Algebra 2-11 grupy.pdf

Wykład11

Grupy

Grup¡nazywamystruktur¦algebraiczn¡zło»on¡zniepustegozbioru G i

działaniabinarnego ,którespełniawłasno±ci:

(i)Działanie jestł¡czne,czyli

8 a,b,c 2 Ga ( b c )=( a b ) c.

(ii)Działanie posiadaelementneutralny,toznaczy

9 e 2 G 8 a 2 Ga e = e a = a.

(iii)Ka»dyelementjestodwracalnywzgl¦dem ,toznaczy

8 a 2 G 9 a 0 2 Ga a 0 = a 0 a = e,

gdzie e jestelementemneutralnymtegodziałania.

Je±lidodatkowo

(iv)Działanie jestprzemienne,toznaczy

8 a,b 2 Ga b = b a,

togrup¦nazywamygrup¡abelow¡(alboprzemienn¡).

Grup¦b¦dziemyzapisywa¢wpostaciparyzło»onejzezbioruidziałania

( G, ).

Ka»dyelementgrupyjestodwracalny.Elementodwrotnydo a oznacza¢b¦-

dziemyprzez a − 1 .

Niepustypodzbiór H grupy G nazywa¢b¦dziemypodgrup¡tejgrupyje±li:

(i) 8 h 1 ,h 2 2 Hh 1 h 2 2 H .

(ii) e 2 H .

(iii) 8 h 2 Hh − 1 2 H .

Łatwozauwa»y¢,»eje±li H jestpodgrup¡grupy G tostruktura( H, )jest

grup¡.

Przykładygrup

1.(Z , +),(R , +)s¡grupamiabelowymi.

2.Je±li( P, + , · )jestpier±cieniemto( P, +)jestgrup¡abelow¡oraz( P , · )

jestgrup¡(gdzie P oznaczazbiórelementówodwracalnychpier±cienia P ).

Wszczególno±cizbiórmacierzy n × n naddanymciałem K ,owyznaczniku

niezerowymjestgrup¡(dla n> 1nieabelow¡).Grup¦t¡oznaczamyprzez

Gl n ( K )imamy:

Gl n ( K )= { A 2 M n ( K ):det A 6 =0 }

Grupatajestnazywana grup¡liniow¡macierzy n × n .

3.ZbiórSl n ( K )= { A 2 M n :det A =1 } jestpodgrup¡grupyGl n ( K )

(nazywan¡specjaln¡grup¡liniow¡).

4.Oznaczmyprzez S n zbiórwszystkichpermutacjizbioru { 1 , 2 ,...,n } (czyli

wzajemniejednoznacznychodwzorowa«zbioru { 1 , 2 ,...,n } nasiebie).Zbiór

tenwrazzdziałaniemskładaniaprzekształce« tworzygrup¦(dla n> 2

nieabelow¡).Jesttoprzykładgrupysko«czonej(toznaczytakiej,wktórej

zbiór G masko«czon¡ilo±¢elementów)bo S n madokłanie n !elementów.

Naprzykład

S 3 = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }

gdzie:

123

132

123

321

0 =

, 1 =

, 2 =

123

213

123

312

123

231

3 =

, 4 =

, 5 =

Sprawdzasi¦bezpo±rednio,»epodgrupamigrupy S 3 s¡podzbiory:

{ 0 }

{ 0 , 1 }

{ 0 , 2 }

{ 0 , 3 }

{ 0 , 4 , 5 }

S 3

5.Podgrup¡grupy S n jestzbiór A n zło»onyzewszystkichpermutacjiparzy-

stychzbioru { 1 , 2 ,...,n } .Naprzykład

(

123

312

123

231

A 3 =

Grupa( A n , )ma n ! 2 elementówijestnieabelowadla n> 3.

6.Przekształceniepłaszczyzny(lubprzestrzeni),którejestbijekcj¡iktórenie

zmieniaodległo±cipunktównazywamyizometri¡płaszczyzny.Przykładami

izometriis¡obrotyorazsymetrie.Przekształceniem,któreniejestizometri¡

jestnaprzykładrzutowanienaprost¡.Zbiórizometriipłaszczyznyzdziała-

niemskładaniaprzekształce«jestgrup¡(nieabelow¡).

7.Niech F b¦dziepewn¡ﬁgur¡napłaszczy¹nie.Izometri¡własn¡ﬁgury

F nazywamyzbiórwszystkichizometriipłaszczyzny,któreprzekształcaj¡ F

nasiebie.Zbiórizometriiwłasnychﬁgury F wrazzdziałaniemskładania

przekształce«jestgrup¡.

Figur¦ F nazywamy n -k¡temforemnymje±lima n równychbokówi n rów-

nychk¡tów.Naprzykładtrójk¡temforemnymjesttrójk¡trównoboczny,

czworok¡temforemnymjestkwadratitd.Oznaczmyprzez D n grup¦izome-

triiwłasnych n -k¡taforemnego.Nietrudnojestzauwa»y¢,»egrupa D n ma

2 n elementów: n symetriiwzgl¦demprostychi n obrotówwzgl¦dem±rodka

ﬁgury.

Naprzkład D 4 jestizometriiwłasnychkwadratu.Wprowad¹myoznaczenia

r 0 jestobrotemo0stopni, r 1 jestobrotemo90stopni, r 2 obrotemo180stop-

nii r 3 obrotemo270stopni, s 1 jestsymetri¡wzgl¦demprostejprzechodz¡c¡

przez±rodekparyrównoległychboków, s 2 jestsymetri¡wzgl¦demprostej

przechodz¡c¡przez±rodekdrugiejparyrównoległychboków, s 3 i s 4 s¡syme-

triamiwzgl¦demprostychprzechodz¡cychprzeznaprzeciwległewierzchołki.

s 3

s 1

s 4

s 2

4 3

Poponumerowaniuwierzchołkówliczbamiod1do4ka»daizometriakwa-

dratuwyznaczajednoznaczn¡permutacj¦wierzchołków r 0 =(1)(2)(3)(4),

r 1 =(1 , 2 , 3 , 4), r 2 =(1 , 3)(2 , 4), r 3 =(1 , 4 , 3 , 2), s 1 =(1 , 2)(3 , 4), s 2 =

(1 , 4)(2 , 3), s 3 =(2 , 4), s 4 =(1 , 3).

Własno±cigrup

(1)Ka»dagrupaposiadadokładniejedenelementneutralny.

(2)Ka»dyelementgrupyposiadadokładniejedenelementodwrotny.

(3)Je±liwgrupiezachodzirówno±¢ ax = ay to x = y .

(4)Ka»derównanie ax = b mawgrupiejednoznacznerozwi¡zanie x = a − 1 b .

(5)Dlaka»degoelementu a 2 G mamy( a − 1 ) − 1 = a .

(6)Dlaka»dejparyelementów a,b 2 G mamy( ab ) − 1 = b − 1 a − 1

Wgrupie( G, · )mo»emyzdeﬁniowa¢pot¦gowanieelementu a 2 G :

a 0 = e,a 1 = a,a n = a · · · a

| {z }

je±li n> 0oraz

a − n = a − 1 · · · a − 1

| {z }

Pot¦gowaniemanast¦puj¡cewłasno±ci:

(i) a m a n = a m + n .

(ii)( a m ) n = a m n .

Uwaga Wgrupiemo»emystosowa¢zapisaddytywny(cz¦stostosujesi¦go

wprzypadkugrupabelowych)( G, +).Wtedyelementneutralnyoznaczasi¦

przez0,aelementodwrotnydo a oznaczasi¦przez − a .Zamiastpot¦gowania

wykonujesi¦mno»enieprzezliczbycałkowite:

0 a =0 ,na = a + . . . + a

| {z }

, ( − n ) a =( − a )+ . . . +( − a )

| {z }

Wtedytaoperacjamaanalogicznewłasno±cijakpot¦gowanie:

(i)( n + m ) a = na + ma .

(ii)( nm ) a = n ( ma ).

Niech a b¦dzieelementemgrupy G .Najmniejsz¡niezerow¡liczb¦natu-

raln¡ n ,tak¡»e a n = e nazywamyrz¦demelementu a .Je±litakaliczbanie

istniejetomówimy,»eelement a marz¡dniesko«czony(wprzypadkuzapi-

suaddytywnegorz¦demnazywamynajmniejsz¡liczb¦niezerow¡dlaktórej

na =0).

Przykłady

123

231

1.Permutacja

=(1 , 2 , 3)marz¡d3.

2.Element3grupy( Z 6 , + 6 )marz¡d2,bo3+ 6 3=0.

3.Elementneutralny e marz¡drówny1.

Twierdzenie1 Je±ligrupaGjestsko«czonaimanelementówtoka»dy

elementmasko«czonyrz¡d.

{ 1 ,a,a 2 ,a 3 ,... }

Elementytenale»¡do G .Poniewa» G jestzbioremsko«czonymtozbiórpot¦g

elementu a te»jestsko«czony,atooznacza,»eistniej¡liczbynaturalne i 6 = j ,

»e a i = a j ije±li i<j to a j − i = e .Tooznacza,»erz¡delementu a jest

sko«czony.

Dowód Niech a b¦dzieelementemgrupy G .Rozwa»myzbiórpot¦gelementu

a :

Twierdzenie2 Je±liG 1 iG 2 s¡grupamitozbiórG 1 × G 2 zdziałaniem

okre±lonymnast¦puj¡co:

( g 1 ,h 1 )( g 2 ,h 2 )=( g 1 g 2 ,h 1 h 2 )

jestgrup¡.

Niech G b¦dziedowoln¡grup¡iniech a 2 G .Wtedyprzez <a> ozna-

czamyzbiórwszystkichpot¦gelementu a toznaczy:

<a> = { ...,a − 3 ,a − 2 ,a − 1 ,a 0 ,a,a 2 ,a 3 ,... }

Wtedy <a> jestpodgrup¡grupy G .Je±liwgrupie G istniejeelement a ,

taki»e: G = <a> to G nazywamygrup¡cykliczn¡.

Twierdzenie3 Je±liGjestgrup¡cykliczn¡toGjestabelowa.

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: