TOTOLOTEK - Szanse Wygrania a Systemy Gry.pdf - MATEMATYKA I GEOMETRIA - Co nieco - moderator132

TOTOLOTEK - Szanse Wygrania a

Systemy Gry

Interesujesz się grami losowymi takimi jak Totolotek? Czy wiesz jakie jest

prawdopodobieństwo Twojej wygranej? Czy "systemy gry" sprawdzają się? O tym

przeczytasz właśnie tutaj.

Szanse wygrania

w totolotku

( Duży Lotek i Multi Lotek )

K. M. Borkowski

Nie należę do namiętnych graczy, ani nie jestem zajadłym przeciwnikiem gier losowych. Gdy więc

przystępowałem do przedstawionej tu analizy, nie było moim zamiarem zachęcać nikogo do grania, ani

też nie chodziło mi o zniechęcanie. Niektórzy z moich przyjaciół grając stosują rozmaite metody w

celu zmaksymalizowania szansy wygranej. Obiektywna ocena szansy wygranej w Multi Lotka jawiła

mi się całkiem ciekawym zagadnieniem kombinatorycznym, a wyniki przeprowadzonych analiz

okazały się bardziej interesujące, niż mógłbym się spodziewać, dlatego postanowiłem podzielić się

nimi na szerokim polu internetu.

Niezależnie od wspomnianej postawy niezaangażowania oraz wyników tej analizy, mam

świadomość, że gry typu totolotka dają pieniądz raczej brudny przez to, że wygrane sumy pochodzą z

kieszeni często dość biednych ludzi oszukiwanych pokusą łatwego zbogacenia się. Grywam więc

bardzo rzadko (w tym względzie jednak podoba mi się podejście Bastiana ) .

Być może gracze zdają sobie sprawę z tego, że obietnicą wysokich wygranych są wciągani do w

istocie nie całkiem uczciwej gry. Podejrzewam jednak, iż niewielu z nich domyśla się nawet, że

zasadniczo wszyscy, przystępując do gry np. w lotka (Dużego albo Multi Lotka), automatycznie płacą

ok. 60 % wydawanych pieniędzy na inne cele niż pula wygranych. Szacunek tzw. nadziei

matematycznej (albo wartości oczekiwanej) wskazuje bowiem na tak właśnie niekorzystny bilans

wygranych w stosunku do wpłat.

Przy analizie szans w Multi Lotku odkryłem, że dwa z polskich internetowych portali

(reprezentujące firmy handlujące własnym oprogramowaniem) dla zwiększenia zysków w perfidny

sposób zachęcają graczy do stosowania systemów, które prowadzą do praktycznie pewnych i wysokich

przegranych.

Na końcu podsuwam graczom kilka użytecznych rad.

Duży Lotek i jego odmiany

Zakładając, że wylosowanie każdego numeru spośród N liczb (np. któregoś z 49 w totolotku)

w grze liczbowej jest tak samo prawdopodobne (np. z szansą 1 do 49), możemy stosunkowo

łatwo obliczyć szansę zdobycia głównej i niższych stopni wygranych przy zadanej liczbie

sKreśleń (typowań), K. Należy mianowicie obliczyć liczbę możliwych skreśleń dających

spodziewany efekt czyli wygraną danego stopnia (P) i podzielić ją przez liczbę wszystkich

różnych skreśleń (C). Np., gdyby gra polegała na losowaniu L = 2 liczb z N = 49 i gracz

typowałby tylko jedną liczbę (K = 1), miałby 49 różnych możliwości skreślenia robionego

zakładu. Oczywiście, wśród tych 49-ciu możliwych typowań dwa muszą trafić na liczby

ostatecznie wylosowane, zatem szansę (prawdopodobieństwo) określimy jako 2 trafienia na

49 prób czyli 1:24,5 albo 0,040816. Odwrotność szansy czy też prawdopodobieństwa (w tym

przypadku liczbę 24,5/1 = 24,5) interpretujemy jako średnią liczbę prób (gier), na którą

przypada jedna próba pomyślna (powiemy 'wygrana' lub 'trafienie'); tę liczbę w tym tekście

nazwiemy częstością trafień i oznaczymy przez I.

Szanse wyglądałyby podobnie, gdyby w rozważanej grze losowano L = 1 liczbę, a gracz

skreślałby dwie (K =2). W takiej wersji gry bowiem możliwa liczba zrobienia różnych

zakładów wyniosłaby 49·48/2 = 49·24 (gdyż przy każdej jednej skreślonej liczbie mamy

jeszcze 48 możliwości skreślenia drugiej, jednak co druga z wszystkich tego rodzaju

kombinacji skreśleń będzie taka sama, ponieważ np. skreślenie najpierw 1 a potem 2 nie różni

się od skreślenia najpierw 2 a potem 1). Nietrudno zauważyć, że wśród tych 49·24 możliwych

typowań musi być 48 trafnych, czyli szansa wynosi 48:(49·24) = 1:24,5. Ta równość szans

wyraża ciekawy fakt, że w rachunku prawdopodobieństwa liczby L i K możemy traktować

zamiennie, tzn. zamiast maszyny losującej mógłby występować świadomie wybierający

numery gracz, a w charakterze gracza — maszyna skreślająca losowo. Statystycznie rzecz

traktując, efekty końcowe (częstości trafień) w obu wersjach gry byłyby takie same.

Z działu matematyki zwanego kombinatoryką wiadomo, że w ogólności ze zbioru N różnych

obiektów (numerów w grze) można złożyć następującą liczbę różnych podzbiorów

(kombinacji) zawierających K różnych obiektów (liczb skreślanych w grze):

C(N,K) = ( N

(N – K)! K! ,

(1)

gdzie symbol n! (n-silnia) jest skrótowym zapisem wyrażenia n·(n–1)·(n–2)·...·2·1, przy czym

1! = 0! = 1.

W przytoczonym prostym przykładzie mieliśmy 49 kombinacji po jednej liczbie, co jest

oczywiście równe C(49,1) = 49!/[(49 – 1)!·1!] = 49. Jeśli jednak losuje się 6 liczb, istnieje już

dużo więcej możliwych wyników: C(49,6) = 49!/(43!·6!) = 49·48·47·46·45·44/(6·5·4·3·2·1) =

13983816. Gdy w tym przypadku gracz typuje 6 liczb, może to zrobić także na tyle

sposobów, tj. C(49,6). Ponieważ wszystkie kombinacje są różne, wśród nich tylko jedna może

być pomyślna [P(49,6,6) = 1], zatem szansa trafienia wynosi P(49,6,6):C(49,6) czyli

1:13983816. To prawdopodobieństwo jest zgrubsza tak małe, jak to, że moneta rzucona 24

razy spadnie 24 razy z rzędu tak samo, tj. tylko reszką albo tylko orzełkiem do góry (ściślej,

dla monety prawdopodobieństwo to wynosi: 1:2 24 = 1:16777216).

K ) =

Szanse trafienia '5' będą większe proporcjonalnie do liczby możliwych sposobów trafienia

piątki czyli do liczby kombinacji pięciu trafień w sześciu wylosowanych, C(6,5) = 6!/(1!·5!) =

6. Każdej z tych kombinacji jedno 'pudło' wśród liczb niewylosowanych może towarzyszyć

na C(49–6,1) = 43!/(42!·1!) = 43 sposoby. Pięć trafnych można więc uzyskać w 6

skreśleniach na 6 sposobów, ale każdy z tych sposobów może wystąpić przy jednym z 43

niewylosowanych numerów, na który padnie nasz nietrafny typ. Razem jest zatem P(49,6,5) =

C(6,5)·C(43,1) = 6·43 = 258 sprzyjających kombinacji trafienia piątki, co daje

prawdopodobieństwo 1:13983816/258 trafienia '5' w totolotka (Dużego Lotka).

Analogicznym rozumowaniem możemy wyznaczyć liczbę sprzyjających kombinacji dla

dowolnej liczby trafień, j:

P(49,6,j) = C(6,j)·C(43,6–j) .

Wszystkie możliwości trafień w Dużym Lotku i kilku jego odmianach zawiera ta tabelka:

Tab. 1: Liczba gier czy zakładów I(j), na jaką przypada średnio jedna wygrana z j trafieniami

j 6 5 4 3 2 1 Gra

C(49,6)/P(49,6,j) 13983816 54201 1032,4 56,656 7,5541 2,4212 Duży Lotek

C(35,5)/P(35,5,j) — 324632 2164,2 74,628 7,9959 2,3691 Mały Lotek

C(42,5)/P(42,5,j) — 850668 4598,2 127,728 10,9481 2,5760 Express L.

C(45,5)/P(45,5,j) — 1221759 6108,8 156,636 12,3660 2,6737 Zakł. Specj.

C(45,4)/P(45,4,j) — — 148995 908,506 30,2835 3,4943 Twój Szczęś-

Wygrana stopnia (6 – j) 5363820 153252 32706,2 934,463 36,040 liwy Numerek

Prawdopodobieństwo przegranej

Dla gracza może być również interesująca odpowiedź na pytanie jak często może się

spodziewać zera trafień lub braku wygranej. Liczbę kombinacji odpowiadających zeru trafień

można łatwo obliczyć jako C(N–K,K), ale zastosujemy procedurę słuszną w obu przypadkach.

Mianowicie, należy zsumować prawdopodobieństwa zdarzeń składających się na sytuację

przeciwną [tzn. np. w oparciu o Tab. 1 zsumować wielkości 1/I(j) dla wszystkich j, przy

których otrzymuje się nagrody] i sumę odjąć od jedności. Np., w Dużym Lotku suma

odwrotności I od j = 1 do j = 6 wynosi 0,564035 czyli

1 – 1/2,2938 = 1 – C(43,6)/13983816,

co znaczy że w tej grze obędziemy się bez żadnego trafienia średnio tylko raz na ok. 2,3

zakłady (lub 10 razy w 23 grach), ale jakąś wygraną (j od 3 do 6) zdobędziemy jedynie raz

na ok. 57 zagrań . Podobny rachunek dla Ekspress Lotka wskazuje, że całkowicie spudłujemy

tu raz na

C(42,5)/C(37,5) = 850668/435897 = 1,95

gier, zaś przegrywamy aż 123 razy na ok. 124 niezależne zagrania . Jak widać, w obu tych

grach o częstości przegrywania czy wygrywania decyduje zasadniczo częstość trafiania w

trójkę, bo wyższe wygrane trafiają się znacznie rzadziej.

Uwagi do Tab. 1: Dla piątki premiowanej , występującej w niektórych grach typu 6/49,

prawdopodobieństwo trafienia obliczamy jako 6:13983816 = 1:2330636, gdyż przy pięciu

normalnych trafnych numer premiowy może przypaść na każdą z sześciu typowanych liczb.

Inaczej mówiąc, wsród C(49,6) kombinacji możliwych do wytypowania istnieje tylko 6

pomyślnych, na jakie może paść piątka premiowana. W obecności numeru premiowego nieco

inaczej wyglądają też szanse na trafienie zwykłej piątki, która wygrywa teraz średnio raz na

13983816/(42·6) = 55491,3 prób. Taką wartość Eureka, 'największy i najlepszy' krajowy

portal lotto (tak się reklamuje, ale jak wynika z dalszej analizy , jest to raczej największy

naciągacz ), podaje błędnie jako szansę trafienia zwykłej piątki w Dużym Lotku.

W Twoim Szczęśliwym Numerku losuje się cztery liczby z 45 i osobno jedną z 36. W

tabelce ( Tab. 1 ) w pierwszym wierszu dla tej gry podane są tylko szanse trafienia numerów z

pierwszej części losowania. Liczby dla j = 4 i j = 3 wyrażają więc w przybliżeniu szansę

wygranych II i IV stopnia, odpowiednio. Ścisłe wartości otrzymamy mnożąc te

prawdopodobieństwa przez prawdopodobieństwo nietrafienia w wylosowaną pojedynczą

liczbę w drugim losowaniu, które wynosi 35:36 czyli 1/(36/35). Stąd dokładniejsze oceny

szans na nagrody II i IV stopnia kształtują się jak jeden do 148995·36/35 = 153252 i do

908,506·36/35 = 934,463, odpowiednio. W drugim losowaniu prawdopodobieństwo trafienia

wynosi 1:36, co też jest bliskie szansie wygranej V stopnia, ale poprawny stosunek

otrzymamy mnożąc je przez łączne prawdopodobieństwo, że w pierwszym losowaniu nie

będzie ani 4-ki, ani 3-ki, czyli przez 1 – (1/148995 + 1/908,506) = 1/1,0011086. Tak więc

szanse na wygraną V stopnia mają się jak 1:(36·1,0011086) = 1:36,04. Prawdopodobieństwo

wygranej I i III stopnia (4+1 i 3+1 trafień) jest 35 razy mniejsze od prawdopodobieństw dla

wygranych II i IV stopnia (czyli 36 razy gorzej niż podpowiadają liczby C(45,4)/P(45,4,j) dla

j = 4 i j = 3 w tabelce ), konkretnie: 1 do 5363820 i do 32706, odpowiednio.

Teoria a praktyka

Czy obliczone w powyższy sposób prawdopodobieństwa albo szanse rzeczywiście mają coś

wspólnego z praktyką codzienną? Poniższe przykłady ad hoc nie mogą pretendować do

stanowienia solidnych argumentów, ze względu na wyrywkowość, ale już z nich widać, że w

tym wypadku względnie prosta matematyka (kombinatoryka) ma dużo do powiedzenia.

Tab. 2: Przykłady ogólnokrajowych wyników gier w Dużego Lotka.

j Losowanie z 7.01.2004

(1 17 19 29 35 40)

Losowanie z 14.01.2004

(8 19 30 31 37 43)

31.12.2003 – 14.01.2004

(5 losowań)

R-

351

20127

372701

1,5

390

20453

372701

21115748

3317563,50

4508,30

103,10

10,00

14019644

106

6511

126878

0,5

133

6963

126878

7188400

5653,20

142,50

10,00

2795836

1172

59333

1091933

4,4

1141

59923

1091933

61864556

2680168,93

3941,50

101,40

10,00

29595800

Z pięciu kolejnych losowań na przełomie lat 2003 i 2004 (takimi tylko wynikami

dysponowała jedna z toruńskich kolektur, którą odwiedziłem 17 stycznia 2004 r.) w Tabeli 2

widnieją jedynie wyniki z największą i najmniejszą liczbą wygranych trójek oraz wartości

zbiorcze wszystkich pięciu losowań. W wierszu 'R-m:' kolorem zielonym zaznaczono ocenę

liczby zakładów jako liczbę trójek (j = 3) pomnożoną przez oczekiwaną częstość trafiania

trójki [I(3) z Tab. 1 ] , 56,656. Przykładowo, 21115748 to zaokrąglone 372701·56,656. Z tej

oceny zostały z kolei wyliczone spodziewane liczby wygranych pierwszego, drugiego i

trzeciego stopnia (tj. dla j równego 6, 5 i 4) przez podzielenie jej przez odpowiednie częstości

I(j) z Tabeli 1 . Również te obliczenia, zamieszczone w Tabeli 2 w środkowej kolumnie

danego losowania, zostały wyróżnione kolorem zielonym.

Warto zwrócić uwagę na zgodność liczby spodziewanych wygranych (kolor zielony) z

faktycznie wygranymi (w kolumnie z lewej strony tych pierwszych), która jest lepsza przy

większych częstościach (przy 4-kach błąd wynosi tylko kilka procent, znacznie lepiej niż dla

wygranych wyższego stopnia) i większej statystyce (liczbie zakładów). W przypadku

statystyki sumarycznej z pięciu zakładów ocena nawet liczby piątek różni się już zaledwie o

ok. 3 % od wartości rzeczywistej. Niewątpliwie więc dużo, dużo lepszej zgodności

moglibyśmy oczekiwać w analizach statystyk np. z całego roku.

Drugi ważny wniosek, obok zadowalającej zgodności naszej predykcji z wynikami gier,

dotyczy sumy pieniędzy przeznaczanych na wypłaty nagród. Obliczona tutaj z sumy

iloczynów faktycznej liczby wygranych i odpowiedniej wysokości nagrody (podanych z

prawej strony kolumny 'zielonej'), wynosi w przybliżeniu 50 % wpłat graczy (wpłaty te

sprowadzają się do 'zielonej' liczby złotówek podanej w wierszu 'R-m:' przyjmując, że wpływ

z jednego zakładu to 1 zł).

Gry systemem

W Dużym Lotku i Express Lotku istnieje możliwość robienia zakładów systemowych.

Zakłady takie dają graczowi swobodę skreślenia dodatkowych liczb ponad 6 i 5 — aż do 12-

tu. Zauważamy od razu, że np. skreślenie 7-mej liczby w jednym zakładzie w Dużym Lotku

jest równoważne C(7,6) = 7 zakładom zwykłym, w których występuje tylko te 7 liczb w

różnych kombinacjach po 6 liczb. W ogólności, jeśli skreślamy dodatkowo k liczb w

zakładzie gry z losowaniem K liczb, to jest to równoważne złożeniu C(K+k,K) zakładów

zwykłych, w których wykorzystaliśmy wszystkie kombinacje po K liczb z obranego zestawu

K + k liczb. Tak więc proporcjonalnie do tej liczby C(K+k,K) rosną nasze szanse wygrania

najwyższej nagrody (ale również w takiej samej proporcji rośnie opłata za jeden zakład).

Mówi się, że dodatkową korzyścią gry systemem jest to, że jeśli szczęście nam dopisze i

uzyskamy wygraną pewnego stopnia, to automatycznie mamy zapewnione przynajmniej kilka

wygranych niższego stopnia (lub stopni, oczywiście, o ile taki czy takie istnieją). Dzieje sie

tak z tej prostej racji, że systemowe zakłady gwarantują wszystkie możliwe kombinacje

skreślanych liczb po K liczb. Nietrudno zauważyć, że zakład K + k skreślanych liczb zawiera

C(K+k–M,K–M) kombinacji M trafionych liczb. Np., jeśli skreślając w Dużym Lotku 12

liczb [co odpowiada C(12,6) = 924 zakładom zwykłym] trafimy w trójkę, to wystąpi ona w

tych C(12,6) kombinacjach C(12–3,6–3) = 84 razy. Szczegółowe tabele takich i innych

wielokrotności udostępniają kolektury. Jednakże za mówieniem w tym kontekście tylko o

'dodatkowej korzyści' kryje się także małe oszustwo, o ile nie wyjawi się grającemu, że

ta korzyść łączy się z wymierną stratą na szansach. Wprawdzie maleńkie (dotyczące więc

naprawdę nielicznych graczy) prawdopodobieństwo trafienia K numerów rośnie, jak

pisaliśmy, proporcjonalnie do ceny zakładu, ale nie dotyczy to wygranych niższych stopni,

gdyż np. każda trójka w zakładzie 12-skreśleniowym zawsze występuje aż 84 razy, co

TOTOLOTEK - Szanse Wygrania a Systemy Gry.pdf

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: