Algebra 1-06 iloczyn skalarny.pdf

(65 KB) Pobierz
19536667 UNPDF
Wykład6
Iloczynskalarny
Niech K b¦dzieciałemliczbrzeczywistych R lubciałemliczbzespolonych
C .Niech V b¦dzieprzestrzeni¡liniow¡nadciałem K ,wtedyfunkcj¦:
S : V × V ! K
nazywamyil oczyne mskalarnymje±li 8 u,v,w 2 V,k 2 K :
1. S ( u,v )= S ( v,u ),
2. S ( u + v,w )= S ( u,w )+ S ( v,w ),
3. S ( ku,v )= kS ( u,v ),
4. S ( u,u ) ­ 0ije±li S ( u,u )=0to u =0.
Zwyklezamiastpisa¢ S ( u,v )b¦dziemypisa¢( u | v ).
Przykłady
1. Wprzestrzeni V = R
3 iloczynemskalarnymjestfunkcja:
(( x 1 ,x 2 ,x 3 ) | ( y 1 ,y 2 ,y 3 ))=
3 X
x i y i
i =1
2. Wtejsamejprzestrzeni V = R
3 iloczynemskalarnymjestrównie»funkcja:
(( x 1 ,x 2 ,x 3 ) | ( y 1 ,y 2 ,y 3 ))=
3 X
ix i y i
i =1
3. Wprzestrzeni V = R
n iloczynemskalarnymjestfunkcja:
(( x 1 ,...,x n ) | ( y 1 ,...,y n ))=
n X
x i y i
i =1
4. Wprzestrzeni C ( a,b )funkcjici¡głychnaodcinku( a,b )funkcja:
b Z
( f | g )=
f ( x ) g ( x ) dx
a
jestiloczynemskalarnym.
5. Wprzestrzeni V = C
3 iloczynemskalarnymjestfunkcja:
(( x 1 ,...,x n ) | ( y 1 ,...,y n ))=
3 X
x i y i
i =1
Przestrze«liniow¡ V nadciałem R ziloczynemskalarnymnazywa¢b¦-
dziemy przestrzeni¡euklidesow¡ ,aprzestrze«liniow¡ V nadciałem C z
iloczynemskalarnymnazywa¢b¦dziemy przestrzeni¡unitarn¡ .
1
 
Twierdzenie1 JesliVjestprzestrzeni¡euklidesow¡ziloczynemskalarnym
( ·|· ) to:
(i) 8 v (0 | v )=( v | 0)=0 ,
(ii) 8 u,v ( u | v + w )=( u | v )+( u | w ) ,
(iii) je±li ( u | v )=0 towektoryuivs¡liniowoniezale»ne,
(iv) 8 u,v,k 2 R ( u | kv )= k ( u | v ) ,
(v) 8 u,v ( u | v ) 2 ¬ ( u | u )( v | v ) (nierówno±¢Cauchy-Buniakowskiego-Schwartza).
2

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin