Płaskie ustroje prętowe obciążone w płaszczyźnie.pdf

2.1 Płaskie ustroje prętowe obciążone w płaszczyźnie

strona 1

Wstęp

Konstrukcje prętowe którymi zajmowaliśmy się w przedmiocie Wytrzymałość Materiałów to

statycznie wyznaczalne belki, kratownice i ramy płaskie, obciążone w swojej płaszczyźnie.

Znamy już te konstrukcje, wiemy do czego służą i umiemy sporządzać dla nich wykresy sił

przekrojowych i obliczać przemieszczenia. Obecnie poznamy jedną z dwóch powszechnie

stosowanych metod obliczania konstrukcji statycznie niewyznaczalnych. W podpunkcie 2.1.1

przypomnimy sobie jakie siły wewnętrzne występują w tych konstrukcjach, oraz nauczymy

się jak określić stopień statycznej niewyznaczalności. W podpunkcie 2.1.2 przypomnimy

sobie jak obliczać przemieszczenia w belkach, kratownicach i ramach. W podpunkcie 2.1.3

poznamy algorytm postępowania w Metodzie Sił. Podpunkt 2.1.4 dotyczy sposobów

przyjmowania nadliczbowych i wykorzystania symetrii i antysymetrii obciążenia. Kolejne

podpunkty, to przykłady obliczania belek, kratownic i ramołuków za pomocą Metody Sił.

Cele

Po przestudiowaniu tego rozdziału będziemy potrafili:

• Określić stopień statycznej niewyznaczalności i przyjąć schemat statycznie wyznaczalny

kratownicy, belki, ramy i łuku,

• Zbudować układ równań Metody Sił dla płaskiej konstrukcji prętowej obciążonej w

płaszczyźnie,

• Określić wartości reakcji i sił przekrojowych w belkach, kratach i ramołukach statycznie

niewyznaczalnych,

• Wykorzystać symetrię i antysymetrię obciążenia konstrukcji.

Słowa kluczowe

Belka, kratownica, rama, łuk

2.1.1. Płaskie układy prętowe – belki, kratownice, ramy, łuki – stopień statycznej

niewyznaczalności.

W przedmiocie Wytrzymałość Materiałów omawialiśmy szeroko statycznie wyznaczalne

belki, kratownice płaskie i ramy. Potrafimy wyznaczać siły przekrojowe w tego typu

konstrukcjach. Umiejętności te bardzo się przydadzą przy rozwiązywaniu zadań statycznie

niewyznaczalnych. Przypomnijmy, dla porządku, jakie siły przekrojowe występują w tych

ustrojach:

• Belki – momenty zginające i siły poprzeczne,

• Kratownice – siły podłużne,

• Ramy (łuki) – momenty zginające, siły podłużne i siły poprzeczne.

Rozważane dotąd zadania były statycznie wyznaczalne, co oznacza, że wszystkie wielkości

potrzebne do wyznaczenia sił przekrojowych (reakcje, oddziaływania w przegubach, itp.)

można było obliczyć z równań równowagi. Jeżeli tak nie jest, to zadanie jest statycznie

niewyznaczalne. Wzór na stopień statycznej niewyznaczalności ( n )jest swego rodzaju

bilansem niewiadomych (wielkości, które musimy obliczyć) i równań, które mamy do

dyspozycji. Z uwagi na specyfikę konstrukcji wymienionych powyżej, wzory są różne.

Belki.

(2.1.1)

−

2 ,

gdzie

20081106

−

2.1 Płaskie ustroje prętowe obciążone w płaszczyźnie

strona 2

r liczba reakcji,

g liczba przegubów.

Na Rys. 2.1.1 przypomniano ile i jakie reakcje występują w belkach, oraz narysowano

przegub, który w belkach daje jedno dodatkowe równanie (mówimy wtedy że jest

jednokrotny).

Rys. 2.1.1.

Kratownice

(2.1.2)

−

2 ,

⋅

gdzie

r liczba reakcji,

p liczba prętów,

w liczba węzłów.

Na Rys. 2.1.2 przedstawiono reakcje, które występują na podporach kratownic. Wszystkie

węzły są oczywiście przegubowe.

Rys. 2.1.2

Ramy, łuki

(2.1.3)

3 ,

( ) g

−

gdzie

r liczba reakcji,

a liczba obwodów zamkniętych,

g suma krotności przegubów.

Na Rys. 2.1.3 przedstawiono reakcje, które występują na podporach ramołuków, oraz

krotność przegubów, które są najczęściej spotykane.

Rys. 2.1.3.

Na Rys. 2.1.4 odnajdziemy kilka przykładów ram o różnej liczbie obwodów zamkniętych.

20081106

2.1 Płaskie ustroje prętowe obciążone w płaszczyźnie

strona 3

Rys. 2.1.4.

Informacje podane w tym rozdziale powinny wystarczyć do prawidłowego określenia stopnia

statycznej niewyznaczalności belek, kratownic i ramołuków. Uważnemu czytelnikowi

zalecamy obliczenie teraz n we wszystkich zadaniach zamieszczonych w dalszej części tego

rozdziału.

2.1.2. Obliczanie przemieszczeń w statycznie wyznaczalnych belkach, kratownicach,

ramach i łukach.

W dalszych rozważaniach potrzebna nam będzie umiejętność obliczania wybranych

przemieszczeń w płaskich ustrojach prętowych. Wykorzystamy do tego znany z

Wytrzymałości Materiałów wzór MaxwellaMohra, który w ogólnym przypadku ma postać

(2.1.4)

⋅

∫

−

nierównomierny przyrost temperatury, t równomierny przyrost temperatury,

h wysokość przekroju, 0 narzucone przemieszczenie.

W powyższym wzorze, w zależności od typu konstrukcji i obciążenia mogą obowiązywać nie

wszystkie człony.

Wielkości wirtualne w powyższym wzorze pochodzą od jednostkowej siły wirtualnej

przyłożonej w kierunku poszukiwanego przemieszczenia, podczas gdy wielkości rzeczywiste

pochodzą od obciążenia statycznego konstrukcji. Przy obliczaniu przemieszczeń zazwyczaj

pomijamy wpływ sił poprzecznych i tak będziemy czynić w dalszej części skryptu. Na Rys.

2.1.5 przypomniano jak należy przyłożyć obciążenie wirtualne, aby obliczyć, kolejno,

przemieszczenie liniowe, kąt obrotu, przemieszczenie liniowe wzajemne i wzajemny kąt

obrotu.

20081106

gdzie

Δ obliczane przemieszczenie, M rzeczywisty moment zginający, rzeczywista siła

podłużna, T rzeczywista siła poprzeczna, M wirtualny moment zginający, wirtualna

siła podłużna, T wirtualna siła poprzeczna, R wirtualna reakcja, E moduł Younga, G

moduł Kirchhoffa, J moment bezwładności, A pole przekroju poprzecznego, k

współczynnik korekcyjny poprzecznego ścinania, Α współczynnik rozszerzalności

termicznej, t

2.1 Płaskie ustroje prętowe obciążone w płaszczyźnie

strona 4

Rys. 2.1.5.

W tym rozdziale skryptu nie będziemy podawali zadań na obliczanie przemieszczeń w

układach statycznie wyznaczalnych. Było to przedmiotem wielu ćwiczeń w przedmiocie

Wytrzymałość Materiałów i być może, dla łatwiejszego opanowania materiału w tym

rozdziale, należałoby przypomnieć sobie te ćwiczenia i zadania. Poniżej omówimy bardziej

szczegółowo zasady obliczania przemieszczeń parabolicznych łuków płaskich.

Jednym z zagadnień analizy statycznie niewyznaczalnych ram z elementami

łukowymi, por. rys. 2.1.6, jest właściwe uwzględnienie sił podłużnych oraz wyniosłości łuku

w obliczeniach przemieszczeń układu zastępczego, a więc, co za tym idzie, również wartości

nadliczbowych w zadaniu Metody Sił i w konsekwencji rozkładu sił wewnętrznych w

analizowanej konstrukcji statycznie niewyznaczalnej. W tym celu do opisu łuku wprowadza

się dwa parametry:

− związany z działaniem sił podłużnych parametr =

, gdzie J oznacza moment

uwzględniający wyniosłość łuku.

Treścią niniejszego paragrafu pracy jest poprawne ustalenie zakresów wartości obu

parametrów, w których uzasadnione jest stosowanie założeń upraszczających obliczenia

poziomego przemieszczenia i kąta obrotu podpory B parabolicznego łuku dwuprzegubowego

poddanego działaniu obciążeń pokazanych na rys. 2.1.6.

(rys. 2.1.6)

Podobne do poniższych rozważania są ujęte w treści wielu klasycznych podręczników

Mechaniki Budowli (por. np. W. owacki, Mechanika Budowli ), jednak ze względu na chęć

zachowania spójności omawianego zagadnienia, Autorzy zdecydowali się włączyć ten punkt

do niniejszego opracowania.

20081106

bezwładności, zaś A jest polem przekroju łuku, oraz

− parametr =

2.1 Płaskie ustroje prętowe obciążone w płaszczyźnie

strona 5

Oś łuku opisana jest równaniem

(2.1.5)

jest zmienną bezwymiarową taką, że ∈ [0,1] przy ∈ [ 0, ] .

Zanim przejdziemy do obliczeń przemieszczeń przypomnijmy za W. owacki,

Mechanika Budowli , że odkształcenia i naprężenia w łukach można wyrazić za pomocą

liniowych funkcji sił przekrojowych jeżeli /ℎ ≥ 10 , gdzie r jest promieniem krzywizny, a h

wysokością przekroju łuku. W konsekwencji, możliwe jest korzystanie ze związków

słusznych dla pręta prostego i zasady superpozycji w obliczeniach łuków. Promień krzywizny

łuku parabolicznego wyraża się wzorem

(2.1.6)

i przyjmuje wartość minimalną dla =

równą

(2.1.7)

Warunek /ℎ ≥ 10 możemy zatem przepisać w postaci

(2.1.8)

Jednym z zaleceń dotyczących projektowania prętów prostych jest ograniczenie

/ℎ ≥ 10 umożliwiające pominięcie wpływu sił poprzecznych na przemieszczenia. Widać

więc, że nierówność (2.1.8) narzuca dodatkowe ograniczenie, szczególnie istotne przy

projektowaniu łuków o znacznej wyniosłości.

Funkcje trygonometryczne kąta = () wyrażają się wzorami

(2.1.9)

Poszukiwane przemieszczenia obliczymy korzystając ze wzoru MaxwellaMohra. Do

określenia przesunięcia u przyjmiemy jednostkowe obciążenie wirtualne w postaci

(rys. 2.1.7)

i funkcje sił wewnętrznych

u ,

u opisane równaniami

20081106

gdzie =

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: