pochodna 3.pdf

(68 KB) Pobierz
matw10.dvi
10.Zadaniazmatematykiwyższej
1. Obliczyćpochodnefunkcji.
x − 1
x +1
3
f ( x )= x 9 / 4
f ( x )= x 2 / 3 − 7 x − 1 / 3
f ( x )=(4 − 3 x 2 ) 400
f ( x )=
√
f ( x )= z
2 − 7 x 2
f ( t )=sin5 t f ( t )=sin 4 t +cos 4 t g ( x )= tg 6 x
q
√
g ( x )= 3
1 − sin x f ( x )=sin(cos x ) f ( x )= x cos(1 /x ) g ( z )=
2 z − (2 z ) 1 / 3
s
1
cos(tg x )
√
g ( z )=cos 2 (3 z 6 ) f ( x )= 4
f ( x )=ctg 2 (2
3 x +1)
2. Korzystajączewzorów( e x ) ′ = e x oraz(ln x ) ′ =1 /x obliczyćpochodne.
f ( x )=2 x
f ( x )= e x 2
f ( x )=ln( − x ) f ( x )=cosln x f ( x )=log 2 x f ( x )=ln( e x +1)
3. Znaleźć dy/dx.
√
1
x sin x
2 / 3
y =3 x − 2 / 3
y = − x
1+3 x 2
y =
y = tg 31 2 x
4. Załóżmy,że y jestfunkcjąróżniczkowalną zmiennej x. Wyrazićpochodnąpodanychfunkcjiwzględem
x zapomocą x, y oraz dy/dx.
√
q
1
x 2 − xy + y 3
y 5
2 /y sin
y x 3 y 2
x 2 + y 2
5. Znaleźćrównaniestycznejdowykresufunkcjiwpodanympunkcie.
f ( x )=(1+ x 1 / 3 ) 2 / 3 ;( − 8 , 1)
f ( x )=sin
√
x ;( 2 , 0)
6. Funkcje f i g sąróżniczkowalne.Wartościfunkcji f, f ′ , g oraz g ′ wpunktach − 3 , 0 , 1oraz2sąpodane
wtabeli.
x f ( x ) f ′ ( x ) g ( x ) g ′ ( x )
− 3 2 4 6 11
0 1 2
− 3
− 7
1 16
− 3 4 13
√
2
Wyznaczyć( f ◦ g ) ′ ( x )oraz( g ◦ f ) ′ ( x )dlatakiejliczbywartości x najakąpozwalajądanewtabeli.
7. Jeślidwaciałaznajdująsięwodległości r odsiebie,tosiłagrawitacyjna F ( r )wywieranaprzezjedno
ciałonadrugiewyrażasięwzorem
2
− 3 2 0
F ( r )= k
r 2 ,
gdzie k jeststałądodatnią.Załóżmy,żeodległośćpomiędzyciałamijestdanawzorem
r ( t )=64+48 t − 16 t 2
dla0 <t< 3
(a) Znaleźćtempozmianysiłyprzyciąganiawzględemczasu.
(b) Pokazać,że( F ◦ r ) ′ (1)= − ( F ◦ r ) ′ (2) .
8. Balon w kształcie kuli jest pompowany tak, że jego promień rośnie 10 cm na minutę. Znaleźć tempo
zmianyobjętości V balonukorzystajączregułyłańcuchaizewzoru V =(4 / 3) r 3 .
9. Sokjabłkowyjestwlewanydocylindrycznegopojemnikaośrednicy1miwysokości2m.Po t sekundach
poziomsokuwynosi 1 2 t metra.Pokazać,żetempozmianyobjętościsokuwnaczyniujeststałe.
51817773.029.png 51817773.030.png 51817773.031.png 51817773.032.png 51817773.001.png 51817773.002.png 51817773.003.png 51817773.004.png 51817773.005.png 51817773.006.png 51817773.007.png 51817773.008.png 51817773.009.png 51817773.010.png 51817773.011.png 51817773.012.png
10. Obliczyć f ′′ .
f ( x )=5 x − 3 f ( x )=12 x 5 + 1
2 x 4 − √
1 − x f ( x )=
2
(1 − 4 x ) 2
f ( x )= ax − n
q
f ( x )= 1
cos x
√
x 2
f ( x )=ctg x
f ( x )=
1+
x f ( x )=
√
1 − x 2
11. Obliczyć d 2 y/dx 2 .
y = x 3 / 2
y =( x 4 − tg x ) 3
y =sin x +cos x y = 1
x | x |
12. Dla h = fg obliczyć h ′′ zapomocą f, g, f ′ i g ′ .
13. Dla h = g ◦ f obliczyć h ′′ zapomocą f, g, f ′ i g ′ .
14. (a) Jeśli f ′′ ( x )= f ( x )dlawszystkich x, tojakajestrelacjapomiędzy f ′ ( x )a f (4) ( x )?
(b) Jeśli f (4) ( x )= f ( x )dlawszystkich x, tojakajestrelacjapomiędzy f (35) ( x )a f (31) ( x )?
15. Zastosowaćróżniczkowanieniejawnedoobliczeniapochodnej y względem x.
y 2 + y = 1+ x
1 − x
sin y
√
q
x 2 + x 2 y 2 + y 3 =3
y 2 +1 =3 x x 2 + y + e y =1
xy +
x +2 y =4
16. Zastosowaćróżniczkowanieniejawnedoobliczeniapochodnej y względem x wpodanympunkcie.
x 2 + y 2 = y ;(0 , 1) x 2 +3 xy +2 y 2 =6;( − 1 , − 1) sin x =cos y ;( 6 , 3 ) y 2 =sin2 x = − 2 y, ( 4 , − 2)
17. Niech l będzie styczną do astroidy x 2 / 3 + y 2 / 3 = 3 xy w punkcie (2
√
2 ,
√
2) . Znaleźć pole trójkąta
ograniczonegoprzez l iosiewspółrzędnych.
18. Lemniskatamarównanie( x 2 + y 2 ) 2 = x 2 − y 2 . Znaleźćpunktywykresu,wktórychstycznajestrówno
legładoosi OX.
19. Człowiekpchapudłoporampie(patrzrysunek)zprędkością1m/s.Jakszybkopudłoprzesuwasięw
górę?
B
1
B
10 m
2 m
20. Człowiekoddalasięodlatarniidącwkierunkuswegocienia.Źródłoświatłaznajdujesięnawysokości
4,4m.Wzrostczłowiekawynosi1,8m.Wodległości10modlatarnijegoprędkośćwynosi1,2m/s.Z
jakąprędkościąwydłużasięcieńczłowieka?Wskazówka:Wykonaćrysunek.Korzystającztwierdzenia
Talesaznaleźćzwiązekpomiędzydługościącieniaiodległościąodlatarni.
21. Przemianęadiabatycznąpewnegogazuokreślarównanie pV 1 , 4 =10 , gdzie p jestciśnieniemwyrażonym
w atmosferach, a V objętością wyrażoną w metrach sześciennych. W momencie, gdy objętość gazu
wynosiła V =1 m 3 objętość powiększała się wtempie dV/dt =0 , 02 m 3 /s. W jakim tempie spadało
wówczasciśnieniegazu?
22. Samolotlecącynapołudniezprędkością v 2 =200km/hnawysokości H =0,5km,znalazłsięwpewnym
momencienadsamochodemjadącymnawschódzprędkością v 1 =60km/h.Wyznaczyćtempozmiany
odległościsamolotuodsamochodupoupływie0 , 1godziny.
51817773.013.png 51817773.014.png 51817773.015.png 51817773.016.png 51817773.017.png 51817773.018.png 51817773.019.png 51817773.020.png 51817773.021.png 51817773.022.png 51817773.023.png 51817773.024.png 51817773.025.png 51817773.026.png 51817773.027.png 51817773.028.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin