cwiczenie_9.pdf

Ćwiczenie 9 Zastosowanie metody różnic skończonych do obliczania

płyt zginanych (opracowali M. Kłos Z. Waszczyszyn) wersja dla

studentów

Podstawowe wzory metody różnic skończonych (MRS)

1. Wzory różnicowe dla funkcji jednej zmiennej

Zakładamy, że funkcja 

y jest ciągła tak, że możemy obliczyć jej pochodne

w węźle i na osi zmiennej niezależnej x. Posługujemy się skróconymi oznaczeniami

widocznymi na rys.9.1.

2 x

i-2

X i-1 X i

X i+1

i-2 i-1 i i+1 i+2

D x D x D x D x

Rys.9.1

Funkcję 

f rozwijamy w szereg Taylora w otoczeniu węzła i :

 ...,

 (9.1)



gdzie:

f 

 itd.

 

Przyjmujemy równą odległość węzłów

i 



...



...

, określoną przez

przyrost x

D tak, że





















itd.

Zgodnie ze wzorem (9.1) obliczamy wartości funkcji w węzłach

i 

 :





....



(9.2)











....



Jeżeli odejmiemy stronami zależności (9.2) to otrzymamy wzór na 1-szą pochodną:

f (9.3)



Stąd otrzymujemy wzór różnicowy

i D



 





(9.4)

W stosunku do ścisłego wzoru analitycznego   i

f 

 wzór różnicowy (9.4)

ma błąd o rzędzie  

 wynikającym z pierwszego z pomijanych wyrazów

f i D

'" x

szeregu Taylora. Należy dodać, że na ogół piszemy znak  zamiast = w (9.4).

Jeśli dodamy stronami zależność (9.2) to otrzymamy wzór różnicowy na drugą

pochodną



(9.5)

W podobny sposób możemy wyprowadzić wzory różnicowe na wyższe pochodne

itd. Istotą tych wzorów jest, że pochodne obliczamy za pomocą wartości

funkcji w sąsiednich węzłach.

2. Wzory różnicowe dla funkcji dwóch zmiennych

W przypadku funkcji 

dziedzina funkcji jest określona na płaszczyźnie 

i węzły otrzymujemy przez przecięcie linii siatki różnicowej. Na rys.9.2 pokazano

siatkę o oczkach prostokątnych

D . W przypadku funkcji 2-ch zmiennych



obliczamy pochodne cząstkowe jako pochodne kierunkowe wzdłuż linii i









  ,

 



x k





(9.6)









  ,

 



x k





k +2

i,k+2

k +1

i-1,k+1 i,k+1 i+1,k+1

i-2,k i-1,k i,k

i+1,k i+2,k

k -1

i-1,k-1 i,k-1 i+1,k-1 i+2,k-1

k -2

i,k-2

D x D x D x D x

Rys.9.2

Wzór (9.5) wykorzystujemy dla obliczenia 2-gich pochodnych cząstkowych.



  ,

i f



 







(9.7)







Pochodną mieszaną liczymy za pomocą wzoru (9.8):











 

   





 



 





 



 



















(9.8)

    .





















Wzory różnicowe można schematycznie przedstawić w postaci tzw. gwiazd

różnicowych . W gwiazdach piszemy wartości współczynników w miejscach

występowania wartości funkcji. Dalej piszemy gwiazdy w odniesieniu do siatki

kwadratowej i ustalonej długości oczka siatki

 . Dla pochodnych rzędu 1 i



x D



2 gwiazdy przyjmują postać:







- 1







i, k



, k

2

i , k



, k

2

- 1

(9.9)





- 2



f - 2



i , k











i, k

- 1







i , k





W podobny sposób dochodzimy do

gwiazd dla laplasjanu i biilaplasjanu:

- 1



- 4

- 8

 2





i, k



 4







- 8

2 0

- 8

(9.10)

3.Wzory różnicowe dla zginanej płyty

Przygotowane wzory różnicowe możemy zastosować do równania płyty



2 



 ,

(9.11)

które za pomocą gwiazdy (9.8b)

 (9.12)

2 



piszemy dla każdego węzła siatki różnicowej na płaszczyźnie środkowej płyty.

Pojawia się przy tym konieczność wprowadzenia węzłów fikcyjnych poza obszarem

płyty. Jeśli ograniczymy się do brzegów podpartych niepodatnie to będziemy mieli

dwa przypadki warunków brzegowych:

a)podparcie przegubowe, b) podparcie utwierdzone

w n ę t r z e

b - 1

b + 1

b - 1

b + 1

p ły t y

b - 1

b + 1

b - 1

b + 1

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: