró Ň nych pierwiastków równania
0
2
+
1
x
2
-
(
m
+
3
)
x
+
2
+
1
=
m Î
R
, dla których jeden z pierwiastków
równania
(
2
+
1
x
2
+
8
mx
+
2
m
=
0
jest sinusem, a drugi cosinusem tego
3
3
samego k Ģ ta.
3) Zbadaj liczb ħ rozwi Ģ za ı równania
x
+
k
x
=
k
w zale Ň no Ļ ci od warto Ļ ci
parametru k.
4) Dla jakich m nierówno Ļę
(
m
2
+
5
-
6
)
x
2
-
2
m
-
1
x
+
3
>
0
jest spełnione dla
ka Ň dego
x
Î
R
?
Ä
Ô
9) Rozwi ĢŇ równanie:
jest wi ħ ksza od 1?
2) Znajd Ņ takie warto Ļ ci parametru
(
22914117.011.png 22914117.012.png 22914117.013.png
ma dwa miejsca zerowe, z
których jedno jest mniejsze od 1, a drugie wi ħ ksze od 1?
6) Wyznacz a i b wiedz Ģ c, Ň e liczba 3 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu
b
f
(
x
)
=
(
m
-
4
)
x
2
-
4
x
+
m
-
3
.
7) Dla jakich m równanie
(
x
)
=
x
3
-
5
x
2
+
ax
+
(
m
-
3
)
×
9
x
-
(
2
+
6
)
×
3
x
+
m
+
2
=
0
ma dwa ró Ň ne
pierwiastki?
8) Dla jakich warto Ļ ci parametru m równanie
m 2
(
-
sin
x
)
-
4
+
sin
x
+
1
=
0
ma
rozwi Ģ zanie?
9) Dla jakich warto Ļ ci parametru
a
Î
Æ
0
p
Ö
prosta
y
=
2
x
jest styczna do wykresu
2
?
10) Dla jakich warto Ļ ci parametrów a i b reszta z dzielenia wielomianu
b
f
(
x
)
=
x
3
-
x
-
cos
2
a
-
sin
a
+
3
W
(
x
)
=
x
3
+
2
x
2
+
ax
+
przez wielomian
P
(
x
)
=
x
2
+
x
-
2
jest równa
R
(
x
)
=
4
x
-
3
?
6. Zadania tekstowe, zwane te Ň „zadaniami z tre Ļ ci Ģ ”.
1) Na zgaduj zgaduli postawiono 30 pyta ı . Za ka Ň da poprawn Ģ odpowied Ņ
zaliczano 7 punktów, za Ļ za ka Ň da nieprawidłow Ģ uczestnik tracił 12 punktów.
Ile dobrych odpowiedzi dał jeden uczestników, je Ň eli przy podsumowaniu
okazało si ħ , Ň e zdobył 77 punktów?
2) Przewiduje si ħ , Ň e wycieczka szkolna b ħ dzie kosztowa ę 270 zł dziennie. Gdyby
udało si ħ ten koszt obni Ň y ę o 54 zł, to za t ħ sam Ģ kwot ħ mo Ň naby zorganizowa ę
wycieczk ħ o 3 dni dłu Ň sz Ģ . Ile dni miała trwa ę wycieczka?
3) Zmieszano 1000 litrów mleka o zawarto Ļ ci 4,2% tłuszczu i 500 litrów mleka o
zawarto Ļ ci 3,6% tłuszczu. Ile procent tłuszczu zawierała otrzymana mieszanka?
4) Znajd Ņ liczb ħ 6-cio cyfrow Ģ wiedz Ģ c, ze jej pierwsz Ģ cyfr Ģ jest 3, za Ļ po
przestawieniu trójki na koniec uzyskamy liczb ħ stanowi Ģ ca 25% liczby szukanej.
5) Dziadek i babka maj Ģ razem 140 lat. Dziadek ma obecnie dwa razy tyle, co babka
miała wtedy, gdy dziadek miał tyle, ile babka ma teraz. Ile lat ma dziadek, a ile
babka?
6) Do magazynu dostarczono tyle worków cukru, ile wa Ň y cukier w ka Ň dym worku.
Po sprzedaniu 50 worków cukru, okazało si ħ , Ň e pozostała cz ħĻę wa Ň y 975
kilogramów. Ile kilogramów cukru dostarczono do magazynu?
7) Z naczynia o obj ħ to Ļ ci 40 litrów napełnionego alkoholem odlano pewn Ģ ilo Ļę
alkoholu i dodano wody. Gdy znowu odlano tak Ģ sam Ģ ilo Ļę mieszaniny i
dopełniono naczynie wod Ģ , w naczyniu pozostało 10 litrów alkoholu. Ile litrów
cieczy odlano za ka Ň dym razem?
8) Trzej robotnicy, pracuj Ģ c po 8 godzin dziennie, wykonali w ci Ģ gu 6 dni 40%
planowanej pracy. Ilu robotników wykona reszt ħ tej pracy w ci Ģ gu 4 dni,
pracuj Ģ c po 9 godzin dziennie?
9) O ile procent wzro Ļ nie pole koła, je Ň eli jego obwód zwi ħ kszymy o p%?
10) Basen mo Ň na napełni ę woda dwiema rurami w ci Ģ gu 6 godzin. Napełnianie
basenu pierwsza rur Ģ trwa o 5 godzin krócej, ni Ň drug Ģ . Ile godzin trwa
napełnianie basenu ka Ň da rur Ģ oddzielnie?
7. Zadania optymalizacyjne.
1) Na paraboli
y 2
=
4
x
znale Ņę punkt le ŇĢ cy najbli Ň ej prostej
y
=
2
x
+
4
.
5) Dla jakich m funkcja
W
Ä
Ô
funkcji
22914117.014.png 22914117.001.png
2) Na kuli o promieniu R opisano sto Ň ek. Jaka b ħ dzie wysoko Ļę sto Ň ka o
najmniejszej obj ħ to Ļ ci?
3) W półokr Ģ g promieniu R wpisano trapez, którego podstaw Ģ jest Ļ rednica okr ħ gu.
Dla jakiego k Ģ ta przy podstawie pole trapezu jest najwi ħ ksze?
4) Wierzchołki podstawy prawidłowego ostrosłupa czworok Ģ tnego nale ŇĢ do
powierzchni kuli o promieniu 3, a wierzchołek ostrosłupa jest Ļ rodkiem kuli.
Wyznaczy ę długo Ļę kraw ħ dzi podstawy ostrosłupa tak, aby jego obj ħ to Ļę była
najwi ħ ksza.
8. Nietypowe równania i nierówno Ļ ci
1)
x 2
-
2
2
x
+
y
-
2
y
+
3
=
0
2)
4
x
2
+
9
y
2
+
16
z
2
-
4
x
-
6
y
-
8
z
+
3
=
0
3)
x
+
3
x
-
5
=
7
4)
2
x
=
16
x
-
2
5)
(
x
-
3
)
x 2
-
6
x
+
8
=
1
6)
x
x
=
x
x
7)
4
x
+
x
=
12
x
4
-
4
x
3
+
3
x
2
8)
x
-
1
<
1
-
2
-
1
9)
x
3
³
x
3
10)
2
x
+
3
>
3
x
-
2
9. Główka pracuje - zadania wymagaj Ģ ce my Ļ lenia...czyli TOP TRENDY nowej matury
1) Wiadomo, Ň e dla ka Ň dego x nale ŇĢ cego do dziedziny funkcji
y
=
f
(
x
)
zachodzi
, gdzie lewa strona jest sum Ģ zbie Ň nego
szeregu geometrycznego. Wyznacz wzór tej funkcji i jej dziedzin ħ .
2) Wyka Ň , Ň e je Ļ li równanie
warunek:
1
+
f
(
x
)
+
f
2
(
x
)
+
...
=
x
2
-
1
ma rozwi Ģ zanie, to warto Ļę bezwzgl ħ dna
ró Ň nicy jego pierwiastków jest równa pierwiastkowi wyró Ň nika tego równania.
3) Bok kwadratu ABCD ma długo Ļę a. Wierzchołek A poł Ģ czono ze Ļ rodkami E i F
odpowiednio boków BC i CD. Wyka Ň , Ň e odcinki AE i AF dziel Ģ przek Ģ tn Ģ BD na
trzy odcinki o równej długo Ļ ci.
4) Wyka Ň , Ň e je Ň eli równanie postaci
x 2
+
px
+
q
=
0
x 3
+
ax
+
b
=
0
ma pierwiastek podwójny, to
4
3
+
27
b
2
=
0
Ä
1
Ô
a
5) Czy prawdziwe jest zdanie:
a V
Î
x
2
+
4
x
+
Æ
Ö
>
0
?
2
Î
R
x
R
6) Wszystkie liczby naturalne ustawione w porz Ģ dku rosn Ģ cym podzielono na
grupy:
(
,
(
2
3
)
,
(
4
)
,
(
7
,
10
)
,
...
.Obliczy ę sum ħ liczb wyst ħ puj Ģ cych w n-tej
grupie.
7) Iloczyn skalarny wektorów
AB A jest równy polu równoległoboku o bokach
AB i AC. Wyznaczy ę miar ħ k Ģ ta BAC.
AC
8) Wykaza ę , Ň e je Ň eli
1
+
1
+
1
=
1
, to co najmniej dwie spo Ļ ród liczb a,b,c
a
b
c
a
+
b
+
c
s Ģ liczbami przeciwnymi.
9) Wykaza ę , Ň e je Ň eli
a
2
+
b
2
+
c
2
=
ab
+
ac
+
bc
, to
a
=
b
=
c
.
22914117.002.png 22914117.003.png
10) Wykaza ę , Ň e je Ň eli
a
+
b
=
1
, to
a
4
+
b
4
³
1
dla dowolnych liczb a i b.
8
11) Zbadaj liczb ħ pierwiastków równania
x 3
-
(
m
-
2
)
x
+
2
=
0
w zale Ň no Ļ ci od
parametru m.
12) Oblicz granic ħ
lim
É
Æ
1
-
1
Ö
Æ
1
-
1
Ö
Æ
1
-
1
Ö
×
...
×
Æ
1
-
1
Ö
Ù
n
®
¥
4
9
16
n
2
14) Udowodnij, Ň e liczba a jest wielokrotnym pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy
i tylko wtedy, gdy jest wspólnym miejscem zerowym wielomianu W(x) i jego
pochodnej.
15) Pary (x,y) liczb całkowitych, spełniaj Ģ ce równanie
2005
2
-
2004
2
+
2003
2
-
2002
2
+
...
+
3
2
-
2
2
+
1
2
s Ģ
współrz ħ dnymi wierzchołków pewnego wielok Ģ ta wypukłego. Oblicz pole tego
wielok Ģ ta.
16) Iloczyn trzech liczb pierwszych równa si ħ ich pi ħ ciokrotnej sumie. Jakie to
liczby?
17) Wyznacz wszystkie pary (x,y) liczb całkowitych spełniaj Ģ ce układ równa ı
Ê
x
3
-
x
2
y
+
xy
-
y
2
=
5
x
+
y
=
6
.
2
x
+
3
y
=
25
18) Liczby
a
1
,
a
2
,
a
3
,...,
a
n
s Ģ kolejnymi wyrazami ci Ģ gu geometrycznego. Znaj Ģ c
sumy:
S
=
a
+
a
+
a
+
...
+
a
oraz
T
=
1
+
1
+
1
+
...
+
1
oblicz iloczyn
1
2
3
n
a
a
a
a
1
2
3
n
I
=
a
1
×
a
2
×
a
3
×
...
×
a
n
log 7 .
20) Wyznaczy ę reszt ħ z dzielenia wielomianu
log 98
56
=
p
obliczy ę
14
W
(
x
)
=
x
100
-
2
x
99
+
2
x
50
-
1
przez
wielomian
G
(
x
)
=
x
3
-
x
10. 10 zada ı zwi Ģ zanych z granic Ģ i pochodn Ģ funkcji
1) Znajd Ņ przedziały monotoniczno Ļ ci funkcji
f
(
x
)
=
2
x
3
+
x
2
-
4
, okre Ļ lonej dla
.
2) Czy istnieje liczba
Î
(
0
2
)
a
Î
R
, dla której funkcja dana wzorem
Ê
2
x
2
-
8
Ë
dla
x
¹
2
f
(
x
)
=
x
-
2
jest ci Ģ gła w punkcie 2? Odpowied Ņ uzasadnij.
Ì
a
dla
x
=
2
3) Styczna do wykresu funkcji danej wzorem
f
(
x
)
=
2
x
3
-
4
x
2
+
5
x
-
1
jest
równoległa do prostej o równaniu
y
=
3
x
. Wyznacz współrz ħ dne punktu
styczno Ļ ci.
x
2
4) Wyznacz asymptoty wykresu funkcji danej wzorem
y
=
.
x
-
2
5) Wyznacz ekstrema funkcji danej wzorem
f
(
x
)
=
x
-
x
.
6) Przez punkt
A
=
(
0
)
przechodz Ģ dwie styczne do paraboli
y
=
x
2
-
4
x
+
3
.
Oblicz pole trójk Ģ ta ABC, gdzie B,C s Ģ punktami styczno Ļ ci.
7) Na kuli o promieniu R opisano sto Ň ek. Jaka musi by ę wysoko Ļę sto Ň ka, aby miał
on najmniejsz Ģ obj ħ to Ļę ?
Ä
Ô
Ä
Ô
Ä
Ô
Ä
Ô
Ç
×
13) Oblicz sum ħ :
19) Wiedz Ģ c, Ň e
x
22914117.004.png 22914117.005.png 22914117.006.png 22914117.007.png 22914117.008.png
8) Wydajno Ļę pracy pewnego pracownika zmienia si ħ w ci Ģ gu o Ļ miogodzinnego
dnia pracy, i po t godzinach od jej rozpocz ħ cia osi Ģ ga warto Ļę
w
(
t
)
=
50
+
9
-
t
2
-
1
t
3
. O której godzinie jego wydajno Ļę jest najwi ħ ksza, je Ň eli
9
rozpoczyna prac ħ o godzinie 8 00 ?
9) Wyka Ň , Ň e równanie
x
3
-
3
x
2
+
6
x
-
1
=
0
ma w przedziale
(
0
dokładnie jeden
pierwiastek.
10) Znajd Ņ najwi ħ ksz Ģ i najmniejsz Ģ warto Ļę funkcji
y
=
2
sin
x
+
sin
2
x
w przedziale
0
3
p
.
2
11. Co pisa ę w rozwi Ģ zaniu zadania?
1) Ze zbioru T liczb całkowitych spełniaj Ģ cych równanie
2
x
+
3
-
x
-
1
=
5
+
3
x
losujemy bez zwracania liczby p,q,r i tworzymy funkcj ħ
f
:
R
®
R
o warto Ļ ci
.
a) Podaj liczb ħ tak otrzymanych funkcji.
b) Oblicz prawdopodobie ı stwo zdarze ı :
A – otrzymana funkcja jest parzysta
B - otrzymana funkcja jest ró Ň nowarto Ļ ciowa
C - otrzymana funkcja jest stała
(
x
)
=
px
2
+
qx
+
r
12. Gdzie tu problem? Dobry wynik i bł ħ dne rozwi Ģ zanie?
1) Dla jakich warto Ļ ci parametru m funkcja
f
(
x
)
=
(
4
-
m
)
x
2
-
3
x
+
m
+
4
przyjmuje tylko warto Ļ ci dodatnie?
2) Wiadomo, Ň e
cos
x
=
-
5
i
x
Î
Æ
p
,
p
Ö
. Oblicz x
sin .
13
2
3) Rozwi ĢŇ nierówno Ļę :
x 2
-
3
<
x
+
1
.
13. Jak podczas rozwi Ģ zywania zadania tworzy ę plan poczyna ı ?
1) Dla jakich warto Ļ ci parametru m, ka Ň dy z dwóch ró Ň nych pierwiastków
równania
x
+
mx
+
4
=
0
f
(
x
)
=
2
x
2
+
x
-
4
, wiedz Ģ c,
.
3) W trójk Ģ cie równoramiennym o podstawie 10, dwusieczna k Ģ ta przy podstawie
dzieli rami ħ na dwa odcinki, z których jeden, którego ko ı cem jest wierzchołek
trójk Ģ ta, jest o 3 wi ħ kszy od drugiego. Wyznacz długo Ļ ci promieni okr ħ gów
opisanych na powstałych trójk Ģ tach.
-
x
+
3
y
+
2
=
0
14. Styczna do wykresu funkcji.
1) Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji
f
(
x
)
=
x
3
+
x
2
-
3
x
+
5
,
prostopadłej do prostej o równaniu
x
-
2
y
+
7
=
0
.
2) Dana jest funkcja
f
(
x
)
=
x
3
+
x
. Udowodnij, Ň e dla dowolnego
x 0
¹
0
, styczne do
wykresu tej funkcji poprowadzone w punktach
x
0
i
-
x
0
s Ģ prostymi
równoległymi.
f
Ä
Ô
jest mniejszy od 4?
2) Wyznaczy ę równanie stycznej do krzywej o równaniu
Ň e styczna jest prostopadła do prostej o równaniu
22914117.009.png 22914117.010.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin