wykl_teoria_sprezystosci_02_stan_odksztalcenia.pdf

(131 KB) Pobierz
Microsoft Word Viewer 97 - Wyk³ad_2_Stan odkszta³cenia.doc
W YKŁADY Z T EORII S PRĘŻYSTOŚCI
W PROWADZENIE - PRZYPOMNIENIE WIADOMOŚCI Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW
WYKŁAD 2
Olga Kopacz, Krzysztof Krawczyk, Adam Łodygowski, Krzysztof Tymper
Michał Płotkowiak, Wojciech Pawłowski
Poznań 2002/2003
1. STAN ODKSZTAŁCENIA.
1.1. Wektor przemieszczenia.
Rozważmy ciało odkształcalne jak na rysunku poniżej (rys.1.1).Pod wpływem
różnych czynników zewnętrznych ciało to może przejść ze stanu pierwotnego do stanu
aktualnego czyli po odkształceniu.
Rys.1.1
Przyjmijmy, że punkt
P ciała w stanie naturalnym ma współrzędne:
X
1
,
X
2
,
X
3
. Wektor X (dla tego punktu) określony jest następująco:
X
=
X
1
e
1
+
X
2
e
2
+
X
3
e
3
. Ten sam punkt ciała po odkształceniu przejdzie w
położenie P o współrzędnych:
x
1
, x
x
2
,
3
, a wektor przemieszczenia przyjmuje postać:
x
=
x
1
e
1
+
x
2
e
2
+
x
3
e
3
. Powyższy zapis jest zapisem ruchu ciała (a właściwie
jednego z jego punktów). Wektor
u
=
x
X
u
i
=
x
i
X
i
)
nazywamy wektorem
przemieszczenia . Za wektor u możemy uważać:
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Krawczyk, Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper
(
54622912.003.png
W YKŁADY Z T EORII S PRĘŻYSTOŚCI
W PROWADZENIE - PRZYPOMNIENIE WIADOMOŚCI Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW
- wektor wyrażający przemieszczenie punktu materialnego, zajmującego
przed odkształceniem położenie P
- wektor wyrażający przemieszczenie punktu materialnego, który po
odkształceniu ciała zajmuje w przestrzeni położenie pokrywające się z
punktem P
W pierwszym przypadku mówimy o opisie ruchu współrzędnymi Lagrange’a ( opis
materialny ). Polega on na wyrażeniu wszystkich wielkości opisujących ruch za pomocą
położenia początkowego cząstek i czasu co zapisujemy:
(2.1)
W drugim o opisie współrzędnymi Eulera ( opis przestrzenny ) w którym wszystkie
wielkości opisujące ruch wyrażone są za pomocą położenia końcowego cząstek i czasu:
x
i
=
x
i
(
X
1
,
X
2
,
X
3
,
t
)
(2.2)
Rozpatrzmy dwie cząstki ciała odkształcalnego podlegającego ruchowi w czasie
X
i
=
X
i
(
x
1
,
x
2
,
x
,
t
)
od
t do t . Spójrzmy na rysunek (Rys.1.2)
Rys.1.2
W chwili
t współrzędne cząstek (punktów Q i P) są następujące:
X oraz
X
i
+
dX
i
, a
po upływie czasu t :
x oraz
x
i
+
dx
i
. Mamy zatem:
()
2
2
dX
=
d
X
=
d
X
d
X
=
dX
dX
=
dX
dX
(2.3)
i
i
ij
i
j
gdzie
()
dX -kwadrat odległości początkowej cząsteczek, a:
(
2
)
dX
i
=
X
i
x
1
,
x
2
,
x
3
t
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Krawczyk, Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper
3
54622912.004.png
W YKŁADY Z T EORII S PRĘŻYSTOŚCI
W PROWADZENIE - PRZYPOMNIENIE WIADOMOŚCI Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW
dX
=
X
i
dx
i
x
j
j
dX
=
X
2
dx
+
X
2
dx
+
X
2
dx
2
x
1
x
2
x
3
1
2
3
()
dX
2
=
dX
dX
=
X
k
X
k
dx
dx
k
k
x
x
i
j
i
j
()
dX
2
=
C
dx
dx
stąd otrzymujemy:
ij
i
j
C
=
X
k
X
k
TENSOR DEFORMACJI COUCHIEGO (2.4)
ij
x
x
i
j
W chwili t ,czyli po deformacji kwadrat odległości między cząsteczkami wynosi:
()
2
=
d
x
2
=
d
x
d
x
=
dx
dx
=
dx
dx
(2.5)
i
i
ij
i
j
x
i
=
x
i
(
X
1
,
X
2
,
X
3
)
dx
=
x
i
dX
i
X
j
j
()
dx
2
=
dx
dx
=
x
k
x
k
dX
dX
k
k
X
X
i
j
i
j
()
dx
2
=
G
dX
dX
stąd otrzymujemy:
ij
i
j
G
=
x
k
x
k
TENSOR DEFORMACJI GREENA
(2.6)
ij
X
X
i
j
2
[] [][]
dx
=
{
dX
} []
T
G
{
dX
}
G
=
x
T
x
otrzymując:
i
,
j
i
,
j
[]
x
1
x
1
2
x
1
3
MACIERZ MATERIALNYCH
GRADIENTÓW DEFORMACJI
x
i
,
j
=
x
2
,
x
2
,
2
x
2
,
3
x
3
,
x
3
,
2
x
3
,
3
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Krawczyk, Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper
dx
Możemy zatem zapisać, że:
()
54622912.005.png
W YKŁADY Z T EORII S PRĘŻYSTOŚCI
W PROWADZENIE - PRZYPOMNIENIE WIADOMOŚCI Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW
x
=
x
i
MACIERZ MATERIALNYCH GRADIENTÓW
DEFORMACJI
(2.7)
ij
X
j
Za miarę odkształcenia uważamy różnicę:
() ( )
dx
2
dX
2
, zgodnie z wzorami (1.3 i
1.5) otrzymujemy:
() ( )
2
dX
2
=
x
k
x
k
dX
dX
=
2
L
dX
dX
X
X
ij
i
j
ij
i
j
i
j
L
=
1
x
k
x
k
TENSOR ODKSZTAŁ.
SKOŃCZONYCH
LAGRANGE’A
(2.8)
ij
2
X
X
ij
i
j
W zapisie tensorowym:
[] [][]
G
=
1
(
G
I
)
2
Podstawmy do wzoru (1.8) zamiast
x różnicę:
k
x
k
=
X
k
+
u
k
, mamy wtedy:
L
=
1
u
i
+
u
j
+
u
k
u
k
TENSOR ODKSZTAŁ.
SKOŃCZONYCH
LAGRANGE’A W OPISIE
PRZESTRZENNYM
(2.9)
ij
2
X
X
X
X
j
i
i
j
W zapisie tensorowym:
[] [] [] [] []
L
=
1
[
J
+
J
T
+
J
T
J
]
(2.10)
2
[][]
u
1
u
1
2
u
1
3
przy czym:
J
i
,
j
=
u
i
,
j
=
u
2
,
u
2
2
u
2
,
3
u
3
,
u
3
2
u
3
,
3
We współrzędnych Euler’a:
() ( )
2
dX
2
=
X
k
X
k
dx
dx
=
2
E
dx
dx
gdzie:
ij
x
x
i
j
ij
i
j
i
j
E -tensor odkształceń skończonych Euler’a (Alamansiego)
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Krawczyk, Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper
dx
,
,
dx
ij
54622912.006.png 54622912.001.png
W YKŁADY Z T EORII S PRĘŻYSTOŚCI
W PROWADZENIE - PRZYPOMNIENIE WIADOMOŚCI Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW
Tym razem wprowadzamy zamiast
X różnicę:
k
X
k
=
x
k
+
u
k
otrzymując:
E
=
1
u
i
+
u
j
u
k
u
k
TENSOR ODKSZTAŁ.
SKOŃCZONYCH
EULERA W OPISIE
PRZESTRZENNYM
(2.11)
ij
2
x
x
x
x
j
i
i
j
W zapisie tensorowym:
[] [][] [] []
=
1
[
K
+
K
T
+
K
T
K
]
(2.11)
2
=
W przypadku małych przemieszczeń tensor odkształceń skończonych Lagrange'a i
Eulera przyjują postać:
[ ] [ ]
K
i
,
j
u
i
,
j
l
=
1
u
i
+
u
j
ij
2
X
X
j
i
e
=
1
u
i
+
u
j
gdzie
l
=
e
ij
2
X
X
ij
ij
j
i
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Krawczyk, Łodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper
E
przy czym podobnie jak wyżej:
54622912.002.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin