Algebra 1-04 przestrzenie i przekształcenia liniowe.pdf

(88 KB) Pobierz
19536669 UNPDF
Wykład4
Udowodnimyteraz,»eje±li U,W s¡podprzetrzeniamisko«czeniewymiarowej
przestrzeni V tozachodziwzór:
dim( U + W )=dim U +dim W − dim( U \ W )
Rzeczywi±cie U \ W jestpodprzetrzeni¡przestrzeni U i W ,awi¦c U \ W
jestsko«czeniewymiarowa.Przestrze« U \ W posiada,wi¦csko«czon¡baz¦
v 1 ,...,v k .ZgodnieztwierdzeniemSteinitzabaz¦t¡mo»nauzupełni¢dobaz
przestrzeni U iprzestrzeni W .Istniej¡,wi¦cwektory u 1 ,...,u n i w 1 ,...,w m ,
»e:
v 1 ,...,v k ,u 1 ,...,u n jestbaz¡przestrzeni U ,
v 1 ,...,v k ,w 1 ,...,w m jestbaz¡przestrzeni W .
Dodowodupowy»szejrówno±ciwystarczysprawdzi¢,»eukład
v 1 ,...,v k ,u 1 ,...,u n ,w 1 ,...,w m jestbaz¡przestrzeni U + W .
Je±li x 2 U + W to x = u + w ,gdzie u 2 U , w 2 W ,wtedy u jestliniow¡
kombinacj¡wektorów v 1 ,...,v k ,u 1 ,...,u n ,a w liniow¡kombinacj¡wekto-
rów v 1 ,...,v k ,w 1 ,...,w m ,azatemwektor x jestliniow¡kombinacj¡wekto-
rów v 1 ,...,v k ,u 1 ,...,u n ,w 1 ,...,w m .Sprawdzimyterazliniow¡niezale»no±¢.
Rozwa»myrównanie:
1 v 1 + ... + k v k + 1 u 1 + ... + n u n + 1 w 1 + ... + m w m = 0
poniewa» w i 62 U to 1 = ... = m =0inaszarówno±¢przybieraposta¢:
1 v 1 + ... + k v k + 1 u 1 + ... + n u n = 0
alewektory v 1 ,...,v k ,u 1 ,...,u n s¡liniowoniezale»ne,wi¦c 1 = ... = k =
1 = ... = m =0iudowodnili±myliniow¡niezale»no±¢.
Przykład Wyznaczymybazyiwymiaryprzestrzeni U,V,U \ V,U + V ,gdzie:
U =Lin { (1 , 2 , 1 , 1) , (0 , 1 , 1 , − 1) , (1 , 3 , 2 , 0) , (2 , 6 , 4 , 0) }
V =Lin { (1 , 1 , 0 , 0) , (0 , 0 , 1 , 1) , (2 , 3 , 2 , 2) }
Przestrze« U składasi¦zwszystkichwektorów,któremo»nazapisa¢wposta-
ci (1 , 2 , 1 , 1)+ (0 , 1 , 1 , − 1)+ (1 , 2 , 2 , 0)+ (2 , 5 , 4 , 0),dla ,,, 2 R .Je±li
jedenzwektorówjestliniowozale»nyodpozostałychtomo»nagozzestawu
wektorówgeneruj¡cych U wykre±li¢.Zatemznalezieniebazytejprzestrzeni
jestrównowa»nezeznalezieniemmaksymalnegozbioruliniowoniezale»nego
wzbiorzewektorów { (1 , 2 , 1 , 1) , (0 , 1 , 1 , − 1) , (1 , 2 , 2 , 0) , (2 , 5 , 4 , 0) } .Zestawmy
naszewektorywmacierz:
2
121 1
011 − 1
132 0
264 0
3
6 6 6 4
7 7 7 5
1
wtedyoperacjeelementarnenawierszachtejmacierzyodpowiadaj¡opera-
cjomnawektorach.
2
6 6 6 4
3
7 7 7 5
−!
w 4 − 2 w 1
2
6 6 6 4
1211
011 − 1
011 − 1
022 − 2
3
7 7 7 5
−!
w 3 − w 2
2
6 6 6 4
1211
011 − 1
0000
0000
3
7 7 7 5
zatembaz¡przestrzeni U s¡wektory(1 , 2 , 1 , 1) , (0 , 1 , 1 , − 1),ajejwymiarjest
równy2(zauwa»my,»ewymiartejprzestrzenijestrównyrz¦dowimacierzy).
Obliczymyterazwymiarprzestrzeni V :
2
6 4
1100
0011
2322
3
7 5
−!
w 3 − 2 w 2
2
6 4
1100
0011
0100
3
7 5
iponiewa»rz¡dtejmacierzyjestrówny3towektory(1 , 1 , 0 , 0),(0 , 0 , 1 , 1),
(0 , 1 , 0 , 0)s¡liniowoniezale»ne.Zatemwymiarprzestrzeni V jestrówny3.
Zajmiemysi¦terazprzestrzeni¡ U + V .Nietrudnozauwa»y¢,»e:
U + V =Lin { (1 , 2 , 1 , 1) , (0 , 1 , 1 , − 1) , (1 , 1 , 0 , 0) , (0 , 0 , 1 , 1) , (0 , 1 , 0 , 0) }
2
1211
011 − 1
1100
0011
0100
3
6 6 6 6 6 6 4
7 7 7 7 7 7 5
rz¡dtejmacierzyjestrówny4,wi¦cdim( U + V )=4.Zewzoru
dim( U + W )=dim U +dim W − dim( U \ W )
otrzymujemy:dim( U \ W )=1.
Zadanie Wyznaczy¢wszystkiepodprzestrzenieprzestrzeni R (nadciałem
R ).
Rozwi¡zanie Poniewa»dim R =1toka»dapodprzestrze«mawymiar0lub
1.Je±liwymiarpodprzestrzenijestrówny0topodprzestrze«jestzerowa,
je±liwymiarjestrówny1topodprzestrze«pokrywasi¦z R ,awi¦c R ma
tylkodwiepodprzestrzenie.
Niech B = { b 1 ,...,b n } b¦dziebaz¡przestrzeniliniowej V .Wtedyka»dy
wektor v 2 V dasi¦jednoznaczniezapisa¢wpostacikombinacjiliniowej
wektorów b 1 ,...,b n ,zatemistniej¡skalary k 1 ,...,k n ,»e v = k 1 v 1 + ... + k n v n .
Skalary k 1 ,...,k n nazywamywspółrz¦dnymiwektora v wzgl¦dembazy B i
piszemy v =( k 1 ,...,k n ) B .
2
1211
011 − 1
1320
2640
w 3 − w 1
w 4 − 2 w 2
w 3 − 2 w 1
Przekształcenialiniowe
Niech V i W b¦d¡przestrzeniamiliniowyminadtymsamymciałem K .
Przekształcenie:
f : V ! W
nazywa¢b¦dziemy przekształceniemliniowym przestrzeni V wprzestrze«
W je±li:
8 v 1 ,v 2 2 Vf ( v 1 + v 2 )= f ( v 1 )+ f ( v 2 ) ,
oraz
8 v 2 V 8 k 2 Kf ( kv )= kf ( v )
Prost¡konsekwencj¡tejdefinicjijestfakt,»e f ( 0 )= 0 .Rzeczywi±cie f ( 0 )=
f ( 0 + 0 )= f ( 0 )+ f ( 0 )st¡dwynika,»e f ( 0 )= 0 .
Przykład Dladowolnychprzestrzeniliniowych U , V nadtymsamymciałem
przekształcenie( v )= 0 jestprzekształceniemliniowym.Przekształcenieto
nazywamy przekształceniemzerowym .
Zadanie Udowodni¢,»efunkcja:
2
f ( x,y,z )=( x + y,x − y )
f : R
3 ! R
jestprzekształceniemliniowym.
Przykład Funkcja: R [ x ] ! R [ x ],danawzorem( g )= g 0 jestprzekształ-
ceniemliniowym.
Przekształcenieliniowenazywanejestrównie» homomorfizmem przestrze-
niliniowych.Przekształcenieliniowe,któreprzekształcaprzestrze« V wsie-
bienazywa¢b¦dziemy operatoremliniowym .Je±liprzekształcenieliniowe
przestrzeniliniowychjestrównie»bijekcj¡tonazywa¢jeb¦dziemy izomor-
fizmem przestrzeniliniowych.
Zadanie Udowodni¢,»efunkcja f : R
3 ! R
3 nasiebie.
3 ! R danawzorem f ( x,y,z )= x + y + z jest
przykłademfunkconałuliniowego.
Je±li V i W s¡przestrzeniamiliniowyminadtymsamymciałem K toprzez
Hom( V,W )oznacza¢b¦dziemyzbiórwszystkichprzekształce«liniowych V
w W .
3
3 ,zadanawzorem f ( x,y,z )=
( x + y + z,y + z,z )jestizomorfizmemprzestrzeni R
Niech V b¦dzieprzestrzeni¡liniow¡nadciałem K ,wtedyprzekształcenie
liniowe,któreprzekształca V w K (jakojednowymiarow¡przestrze«)nazy-
wamy funkcjonałemliniowym
Przykład Funkcja f : R
Zadanie Wyznaczy¢Hom( R , R ).
Rozwi¡zanie We¹my f 2 Hom( R , R )iprzyjmijmy a := f (1).Wtedymamy
f ( x )= f ( x · 1)= xf (1)= xa dlaka»dego x 2 R .Zatemka»dyoperator
liniowywprzestrzeni R jestfunkcj¡ f ( x )= ax .
WzbiorzeHom( V,W )mo»nawprowadzi¢działaniadodawaniahomomor-
fizmówimno»eniahomomorfizmuprzezskalar.Sum¡funkcji f ( x )i g ( x )
jestfunkcja f ( x )+ g ( x ),ailoczynemliczby k przezfunkcj¦ f ( x )jestfunk-
cja kf ( x ).ZbiórHom( V,W )ztakokre±lonymidziałaniamijestprzestrzeni¡
liniow¡nadciałem K .
Zadanie Udowodni¢,»eprzestrze«Hom( R , R )jestizomorficznazprzestrze-
ni¡ R .
Rozwi¡zanie Jakstwierdzili±mywcze±niejzbiórHom( R , R )skadasi¦zfunk-
cji f ( x )= ax .Niech f ( x )= ax , g ( x )= bx ,wtedy f ( x )+ g ( x )=( a + b ) x ,
kf ( x )= kax .Zatemprzekształcenie,któreka»dejfunkcji f ( x )= ax przypo-
rz¡dkowujeliczb¦ a jestposzukiwanymprzeznasizomorfizmem.
Twierdzenie1 NiechVbedzieprzestrzeni¡liniow¡nadciałemKiniech
dim V = n< 1 .Wtedyprzestrze«Vjestizomorficznazprzestrzeni¡K n .
Dowód Poniewa»wymiarprzestrzeni V jestrówny n tow V istniejebaza
składaj¡casi¦z n wektorów.Niech B = { b 1 ,...,b n } b¦dziejak¡kolwiekba-
z¡przestrzeni V .Wtedyka»demuwektorowimo»naprzyporz¡dkowa¢jego
współrz¦dne( k 1 ,...,k n ) B wzgl¦dembazy B .Zatemnaszymodwzorowaniem
jestfunkcja:
( k 1 ,...,k n ) B ! ( k 1 ,...,k n )
Twierdzenie2 NiechVb¦dzieprzestrzeni¡liniow¡nadciałemKiniech
B = { b 1 ,...,b n } b¦dziebaz¡przestrzeniV.Wtedydladowolnejprzestrze-
niWnadciałemKidladowolnegoukładuwektoróww 1 ,...,w n 2 W
istniejedokładniejednoprzekształcenieliniowef : V ! W,»ef ( b 1 )=
w 1 ,...,f ( b n )= w n .
Dowód Niech v 2 V wtedyistniej¡skalary k 1 ,...,k n ,»e v = k 1 v 1 + ... + k n v n .
Wtedynaszeprzekształcenie f danejestwnast¦puj¡cysposób:
f ( k 1 v 1 + ... + k n v n )= k 1 w 1 + ... + k n w n
4
J¡droiobrazprzekształcenialiniowego
Niech f b¦dzieprzekształceniemliniowymprzestrzeni V wprzestrze« W .
Wtedyzbiórtychwektorów v ,dlaktórych f ( v )= 0 nazywamy j¡drem
przekształcenia f ioznaczamygoprzezKer( f ).Mamyzatem:
Ker( f )= { v 2 V : f ( v )= 0 }
Obrazemprzekształcenia f nazywamyzbiórtakichelementów w 2 W ,dla
którychistnieje v 2 V ,»e f ( v )= w ioznaczamygoprzezIm( f ).
Twierdzenie3 Niechf : V ! Wb¦dzieprzekształceniemliniowym.Wte-
dyKer ( f ) jestpodprzestrzeni¡przestrzeniV,aIm ( f ) jestpodprzestrzeni¡
przestrzeniW.
Dowód Je±li u,v 2 Ker( f )to f ( u )= f ( v )= 0 imamy:
f ( u + v )= f ( u )+ f ( v )= 0 + 0 = 0
zatem u + v 2 Ker( f ).Drugizwarunkówpodprzestrzenisprawdzasi¦po-
dobnie.
We¹myteraz w 1 ,w 2 2 Im( f ),wtedyistniej¡ v 1 ,v 2 2 V ,»e f ( v 1 )= w 1 ,
f ( v 2 )= w 2 imamy w 1 + w 2 = f ( v 1 )+ f ( v 2 )= f ( v 1 + v 2 ) 2 Im( f ).
5

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin