wyklad03.pdf

WykÃlad3

Posta´ctrygonometrycznaliczbyzespolonej

Niech z b , edzieniezerow , aliczb , azespolon , a.W´owczasistniej , aliczbyrzeczywiste a , b ,takie,˙ze

z = a + bi (1)

a 2 + b 2 .Oznaczmyprzez Á miar , ek , ataskierowanego

jakitworzywektor ~ Oz zosi , a OX worientacjipÃlaszczyznyprzeciwnejdoruch´owwskaz´owek

zegara.Wtedymamy,˙ze Á2 [0 , 2 ¼ )oraz

p a 2 + b 2

sin Á = b

. (2)

p a 2 + b 2

Otrzymujemyst , adwz´or

z = |z| (cos Á + i sin Á ) , (3)

kt´orynazywamy postaci , atrygonometryczn , a liczbyzespolonej z .Liczb , e Á nazywamy argu-

mentemgÃl´ownym liczby z ioznaczamyprzez Arg ( z ).Natomiastka˙zd , aliczb , erzeczywist , a

® = Á +2 k¼ dlacaÃlkowitych k nazywamy argumentem liczby z ioznaczamyprzezarg( z ).

Oczywi´sciedlatakich ® mamy,˙ze z = |z| (cos ® + i sin ® ).Mo˙zemywi , ecnapisa´cwz´or

z = |z| [cosarg( z )+ i sinarg( z )] . (4)

sin 2 ¯ +cos 2 ¯ = r ,sk , ad

cos ¯ =cos Á orazsin ¯ =sin Á ,wi , ecztrygonometriimamy,˙zeistniejeliczbacaÃlkowita k taka,

˙ze ¯ = Á +2 k¼ .

Dlaniezerowychliczbzespolonych z , w r´owno´s´carg( z )=arg( w )b , edziemydalejrozumieliw

tenspos´ob,˙zeliczbyarg( z )iarg( w )r´o˙zni , asi , ejedynieocaÃlkowit , awielokrotno´s´cliczby2 ¼ .

WÃlasno´sciargumentuliczbyzespolonej

1.Dladowolnychniezerowychliczbzespolonych z 1 ,z 2 ,...,z n zachodziwz´or:

arg( z 1 ·z 2 ·...·z n )=arg( z 1 )+arg( z 2 )+ ... +arg( z n ) . (5)

Dow´od.Stosujemyindukcj , ewzgl , edem n .Dla n =2oznaczmyarg( z 1 )= ® ,arg( z 2 )= ¯ .

Wtedy z 1 = |z 1 | (cos ® + i sin ® )oraz z 2 = |z 2 | (cos ¯ + i sin ¯ ).Zatem z 1 ·z 2 = |z 1 |·|z 2 | (cos ®·

cos ¯− sin ®· sin ¯ + i (cos ®· sin ¯ +cos ¯· sin ® ))= |z 1 |·|z 2 | [cos( ® + ¯ )+ i sin( ® + ¯ )],namocy

znanychwzor´owtrygonometrycznych.St , adrzeczywi´sciearg( z 1 ·z 2 )=arg( z 1 )+arg( z 2 )iwz´or

(5)zachodzidla n =2.

Niechterazwz´or(5)zachodzidlapewnejliczbynaturalnej n¸ 2.We´zmydowolneniezerowe

liczbyzespolone z 1 ,...,z n ,z n +1 .W´owczaszpierwszejcz , e´scidowoduizzaÃlo˙zeniaindukcyjnego

oraz a6 =0lub b6 =0.Liczb , e z mo˙zemyt raktowa ´cjakopunkt( a,b )pÃlaszczyzny,kt´oregood-

legÃlo´s´codpunktu(0 , 0)jestr´owna |z| =

cos Á = a

Naodwr´ot,niech r b , edziedodatni , aliczb , arzeczywist , ainiech ¯ b , edzi eliczb , arzeczy wist , atak , a,

˙ze z = r (cos ¯ + i sin ¯ ).W´owczas |z| = |r|·| cos ¯ + i sin ¯| = r·

otrzymamy,˙zearg( z 1 ·...·z n ·z n +1 )=arg(( z 1 ·...·z n ) ·z n +1 )=arg( z 1 ·...·z n )+arg( z n +1 )=

arg( z 1 )+ ... +arg( z n )+arg( z n +1 ),czyliwz´or(5)zachodzidla n +1.

Zatemnamocyzasadyindukcjiwz´or(5)zachodzidladowolnegonaturalnego n¸ 2.

2.Podstawiaj , ac z 1 = z 2 = ... = z n =cos ® + i sin ® wewzorze(5)iwykorzystuj , ac(4)

uzyskujemynatychmiasttzw.wz´ordeMoivre’a:

(cos ® + i sin ® ) n =cos n® + i sin n® dla n =1 , 2 , 3 ,.... (6)

3.Dladowolnychniezerowychliczbzespolonych z , w zachodziwz´or:

arg

³ z

=arg( z ) − arg( w ) . (7)

¢ ,sk , admamytez , e.

4.Dladowolnejniezerowejliczbyzespolonej z mamy,˙ze

µ 1

arg( z )=arg

= − arg( z ) . (8)

Dow´od.Zauwa˙zmy,˙ze0jestargumentemdowolnejdodatniejliczbyrzeczywistej.Ponadto

z·z = |z| 2 ,wi , eczewzoru(5):0=arg( z·z )=arg( z )+arg( z ),sk , adarg( z )= − arg( z ).

¢ =arg(1) − arg( z )=0 − arg( z )= − arg( z ).Zatemwz´or(8)jest

udowodniony.

5.Dladowolnejniezerowejliczbyzespolonej z zachodziw´or:

arg( −z )= ¼ +arg( z ) . (9)

Dow´od.Zauwa˙zmy,˙ze ¼ jestargumentemliczby(-1),wi , eczewzoru(5)arg( −z )=arg( − 1)+

arg( z )= ¼ +arg( z ).

Zadanie1.Pokaza´c,˙zedladowolnejniezerowejliczbyzespolonej z :

(a)arg( −z )= ¼− arg( z ),(b)arg( iz )= ¼ 2 +arg( z ).

Interpretacjageometrycznamno˙zenialiczbzespolonych

Zewzoru(5)otrzymujemynatychmiast,˙zeabypomno˙zy´cniezeroweliczbyzespolonenale˙zy

pomno˙zy´cichmoduÃlyidoda´cichargumenty.Niech z 0 b , edzieustalon , aniezerow , aliczb , aze-

spolon , a.W´owczaszewzoru(5)dla n =2wynika,˙zeprzeksztaÃlcenie z7!z 0 ·z dlazespolonych

z jestzÃlo˙zeniemobrotuok , atomierze Arg ( z 0 )ijednokÃladno´scio´srodku O iskali |z 0 | .

Pierwiastkowanieliczbzespolonych

Niech n b , edziedowoln , aliczb , anaturaln , a.Pierwiastkiem n -tegostopniazliczbyzespolonej

z nazywamyka˙zd , atak , aliczb , ezespolon , a ! ,˙ze ! 2 = z . ÃLatwozauwa˙zy´c,˙zejedynympier-

wiastkiem n -tegostopniazliczby0jest0.Dlaniezerowychliczbzespolonychzachodzinatomiast

nast , epuj , ace

arg( w )+arg ¡ z w

Dow´od.Poniewa˙z z = w· z w ,wi , eczewzoru(5)(dla n =2)uzyskujemy,˙zearg( z )=

Ponadtozewzoru(7):arg ¡ 1 z

Twierdzenie.Je´sli z jestniezerow , aliczb , azespolon , aoraz z = |z| (cos Á + i sin Á ),toistnieje

dokÃladnie n r´o˙znychpierwiastk´ow n -tegostopniazliczby z iwszystkietepierwiastkidaj , asi , e

uj , a´cwzorem

! k = n p

cos Á +2 k¼

n + i sin Á +2 k¼

|z|

,k =0 , 1 ,...,n− 1 . (10)

n =2 t¼ ,sk , ad k−l = t·n .Ale −n<k−l<n ,wi , ec t =0i k = l .Zatem

liczby(10)s , aparamir´o˙zne.

Niechteraz ! b , edziepierwiastkiem n -tegostopniazliczby z .Poniewa˙z z6 =0,wi , ecte˙z !6 =0.

Zatemistniejeliczbarzeczywista ® taka,˙ze ! = |!| (cos ® + i sin ® ).St , adzewzorudeMoivre’a

mamy,˙ze z = ! n = |!| n (cos n® + i sin n® ).Zatem |!| n = |z| oraz n® = Á +2 s¼ dlapewnego

caÃlkowitego s .Dziel , ac s przez n zreszt , auzyskamy,˙zeistniejeliczbacaÃlkowita q iistnieje

k2{ 0 , 1 ,...,n− 1 } takie,˙ze s = qn + k .Zatem ® = Á +2 k¼

n − Á +2 l¼

n +2 q¼ ,sk , adwynika,˙ze ! = ! k .

Ko´nczytodow´odnaszegotwierdzenia.

Pierwiastkipierwotnezjedno´sci

Niech n b , edzieustalon , aliczb , anaturaln , a.Poniewa˙z1=cos0+ i sin0,wi , eczewzoru(10)

otrzymujemy n r´o˙znychpierwiastk´ow n -tegostopniaz1:

n , dla k =0 , 1 ,...,n− 1 . (11)

Zatemzbi´or C n = {z2C : z n =1 } posiadadokÃladnie n element´oworaz

² k =cos 2 k¼

n + i sin 2 k¼

n : k =0 , 1 ,...,n− 1 }. (12)

Liczb , ezespolon , a ! nazywamy pierwiastkiempierwotnymn-tegostopniazjedno´sci ,je˙zeli ! n =1

oraznieistniejeliczbanaturalna m<n taka,˙ze ! m =1.

Twierdzenie.Dlaliczbyzespolonej ! nast , epuj , acewarunkis , ar´ownowa˙zne:

(i) ! jestpierwiastkiempierwotnym n -tegostopniazjedno´sci;

(ii) ! = ² k dlapewnego k wzgl , edniepierwszegozliczb , a n ;

(iii) C n = { 1 ,!,! 2 ,...,! n− 1 } .

Dow´od.(i) ) (ii).ZaÃl´o˙zmy,˙ze ! jestpierwiastkiempierwotnym n -tegostopniazjedno´sci.

Zatem ! n =1oraz ! s 6 =1dlawszystkichliczbnaturalnych s<n .Ponadtoistnieje k2

{ 0 , 1 ,...,n− 1 } takie,˙ze ! = ² k .ZaÃl´o˙zmy,˙zeliczby k i n nies , awzgl , edniepierwsze.W´owczas

istniejeliczbanaturalna d> 1orazistniej , aliczbycaÃlkowite l i m> 0takie,˙ze k = dl oraz

n = dm .St , ad m jestliczb , anaturaln , amniejsz , aod n orazzewzorudeMoivre’a ! m =cos 2 km¼

C n = { cos 2 k¼

n + i sin 2 k¼

n +

dm =cos(2 l¼ )+ i sin(2 l¼ )=1imamysprzeczno´s´c.

(ii) ) (iii).ZaÃl´o˙zmy,˙ze ! = ² k dlapewnego k2{ 0 , 1 ,...,n− 1 } wzgl , edniepierwszegozliczb , a

n .Wtedy ! n =1,sk , addlacaÃlkowitych t :( ! t ) n =( ! n ) t =1 t =1.Zatem { 1 ,!,! 2 ,...,! n− 1 }µ

dm + i sin 2 ldm¼

Dow´od.ZewzorudeMoivre’adla k =0 , 1 ,...,n− 1mamy,˙ze ! n k = |z| [cos( Á +2 k¼ )+

i sin( Á +2 k¼ )]= |z| (cos Á + i sin Á )= z ,wi , ecliczby(10)s , apierwiastkami n -tegostopniazliczby

z .Niechteraz k,l2{ 0 , 1 ,...,n− 1 } b , ed , atakie,˙ze ! k = ! l .W´owczasistniejeliczbacaÃlkowita

t taka,˙ze Á +2 k¼

i sin 2 km¼

n =cos 2 ldm¼

C n .Wystarczyzatemwykaza´c,˙zeliczby1 ,!,! 2 ,...,! n− 1 s , aparamir´o˙zne.zaÃl´o˙zmy,˙ze

takniejest.W´owczasistniej , a p,q2{ 0 , 1 ,...,n− 1 } takie,˙ze p>q oraz ! p = ! q .St , ad

1= ! p−q = ² p−q

n namocywzorudeMoivre’a.Zatemistniejeliczba

caÃlkowita s taka,˙ze 2 k ( p−q ) ¼

n =2 s¼ ,sk , ad n|k ( p−q ).Aleliczby n i k s , awzgl , edniepierwsze,wi , ec

zzasadniczegotwierdzeniaarytmetyki n|p−q .Ponadto p−q jestliczb , anaturaln , amniejsz , aod

n ,wi , ecmamysprzeczno´s´c.

(iii) ) (i).ZaÃl´o˙zmy,˙ze C n = { 1 ,!,! 2 ,...,! n− 1 } .Poniewa˙zzbi´or C n madokÃladnie n el-

ement´ow,wi , ecliczby1 ,!,! 2 ,...,! n− 1 s , aparamir´o˙zne,sk , ad ! m 6 =1dlaliczbnaturalnych

m<n oraz ! n =1.Zatem ! jestpierwiastkiempierwotnym n -tegostopniazjedno´sci.

Zpowy˙zszegotwierdzeniawynikaodrazunast , epuj , acy

Wniosek.Dla k2{ 0 , 1 ,...,n− 1 } liczba ² k jestpierwiastkiempierwotnym n -tegostopnia

zjedno´sciwtedyitylkowtedy,gdyliczby k i n s , awzgl , edniepierwsze.

ZasadniczeTwierdzenieAlgebry.Dladowolnejliczbynaturalnej n idladowolnychliczb

zespolonych a 0 ,a 1 ,...,a n takich,˙ze a n 6 =0r´ownaniealgebraiczne

a n z n + a n− 1 z n− 1 + ... + a 1 z + a 0 =0

posiadapierwiastekzespolony.

Dow´odtegotwierdzeniajestdÃlugi(zostaniepodanydopieronadrugimroku).

k =cos 2 k ( p−q ) ¼

n + i sin 2 k ( p−q )

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: