3ci+gi funkcyjne.pdf
(
390 KB
)
Pobierz
166835841 UNPDF
Ciągi funkcyjne
Niech
X
– zbiór,
Y,d
– przestrzeń metryczna.
oraz niech
∀
n
∈ℕ
f
n
:
X
Y
,
czyli określony jest ciąg funkcyjny
f
n
n
∈ℕ
.
Niech
f
:
X
Y.
Definicja
Mówimy, że ciąg funkcyjny
f
n
n
∈ℕ
zmierza punktowo
do funkcji
f
na zbiorze
X
,
jeśli dla każdego
x
∈
X
ciąg
f
n
x
n
∈ℕ
zmierza do
f
x
w przestrzeni
Y
z metryką
d
, tzn.
f
n
X
f
:
⇔
∀
x
∈
X
lim
n
∞
d
f
n
x
,f
x
=0
⇔
⇔
∀
x
∈
X
∀0
∃
n
0
∈ℕ
∀
n
n
0
d
f
n
x
,f
x
Funkcję
f
nazywamy
funkcją graniczną
.
Definicja
Ciąg
f
n
n
∈ℕ
zmierza jednostajnie
do
f
na zbiorze
X
, gdy:
X
f
n
:
⇔
∀0
∃
n
0
∈ℕ
∀
n
n
0
∀
x
∈
Xd
f
n
x
,f
x
f
Niech
X
,
Y
– przestrzenie metryczne,
f
n
:
X
Y
,
f
:
X
Y
.
Definicja
Ciąg
f
n
n
∈ℕ
zmierza niemal jednostajnie
do funkcji
f
na zbiorze
X
,
gdy:
f
n
f
:
⇔
∀
E
∈
Comp
X
f
n
f
Comp
X
E
Uwaga
- zbieżny jednostajnie
⇒
f
n
n
∈ℕ
- zbieżny niemal jednostajnie
⇒
f
n
n
∈ℕ
-
zb
i
e
żn
y
pu
nktow
o
.
- 1 -
f
n
n
∈ℕ
Przykład
Niech
X
=[0
;
1]
oraz niech
f
n
x
=
x
n
dla
n
∈ℕ.
1.2
y
f(x)=x
f(x)=x^2
f(x)=x^3
f(x)=x^4
f(x)=x^5
f(x)=0.15
f(x)=-0.15
Series 1
1
0.8
0.6
f
1
f
2
0.4
f
1
f
3
f
5
f
2
f
3
f
5
0.2
f
4
f
4
x
x
-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
1
−
-0.4
-0.6
-0.8
Ponieważ
{
więc ciąg
f
n
n
∈ℕ
jest zbieżny punktowo. Natomiast
nie jest zbieżny jednostajnie
, bo dla
wykres żadnej z funkcji
f
n
nie znajduje się w całości w pasie
-1
lim
n
∞
x
n
=
0
dla
x
∈
[
0,1
)
1
dla
x
=1
-1.2
x
∈
[
0
,
1
)
[
0
,
1
)
×−
,
.
Zbadajmy teraz w
X
=
[
0
,
1
) zbieżność niemal jednostajną ciągu funkcyjnego
f
n
n
∈ℕ
.
Niech
E
∈
Comp
X
.
Stąd na podstawie twierdzenia charakteryzującego zbiory zwarte w
przestrzeni standardowej, zbiór
E
jest domknięty i ograniczony, tzn.
E
=[
a
;
b
]
, gdzie
0≤
a
≤
b
1 .
Ponieważ
0≤
d
x
n
,
0≤
b
n
1
oraz
lim
n
∞
b
n
=0
zatem z twierdzenia o 3 ciągach wynika, że
lim
n
∞
d
x
n
,
0=0,
a stąd wynika, że
f
n
f
.
E
Zatem
f
n
n
∈ℕ
jest zbieżny niemal jednostajnie w
X
=
[
0
,
1
)
.
- 2 -
y
e
−
-e
-0.2
y
f(x)=x
f(x)=x^2
f(x)=x^3
f(x)=x^4
f(x)=x^5
Series 1
Series 2
1.5
1
0.5
a b
x
-0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8
a b
x
−
-0.5
Twierdzenie
(o ciągłości funkcji granicznej
)
∀
n
∈ℕ
f
n
∈
C
X
}
⇒
f
∈
C
X
f
n
f
Wniosek
Jeśli funkcja graniczna ciągu funkcyjnego funkcji ciągłych nie jest ciągła, to ciąg nie jest
zbieżny jednostajnie.
- 3 -
y
E
X
Przykład
c.d.
Jeżeli
f
n
x
=
x
n
,
X
=[0
;
1]
, to
f
x
=
{
0
dla
x
∈
[
0
;
1
,
1
dla
x
=1
,
a wtedy
f
n
∈
C
X
i
f
∉
C
X
zatem
X
f
n
f
.
T
w
i
e
r
d
z
e
ni
e
Niech
f
n
n
∈ℕ
⊂
B
(
X,Y
), gdzie
B
(
X
,
Y
)
=
{
f
|
f
:
X
Y,
f
−
funkcja graniczna}.
Wtedy
X
f
⇔
lim
n
∞
d
sup
f
n
,f
=0
f
n
Przykład
Zbadać zbieżność jednostajną ciągu
f
n
:
ℝℝ
, gdzie
f
n
x
=
nxe
−
nx
2
oraz określić obszary zbieżności punktowej
D
p
i jednostajnej
D
j
.
I. Aby zbadać zbieżność punktową, wybierzmy
x
∈ℝ.
W
t
e
d
y
{
lim
n
∞
f
n
x
=
lim
n
∞
nxe
−
nx
2
=
0
, gdy
x
=0
,
0
, gdy
x
≠0
,
bo dla
x
≠0
mamy:
lim
e
nx
2
=
[
∞
]
H
lim
x
2
e
nx
2
=
lim
x
xe
nx
2
=0.
1
n
∞
n
∞
n
∞
Zatem
∀
x
∈ℝ
lim
n
∞
f
n
x
=0
⇒
f
≡0
⇒
D
p
=ℝ.
II. Sprawdzamy, czy
f
n
f
.
f
n
∈
C
f
n
−
x
=−
f
n
x
, tzn.
f
jest funkcją nieparzystą
}
⇒
f
n
∈
B
ℝ
,
ℝ
lim
x
∞
f
n
x
=
lim
x
∞
e
nx
2
=
H
lim
x
∞
2
nxe
nx
2
=0
n
Dla dowolnego
n
∈ℕ
mamy
d
sup
f
n
,f
=
sup
x
∈ℝ
∣
f
n
x
−
f
x
∣=
sup
x
∈ℝ
∣
f
n
x
∣=
sup
x
∈
[
0
;
∞
)
f
n
x
- 4 -
X
nx
nx
Aby wyznaczyć kres górny wartości funkcji
f
n
,
zbadajmy jej ekstrema lokalne.
Ponieważ
f
n
'
x
=
ne
−
nx
2
−2
n
2
x
2
e
−
nx
2
=
n
1−2
nx
2
e
−
nx
2
=0
1−2
nx
2
=
0
1
x
=±
2
n
min
max
−
1
2
n
1
2
n
x
zatem
f
n
max
=
f
n
1
2
n
=
n
2
e
.
Stąd
{
n
2
e
,
0
}
=
n
2
e
,
sup
x
∈ℝ
∣
f
n
x
∣=
max
{
f
n
max
, lim
f
n
x
}=
max
x
∞
więc
n
2
e
=∞≠0
⇒
f
n
f
lim
n
∞
d
sup
f
n
,
f
=
lim
n
∞
Wykażemy, że
D
j
=
(
−∞
;a
]
∪
[
b;
∞
), gdzie
a
0
b.
- 5 -
min
max
x
1
2
n
1
2
n
−
Plik z chomika:
kamylll
Inne pliki z tego folderu:
analizawykladcz_1.zip
(18332 KB)
analizawyklad26maj.zip
(8357 KB)
analiza matematyczna - funkcje jednej zmiennej.pdf
(7481 KB)
Hanna.Marcinkowska.-.Analiza.matematyczna.POLiSH.eBook.(osloskop.net).pdf
(7202 KB)
01. Całka podwójna w prostokącie.pdf
(99 KB)
Inne foldery tego chomika:
- ◢◤- FILMY [ - 2022 - ] CHOMIKUJ
Android Xperia
Audiobooki
Automapy
Cubase Pro 8
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin