Podstawy fizyki kwantowej - zadania z rozwiązaniami.pdf - e-booki naukowe - nemezisss

Rozwi¡zania zada« z podstaw zyki kwantowej

Jacek Izdebski

5 stycznia 2002 roku

Zadanie 1

Funkcja falowa (x) = A n sin( 2 L x) jest zdeniowana jedynie w obszarze

0 <= x <= L. Skorzystaj z warunku normalizacji do obliczenia staªej A n .

Rozwi¡zanie

Warunek normalizacji mówi o tym, »e caªka kwadratu moduªu funkcji fa-

lowej po caªej przestrzeni jest równa 1. Tutaj warunek b¦dzie miaª posta¢

nast¦puj¡c¡.

L x

A n sin 2

dx = 1

L x

A n

sin 2

dx = 1

wykonamy zamian¦ zmiennych niech u =

L x wtedy

A n L

sin 2 (u)du = 1

Obliczaj¡c caªk¦ dostajemy 1

2 sin u cos u + 1

sin 2 (u)du =

2 u

= n

Podstawiaj¡c wynik do warunku normalizacji otrzymamy

A n L

= 1

co daje ostatecznie

A n =

1 Caªk¦ mo»na spisa¢ z tablic lub, je±li kto± chce, obliczy¢ metod¡ "przez cz¦±ci".

Zadanie 2

jest rozwi¡zaniem równania

Schrodingera. Czy funkcja + jest te» rozwi¡zaniem?

h (pxEt)

Rozwi¡zanie

(x;t) = Ae i h (pxEt)

warto zauwa»y¢, »e

(x;t) = Ae i h px e i h Et

czyli

(x;t) = (x)e i h Et

Funkcja falowa daªa si¦ rozªo»y¢ na dwia czynniki, z których jeden zale»y

wyª¡cznie od poªo»enia a drugi tylko od czasu. Je±li wykonamy teraz pod-

stawienie do równania Schrodingera

h 2

2m r 2 (x;t) + U(x;t) = ih @ (x;t)

wi¦c

h 2

2m e i h Et r 2 (x) + U (x)e i h Et = ih (x)

i E

e i h Et

dziel¡c stronami przez e i h Et otrzymamy

h 2

2m r 2 (x) + U (x) = E (x)

Równanie to jest nazywane równaniem Schrodingera bez czasu i dotyczy

przypadków stacjonarnych tzn. takich gdzie potencjaª U nie zale»y od czasu. 2

Dajej pisz¡c o równaniu Schrodingera b¦d¦ miaª na my±li wªa±nie równanie

S. bez czasu. Podstawiaj¡c do tego równania jawnie funkcj¦

(x) = Ae i h px

p 2

2m + U = E

2 Wtedy funkcj¦ falowo¡ daje si¦ rozªo»y¢ na dwa czynniki, z których jeden zale»y tylko

od poªo»enia a drugi tylko od czasu.

Udowodnij, »e (x;t) = A exp

dostajemy

Pomi¦dzy energi¡ kinetyczn¡ i p¦dem w zyce nierelatywistycznej zachodzi

zwi¡zek

E k = mv 2

2 = p 2

wi¦c Równanie ma sens, dostali±my sum¦ energii potencjalnej i kinetycznej

równ¡ caªkowitej energii cz¡stki, co jest prawd¡.

Jak ªatwo obliczy¢ funkcja = + ma posta¢

= 2A cos

h (pxEt)

po obliczeniach dostajemy

co, podobnie jak poprzednio, mo»na podstawi¢ do równania Schrodingera.

Otrzymamy wtedy

h 2

2m r 2 = p 2

p 2

2m + U

= E

Lewa strona jest sum¡ energii kinetycznej i potencjalnej a prawa jest caªko-

wit¡ energi¡ cz¡stki. Wynika z tego, »e lewa strona jest równa prawej czyli

funkcja = + równie» speªnia równanie Schrodingera.

Zadanie 3

Zbadaj, czy (x;t) = A sin(kx!t) jest rozwi¡zaniem równania Schrodingera?

Rozwi¡zanie

Funkcj¦ mo»na wyrazi¢ te» wykorzystuj¡c zwi¡zki

E = h!

oraz

p = hk

Wtedy przybierze posta¢

= A sin

h (pxEt)

Pozostaªo ju» tylko podstawienie do równania

h 2

2m r 2 + U = E

i, podobnie jak w poprzednim zadaniu otrzymamy

p 2

2m + U

= E

Ostatecznie mo»emy wi¦c stwierdzi¢, »e funkcja speªnia równanie Schrodingera.

Zadanie 4

Wyznacz dozwolone warto±ci energii i funkcje falowe cz¡stki o masie m znaj-

duj¡cej si¦ w niesko«czenie gª¦bokiej, prostok¡tnej studni potencjaªu o sze-

roko±ci L.

Rozwi¡zanie

Sposobów rozwi¡zania jest kilka. Przedstawi¦ najprostszy. Aby dotyczyª te»

pozostaªych zada« przyjmijmy, »e potencjaª jest nast¦puj¡cy

+1 8x < 0

0 80 < x < L

+1 8x > L

V =

Tam gdzie potencjaª jest niesko«czenie du»y funkcja falowa nie istnieje. W

przedziale zerowego potencjaªu mog¡ wyst¦powa¢ funkcje falowe odpowia-

daj¡ce cz¡stce swobodnej poruszaj¡cej si¦ w prawo oraz cz¡stce swobodnej

poruszaj¡cej si¦ w lewo. Dodatkowo na brzegach studni funkcja falowa musi

znika¢. Potencjaª nie zale»y od czasu wi¦c zrezygnujemy z pisania czªonów

funkcji falowej zale»nych od czasu. Uwzgl¦dniaj¡c to mo»na napisa¢:

(x) = (x) ! + (x)

(0) = 0

(L) = 0

czyli

(x) = Ae ikx + Be ikx

Ae ik0 + Be ik0 = Ae ikL + Be ikL = 0

wynika z tego, »e A + B = 0 wi¦c B = A. Mo»na ju» zapisa¢ jako

(x) = A

e ikx e ikx

Przechodz¡c do zapisu trygonometrycznego ma posta¢

(x) = 2Ai sin(kx)

W sposób naturalny dla (0) = 0 ale trzeba te» pami¦ta¢ o tym, »e (L) = 0

2Ai sin(kL) = 0 8k =

4A 2

sin 2 (kx)dx = 1

po obliczeniu caªki

4A 2 1

2 sin(kx) cos(kx) + 1

2 kx

= 1

2A 2 L = 1

Po uwzgl¦dnieniu warto±ci A oraz k funkcja przybiera posta¢

A =

L sin

L x

(x) = i

Co po uwzgl¦dnieniu czynnika zale»nego od czasu daje peªn¡ funkcj¦ falow¡

(x;t)

L sin

L x

(x;t) = i

e i!t

Dziaªaj¡c hamiltonianem na funkcj¦ falow¡ dostajemy warto±ci energii dla

stanów wªasnych prostok¡tnej niesko«czonej studni kwantowej.

H = E

E jest warto±ci¡ wªasn¡ hamiltonianu, czyli energi¡ cz¡stki. Po podstawieniu

funkcji falowej otrzymamy

h 2

2m r 2 2Ai sin(kx) =

2m k 2 2Ai sin(kx)

czyli

h 2

2m k 2

Energia cz¡stki po uwzgl¦dnieniu warto±ci k wyra»a si¦ wzorem

H =

E =

2mL 2 n 2

gdzie n = 1; 2; 3;:::

Warto zauwa»y¢, »e cz¡stka w studni potencjaªu nie mo»e przyjmowa¢ do-

wolnej energii. Poziomy energetyczne s¡ skwantowane.

L n gdzie n = 1; 2; 3; 4 :::

Funkcj¦ falow¡ trzeba jeszcze unormowa¢:

h 2

h 2 2

Podstawy fizyki kwantowej - zadania z rozwiązaniami.pdf

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: