liczby zespolone(1).pdf

LICZBY ZESPOLONE

DENICJA LICZB ZESPOLONYCH

LICZBAMI ZESPOLONYMI NAZYWAMY LICZBY POSTACI A + BI , GDZIE I OZNACZA JEDNOSTKE UROJONA , PRZYJ-

MUJEMY, ZE I 2 = 1 ZAS A I B SA LICZBAMI RZECZYWISTYMI. SUMA LICZB ZESPOLONYCH Z 1 = A + BI I

Z 2 = C + DI TO Z 1 + Z 2 = ( A + C ) + ( B + D ) I . ILOCZYN LICZB ZESPOLONYCH Z 1 = A + BI I Z 2 = C + DI TO

Z 1 Z 2 = ( AC BD ) + ( AD + BC ) I . ZBIOR WSZYSTKICH LICZB ZESPOLONYCH OZNACZANY JEST (NA CALYM SWIECIE

Z WYJA TKIEM POLSKICH SZKOL SREDNICH) PRZEZ

STWIERDZENIE 1. (PRZEMIENNOSC DZIALAN)

DLA DOWOLNYCH LICZB ZESPOLONYCH Z 1 ;Z 2 ZACHODZA ROWNOSCI

Z 1 + Z 2 = Z 2 + Z 1 ORAZ Z 1 Z 2 = Z 2 Z 1 ;

CZYLI DODAWANIE I MNOZENIE SA DZIALANIAMI PRZEMIENNYMI.

DOWOD.

UZASADNIAMY TO W NASTE PUJA CY SPOSOB: Z 1 + Z 2 = ( A + C ) + ( B + D ) I = ( C + A ) + ( D + B ) I = Z 2 + Z 1 ,

BO WYNIK DODAWANIA LICZB RZECZYWISTYCH NIE ZALEZY OD KOLEJNOSCI SKLADNIKOW. TERAZ MNOZENIE:

Z 1 Z 2 = ( A + BI )( C + DI ) = ( AC BD ) + ( AD + BC ) I = ( CA DB ) + ( CB + DA ) I = ( C + DI )( A + BI ) = Z 2 Z 1 ,

BO DODAWANIE I MNOZENIE LICZB RZECZYWISTYCH SA PRZEMIENNE.

ZAMIAST PISAC A + 0 I BE DZIEMY PISAC A , ZAMIAST PISAC 0 + BI BE DZIEMY PISAC BI . LICZBY POSTACI

BI , B 2 NAZYWAC BE DZIEMY UROJONYMI. DZIE KI TEJ UMOWIE LICZBY RZECZYWISTE TO SZCZEGOLNE LICZBY

ZESPOLONE { ŸTE W KTORYCH NIE MA I ". LICZBE A NAZYWAMY CZE SCIA RZECZYWISTA LICZBY Z = A + BI ,

PISZEMY RE Z = A ; LICZBE B { CZE SCIA UROJONA LICZBY Z = A + BI , PISZEMY IM Z = B

W TAKI SAM SPOSOB SPRAWDZIC MOZNA, ZE ZACHODZI

STWIERDZENIE 2. (LA CZNOSC, ROZDZIELNOSC, ISTNIENIE ROZNICY I ILORAZU)

DLA DOWOLNYCH LICZB ZESPOLONYCH Z 1 ;Z 2 ;Z 3 ZACHODZA ROWNOSCI

( Z 1 + Z 2 ) + Z 3 = Z 1 + ( Z 2 + Z 3 ) | DODAWANIE JEST LA CZNE,

( Z 1 Z 2 ) Z 3 = Z 1 ( Z 2 Z 3 ) | MNOZENIE JEST LA CZNE,

Z 1 ( Z 2 + Z 3 ) = Z 1 Z 2 + Z 1 Z 3 | MNOZENIE JEST ROZDZIELNE WZGLE DEM DODAWANIA.

DLA DOWOLNYCH LICZB ZESPOLONYCH Z 1 ;Z 2 ISTNIEJE DOKLADNIE JEDNA LICZBA ZESPOLONA Z TAKA, ZE

Z 1 + Z = Z 2 , LICZBA TA ZWANA JEST ROZNICA LICZB Z 2 I Z 1 I OZNACZANA SYMBOLEM Z 2

JEDYNIE DOWOD ISTNIENIA ILORAZU ROZNI SIE NIECO OD DOWODU PRZEMIENNOSCI DZIALAN. PRZYJMIJMY, ZE

Z 1 = A + BI , Z 2 = C + DI . SZUKAMY LICZBY ZESPOLONEJ Z = X + YI , DLA KTOREJ Z 2 = ZZ 1 , CZYLI

C + DI = ( A + BI )( X + YI ) = ( AX BY ) + ( AY + BX ) I . MA WIE C BYC C = AX BY I JEDNOCZESNIE

D = AY + BX . OTRZYMALISMY WIE C UKLAD ROWNAN Z NIEWIADOMYMI X;Y . MNOZA C PIERWSZE Z NICH PRZEZ

A , DRUGIE PRZEZ B I DODAJA C STRONAMI OTRZYMUJEMY AC + BD = ( A 2 + B 2 ) X , ZATEM X = AC + BD

A 2 + B 2 , DZIELENIE

218

Z 1 .

DLA DOWOLNYCH LICZB ZESPOLONYCH Z 1 6 = 0 I Z 2 ISTNIEJE DOKLADNIE JEDNA LICZBA ZESPOLONA Z TAKA,

ZE Z 1 Z = Z 2 , LICZBA TA ZWANA JEST ILORAZEM LICZB Z 2 I Z 1 I OZNACZANA SYMBOLEM Z Z 1 LUB Z 2 =Z 1 .

DOWOD.

JEST WYKONALNE, BO 0 6 = A + BI , WIE C CO NAJMNIEJ JEDNA Z LICZB A;B JEST 6 = 0 . ANALOGICZNIE OTRZYMUJEMY

WZOR Y = AD BC

LONYCH ZACHODZA ROWNOSCI 1 Z = Z , 0 Z = 0 I 0 + Z = Z DLA DOWOLNEGO Z 2

NA LICZBACH ZESPOLONYCH MOZEMY WIE C WYKONYWAC NA NICH DZIALANIA TAK, JAK NA LICZBACH RZECZY-

WISTYCH. NA PRZYKLAD:

C + DI

A + BI =

( C + DI )( A BI )

( A + BI )( A BI )

( C + DI )( A BI )

A 2 ( BI ) 2 =

( AC + BD )+( AD BC ) I

A 2 B 2 I 2 =

( AC + BD )+( AD BC ) I

A 2 B 2 ( 1)

= AC + BD

A 2 + B 2 + AD BC

A 2 + B 2 I .

NIESTETY, NIE WSZYSTKO JEST TAK JAK W PRZYPADKU LICZB RZECZYWISTYCH. W ZBIORZE

NIE MOZNA

W SENSOWNY SPOSOB WPROWADZIC NIEROWNOSCI. NADAMY TEMU ZDANIU POSTAC TWIERDZENIA, A NASTE PNIE

UDOWODNIMY JE.

TWIERDZENIE O NIEISTNIENIU NIEROWNOSCI W ZBIORZE LICZB ZESPOLONYCH

W ZBIORZE

NIE ISTNIEJE RELACJA TAKA, ZE

1. JESLI Z 1 ;Z 2

, TO ZACHODZI DOKLADNIE JEDNA Z TRZECH MOZLIWOSCI:

Z 1 (KAZDE DWIE LICZBY MOZNA POROWNAC);

2. JESLI Z 1 Z 2 I Z 2 Z 3 , TO Z 1 Z 3 (NIEROWNOSC MA BYC PRZECHODNIA);

3. JESLI Z 1 Z 2 I Z 2

Z 2 ALBO Z 2

, TO Z 1 + Z Z 2 + Z (DO OBU STRON NIEROWNOSCI WOLNO DODAC DOWOLNA LICZBE

Z 2

);

4. JESLI Z 1 Z 2 I 0 Z , TO ZZ 1 ZZ 2 (NIEROWNOSC WOLNO POMNOZYC OBUSTRONNIE PRZEZ DOWOLNA

LICZBE Z WIE KSZA OD 0 ).

DOWOD.

ZALOZMY BOWIEM, ZE UDALO NAM SIE W JAKIS SPOSOB ZDENIOWAC NIEROWNOSC W TAKI SPOSOB, ZE

SPELNIONE SA WARUNKI 1 { 4. JESLI 0 Z , TO 0 = 0 Z Z Z = Z 2 , CZYLI KWADRATY LICZB DODATNICH

SA DODATNIE. MAMY OCZYWISCIE Z 2 = ( Z ) 2 . JESLI Z 0 , TO 0 = Z + ( Z ) 0 + ( Z ) = Z , ZATEM

0 ( Z ) 2 = Z 2 , WIE C ROWNIEZ W TYM PRZYPADKU 0 Z 2 . WOBEC TEGO KWADRATY LICZB ROZNYCH OD

ZERA MUSZA BYC DODATNIE. MAMY 1 1 = 1 I I 2 = 1 , ZATEM 0 1 I JEDNOCZESNIE 0 1 . DODAJA C

DO OBU STRON PIERWSZEJ Z TYCH NIEROWNOSCI LICZBE 1 OTRZYMUJEMY 1 ( 1) + 1 = 0 , CO PRZECZY

TEMU, ZE 0 1 . DOWOD ZOSTAL ZAKONCZONY.

OKAZALO SIE WIE C, ZE LICZB ZESPOLONYCH POROWNYWAC SIE NIE DA. MOZNA OCZYWISCIE DENIOWAC JAKIES

NIEROWNOSCI MIE DZY LICZBAMI ZESPOLONYMI REZYGNUJA C Z CZE SCI WARUNKOW 1 { 4, ALE TAKIE NIEROWNOSCI

NIE SA UZYTECZNE, WIE C NA OGOL NIKT TEGO NIE ROBI.

LICZBY ZESPOLONE MOZNA TRAKTOWAC JAKO PUNKTY PLASZCZYZNY. PRZYJMUJEMY, ZE CZE SC RZECZYWISTA

LICZBY ZESPOLONEJ TO PIERWSZA WSPOLRZE DNA (CZYLI POZIOMA), A CZE SC UROJONA TO DRUGA WSPOLRZE DNA

(PIONOWA) PUNKTU PLASZCZYZNY. PRZY TAKIEJ INTERPRETACJI SUMA Z 1 + Z 2 LICZB ZESPOLONYCH MOZE BYC

POTRAKTOWANA JAKO KONIEC WEKTORA, KTORY JEST SUMA WEKTOROW

0 Z 1 I

0 Z 2 .

DENICJA

WARTOSCIA BEZWZGLE DNA J Z J LICZBY ZESPOLONEJ Z = A + BI NAZYWAMY LICZBE

A 2 + B 2 , ARGUMENTEM

219

A 2 + B 2 .

WYKAZALISMY WSZYSTKIE PODSTAWOWE WLASNOSCI DZIALAN. JEST OCZYWISTE, ZE W ZBIORZE LICZB ZESPO-

Z 1 = Z 2 ALBO Z 1

A 2 + B 2 .

Z DENICJI TEJ WYNIKA, ZE J Z J TO ODLEGLOSC PUNKTU Z OD PUNKTU 0 A ARGUMENT LICZBY Z , TO KA T

MIE DZY WEKTORAMI

A 2 + B 2 ORAZ SIN ' =

01 I

0 Z MIERZONY W KIERUNKU PRZECIWNYM DO RUCHU WSKAZOWEK ZEGARA.

ARG 2 = 0 LUB ARG 2 = 2004 , ARG I = 2

LUB ARG I = 3 2

, ARG ( 1 + I ) = 4

4 ITP.

J 2 J = 2 = J 2 J = J 2 I J = J 2 I J , J 1 + I J = J 1 + I + = J 1 I J = J 1 I J =

2 .

J , JEST ONA ROWNOSCIA

JEDYNIE WTEDY, GDY PUNKTY PLASZCZYZNY ODPOWIADAJA CE LICZBOM 0 ;Z 1 ;Z 2 LEZA NA JEDNEJ PROSTEJ, PRZY

CZYM 0 NIE LEZY MIE DZY* Z 1 I Z 2 .

DOWODU NIE PODAJEMY, BO WYNIKA ON ZE ZNANYCH WLASNOSCI GUR GEOMETRYCZNYCH (NP. TROJKA TA),

A CI KTORZY ICH NIE PAMIE TAJA , MOGA BEZ KLOPOTU WYKAZAC, ZE DLA DOWOLNYCH LICZB RZECZYWISTYCH

A 1 ;B 1 ;A 2 ;B 2 ZACHODZI NIEROWNOSC

JJ Z 1

J + J Z 2

A 2 + B 2 , STAJE SIE ONA

ROWNOSCIA WTEDY I TYLKO WTEDY, GDY ISTNIEJE LICZBA RZECZYWISTA T 0 TAKA, ZE Z 1 = TZ 2 LUB Z 2 = TZ 1 .

Z ROWNOSCI Z = A + BI , R = J Z J , COS ' =

A 1 + B 1 +

( A 1 + A 2 ) 2 + ( B 1 + B 2 ) 2

A 2 + B 2 I SIN ' =

A 2 + B 2 WYNIKA, ZE

Z = R (COS ' + I SIN ' ) .

ZAPISALISMY LICZBE Z W POSTACITRYGONOMETRYCZNEJ .

ZALOZMY, ZE Z 1 = R 1 (COS ' 1 + I SIN ' 1 ) I Z 2 = R 2 (COS ' 2 + I SIN ' 2 ) . WTEDY

Z 1 Z 2 = R 1 R 2

= R 1 R 2

COS( ' 1 + ' 2 ) + I SIN( ' 1 + ' 2 )

{ SKORZYSTALISMY TU Z WZOROW

COS( ' 1 + ' 2 ) = COS ' 1 COS ' 2 SIN ' 1 SIN ' 2 ORAZ SIN( ' 1 + ' 2 ) = COS ' 1 SIN ' 2 + COS ' 2 SIN ' 1 ,

Z KTORYMI STUDENCI SPOTYKALI SIE CZASEM W SZKOLACH. WYKAZALISMY W TEN SPOSOB, ZE WARTOSC BEZ-

WZGLE DNA ILOCZYNU DWU LICZB ZESPOLONYCH ROWNA JEST ILOCZYNOWI ICH WARTOSCI BEZWZGLE DNYCH, A ARGU-

MENT ILOCZYNU DWU LICZB ZESPOLONYCH ROWNA JEST SUMIE ICH ARGUMENTOW. STOSUJA C OTRZYMANY WZOR

WIELOKROTNIE OTRZYMUJEMY

WZOR DE MOIVRE'A

N = R N

COS( N' ) + I SIN( N' )

Z TEGO WZORU WYNIKA, ZE DLA KAZDEJ LICZBY ZESPOLONEJ W 6 = 0 I KAZDEJ LICZBY NATURALNEJ N ISTNIEJE

DOKLADNIE N ROZNYCH LICZB ZESPOLONYCH Z 1 , Z 2 , ::: , Z N TAKICH, ZE Z J = W DLA J = 1 ; 2 ;:::;N . ZALOZMY

BOWIEM, ZE W = % (COS + I SIN ) . JESLI Z = R (COS ' + I SIN ' ) I W = Z N , TO MUSZA BYC SPELNIONE

ROWNOSCI % = R N ORAZ N' = + 2 K DLA PEWNEJ LICZBY CALKOWITEJ K . WYNIKA STA D, ZE R = N

% , R

N . ZASTE PUJA C LICZBE K LICZBA K + N

ZWIE KSZAMY KA T ' O 2 , CO NIE ZMIENIA LICZBY Z . ROZNE LICZBY Z OTRZYMUJEMY PRZYJMUJA C KOLEJNO

K = 0 , K = 1 , ::: , K = N 1 . OTRZYMUJEMY WIE C DOKLADNIE N ROZNYCH WARTOSCI. LATWO ZAUWAZYC,

* NIEOSTRO, JEDNA Z LICZB Z 1 ;Z 2 MOZE BYC ZEREM

2 K

220

ARG Z LICZBY Z = A + BI 6 = 0 { DOWOLNA LICZBE ' TAKA , ZE COS ' =

NIEROWNOSC TROJKA TA

DLA DOWOLNYCH LICZB ZESPOLONYCH Z 1 ;Z 2 ZACHODZI NIEROWNOSC J Z 1 + Z 2

COS ' 1 COS ' 2 SIN ' 1 SIN ' 2 + I (COS ' 1 SIN ' 2 + COS ' 2 SIN ' 1 )

R (COS ' + I SIN ' )

JEST WIE C WYZNACZONE JEDNOZNACZNIE. MUSI TEZ BYC ' = N +

ZE ODPOWIADAJA CE IM PUNKTY PLASZCZYZNY SA WIERZCHOLKAMI N {KA TA FOREMNEGO WPISANEGO W OKRA G O

PROMIENIU R = N

% . JESLI W = 1 , TO WSROD TYCH LICZB JEST LICZBA 1 .

DENICJA PIERWIASTKA ALGEBRAICZNEGO Z LICZBY ZESPOLONEJ

ALGEBRAICZNYM PIERWIASTKIEM N {TEGO STOPNIA Z LICZBY ZESPOLONEJ W NAZYWAMY KAZDA LICZBE ZESPO-

LONA Z , DLA KTOREJ W = Z N .

PRZYKLADY

1. PIERWIASTKAMI ALGEBRAICZNYMI STOPNIA 2 Z LICZBY 1 = COS 0 + I SIN 0 SA

Z 1 = COS 0 3 + I SIN 0 3 = COS 0 + I SIN 0 = 1 ORAZ Z 2 = COS 2 2 + I SIN 2 2 = COS + I SIN = 1 .

2. PIERWIASTKAMI ALGEBRAICZNYMI STOPNIA 3 Z LICZBY 1 = COS 0 + I SIN 0 SA Z 1 = COS 0 3

+ I SIN 0 3

= 1 ,

Z 2 = COS 2 3

+ I SIN 2 3

= 2

+ I

ORAZ Z 3 = COS 4 3

+ I SIN 4 3

= 2

3. PIERWIASTKAMI ALGEBRAICZNYMI STOPNIA 3 Z LICZBY 1 = COS + I SIN SA

Z 1 = COS 3

+ I SIN 3

+ I

, Z 2 = COS +2

+ I SIN +2

= 1 ORAZ

2 .

4. PONIEWAZ COS 2 + I SIN 2 = (COS + I SIN ) 2 = COS 2 + 2 I COS SIN + I 2 SIN 2 =

= COS 2 SIN 2 + 2 I COS SIN , CZE SCI RZECZYWISTE SA ROWNE I CZE SCI UROJONE SA ROWNE, WIE C

COS 2 = COS 2 SIN 2 I SIN 2 = 2 SIN COS .

5. PONIEWAZ COS 3 + I SIN 3 = (COS + I SIN ) 3

+ I SIN +4

= COS 3 + 3 I COS 2 SIN + 3 I 2 COS SIN 2 +

, I WOBEC TEGO

COS 3 = COS 3 3 COS SIN 2 = 4 COS 3 3 COS ,

SIN 3 = 3 COS 2 SIN SIN 3 = 3 SIN 4 SIN 3 .

WIDZIMY WIE C, ZE ZA POMOCA LICZB ZESPOLONYCH MOZNA POWIA ZAC WZORY NA COS N I SIN N Z

DWUMIANEM NEWTONA, MOZNA PRZESTAC POSZUKIWAC TYCH WZOROW W TABLICACH.

3 COS 2 SIN SIN 3

DENICJA SPRZE ZENIA

JESLI Z = A + BI , A;B 2 , TO LICZBE Z = A BI NAZYWAMY SPRZE ZONA DO LICZBY Z .

2 3 I = 2 + 3 I , 13 = 13 , I = I . LICZBA Z JEST RZECZYWISTA WTEDY I TYLKO WTEDY, GDY , Z = Z .

JEST JEDYNA LICZBA TAKA , ZE Z + Z 2 I JEDNOCZESNIE Z Z 2 . PROSTY DOWOD

TEGO STWIERDZENIA POZOSTAWIAM CZYTELNIKOM W CHARAKTERZE CWICZENIA. MAMY TEZ

2 I ( Z Z ) . PUNKTY PLASZCZYZNY ODPOWIADAJA CE

LICZBOM Z I Z SA SYMETRYCZNE WZGLE DEM OSI RZECZYWISTEJ.

PRZYPOMNIJMY, ZE ARGUMENT ILOCZYNU DWU LICZB ZESPOLONYCH ROWNY JEST SUMIE ARGUMENTOW

2 ( Z + Z ) I IM Z =

SKLADNIKOW. JEST TO WLASNOSC PRZYPOMINAJA CE NIECO LOGARYTM (LOGARYTM ILOCZYNU TO SUMA LOGARYTMOW

CZYNNIKOW). LOGARYTM TO WYKLADNIK POTE GI. ZDENIUJEMY TERAZ POTE GE O PODSTAWIE E .

DENICJA POTE GI O WYKLADNIKU ZESPOLONYM

E Z = E X + IY = E X

Z 3 = COS +4

+ I 3 SIN 3 = COS 3 3 COS SIN 2 + I

JESLI Z 2 , TO Z 2

Z Z = ( A + BI )( A BI ) = A 2 + B 2 = J Z J 2 , Z + Z = 2RE Z ORAZ Z Z = 2 I IM Z .

MOZEMY WIE C NAPISAC RE Z =

COS Y + I SIN Y ) DLA DOWOLNEJ LICZBY ZESPOLONEJ Z = X + IY , X;Y 2 .

CZYTELNIK MOZE UZNAC TE DENICJE ZA DZIWNA . ZAUWAZMY JEDNAK, ZE ROZSZERZA ONA DENICJE POTE GI

221

O WYKLADNIKU RZECZYWISTYM. E I = E 0

COS + I SIN

= 1 , E LN 2+ I = E LN 2

COS + I SIN

= 2 .

PRZYKLADY MOZNA MNOZYC.ZAUWAZMY JESZCZE, ZE JESLI Z = X + IY , W = U + IV ( X;Y;U;V 2 ), TO

E Z + W = E ( X + U )+ I ( Y + V ) = E X + U

COS( Y + V ) + I SIN( Y + V )

= E X E U

COS Y + I SIN Y

COS V + I SIN V

E U

= E X

COS Y + I SIN Y

COS V + I SIN V

= E Z E W .

WIDZIMY WIE C, ZE WLASNIE ZDENIOWANEJ POTE DZE LICZBY E PRZYSLUGUJE PODSTAWOWA WLASNOSC POTE G.

DENICJA POTE GI BYLA STOPNIOWO ROZSZERZANA: NAJPIERW UCZNIOWIE POZNAJA POTE GI O WYKLADNIKACH

NATURALNYCH, POTEM O CALKOWITYCH UJEMNYCH, POTEM O DOWOLNYCH WYMIERNYCH. POTE GA O WYKLADNIKU

RZECZYWISTYM JEST OKRESLANA TAK, BY ZACHOWAC MONOTONICZNOSC I ROWNOSC E A + B = E A E B . PONIEWAZ

ZAJMUJEMY SIE LICZBAMI ZESPOLONYMI, WIE C NIE MOZNA MOWIC O MONOTONICZNOSCI { W ZBIORZE LICZB

ZESPOLONYCH NIE MA NIEROWNOSCI. ZAMIAST MONOTONICZNOSCI MOZNA ZAZA DAC ISTNIENIA POCHODNEJ W

PUNKCIE 0 .

TWIERDZENIE CHARAKTERYZUJA CE FUNKCJE E Z

FUNKCJA E Z JEST JEDYNA FUNKCJA F : !

TAKA , ZE SPELNIONE SA WARUNKI

1 F ( Z + W ) = F ( Z ) F ( W ) DLA DOWOLNYCH LICZB ZESPOLONYCH Z;W ORAZ

LIM

Z ! 0

F ( Z ) F (0)

= 1 .

DRUGI WARUNEK WYMAGA WYJASNIENIA. MOWIMY, ZE LIM

Z ! Z 0

H ( Z ) = G 2

WTEDY I TYLKO WTEDY, GDY

= 0 , W OSTATNIM WYRAZENIU LICZBY ZESPOLONE WYSTE PUJA TYLKO POZORNIE, WIE C TO

OSTATNIE POJE CIE NIE JEST NAM OBCE. TA DENICJA JEST PROSTYM UOGOLNIENIEM POJE CIA GRANICY ZNANEGO Z

PRZYPADKU RZECZYWISTEGO | CHODZI O TO, ZE JESLI ODLEGLOSC MIE DZY Z I Z 0 JEST DOSTATECZNIE MALA, TO

ODLEGLOSC MIE DZY WARTOSCIA FUNKCJI H W PUNKCIE Z I GRANICA G TEZ JEST MALA. ROZPATRYWANA GRANICA

LIM

Z ! 0

H ( Z ) G

F ( Z ) F (0)

Z MA BYC POCHODNA FUNKCJI F W PUNKCIE 0 . NASZA FUNKCJA MA BYC ROZSZERZENIEM FUNKCJI

WYKLADNICZEJ O PODSTAWIE E I WYKLADNIKU RZECZYWISTYM, WIE C JEJ POCHODNA W PUNKCIE 0 , POWINNA

BYC ROWNA POCHODNEJ FUNKCJI E X W PUNKCIE 0 , CZYLI POWINNA BYC ROWNA 1 .

DENIUJA FUNKCJE WYKLADNICZA NIE BE DZIEMY DOWODZIC. WCZESNIEJ

WYKAZALISMY, ZE WARUNEK 1 JEST SPELNIONY. NASZKICUJEMY DOWOD TEGO, ZE FUNKCJI E Z PRZYSLUGUJE WLAS-

NOSC 2 . MOZNA DOWIESC, NP. ZA POMOCA REGULY DE L'HOSPITALA*, ZE LIM

I 2

X ! 0

E X 1 X

= 0 , LIM

Y ! 0

COS Y 1

= 0

I LIM

Y ! 0

SIN Y Y

= 0 . NIECH R ( X ) = E X 1 X

DLA X 6 = 0 I R (0) = 0 , R ( Y ) =

COS Y 1

DLA Y 6 = 0 I R (0) = 0

Y DLA Y 6 = 0 I R (0) = 0 . MAMY WIE C E X 1 = X [1 + R ( X )] , COS Y 1 = YR ( Y ) ORAZ

SIN Y = Y [1 + R ( Y )] . WOBEC TEGO

E Z 1

SIN Y Y

= E X + IY 1

X + IY

X + IY =

= X [1+ R ( X )] Y [ R ( Y )+ I + IR ( Y )]+ X [1+ R ( X )]+ Y [ R ( Y )+ I + IR ( Y )]

X + IY

= E X E IY 1

X + IY

= ( E X 1)( E IY 1)+( E X 1)+( E IY 1)

R ( Y ) + IR ( Y )

= 1 +

X + IY [1 + R ( X )][ I + R ( Y ) + IR ( Y )] +

X + IY R ( X ) +

X + IY

Y ! 0 R ( Y ) = 0 . PRAWDZIWE SA ROWNIEZ WZORY

* WLASCIWIE Z DENICJI POCHODNEJ I WZOROW ( E X ) 0 = E X , (COS Y ) 0 = SIN Y , (SIN Y ) 0 =COS Y .

X ! 0 R ( X ) = 0 , LIM

Y ! 0 R ( Y ) = 0 ORAZ LIM

222

LIM

J Z Z 0

J! 0

TEGO, ZE WARUNKI 1

ORAZ R ( Y ) =

ZACHODZA ROWNOSCI LIM

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: