Algebra 0-10 wielomiany.pdf

(90 KB) Pobierz
19538064 UNPDF
Wykład10
Wielomianycd.
Niech f ( x ) ,g ( x ) 2 K [ x ]b¦d¡wielomianaminadciałem K .Wielomian
d ( x ) 2 K [ x ]nazywamy najwi¦kszymwspólnymdzielnikiem wielomia-
nów f ( x )i g ( x )je±li:
1. d ( x )jestunormowany,
2. d ( x ) | f ( x )i d ( x ) | g ( x ),
3.je±li c ( x )jestwielomianem,takim»e c ( x ) | f ( x )i c ( x ) | g ( x )tost c ¬ st d .
Piszemywtedy d ( x )=NWD( f ( x ) ,g ( x )).
Je±li f ( x )= q ( x ) g ( x )+ r ( x )toNWD( f ( x ) ,g ( x ))=NWD( g ( x ) ,r ( x )).
AlgorytmEuklidesa 1
Niechst f> st g ,wtedymo»emypodzieli¢wielomian f przez g zreszt¡,a
wi¦c:
f ( x )= q ( x ) g ( x )+ r ( x ) , 0 ¬ st r< st g,
mo»nazauwa»y¢,»eNWD( f ( x ) ,g ( x ))=NWD( g ( x ) ,r ( x )),mo»nawi¦ckon-
tynuowa¢procesdzieleniawielomianówzreszt¡:
g ( x )= q 1 ( x ) r ( x )+ r r ( x ) , 0 ¬ st r 1 < st r,
r ( x )= q 2 ( x ) r 1 ( x )+ r 2 ( x ) , 0 ¬ st r 2 < st r 1 ,
r 1 ( x )= q 3 ( x ) r 2 ( x )+ r 3 ( x ) , 0 ¬ st r 3 < st r 2 ,
...
ci¡gkolejnychresztmamalej¡cestopnie,awi¦cdojdziemydoreszty,której
stopie«b¦dzierówny0,zatem:
r n ( x )= q n +2 ( x ) r n +1 ( x )+ r n +2 ( x ) ,
r n +1 ( x )= q n +3 ( x ) r n +2 ( x )
Mo»nate»zauwa»y¢,»e
NWD( f ( x ) ,g ( x ))=NWD( r ( x ) ,r 1 ( x ))= ... =NWD( r n +2 ( x ) , 0) ,
zatemmamyNWD( f ( x ) ,g ( x ))= r n +2 ( x )atooznacza,»enajwi¦kszywspól-
nydzielnikdwóchwielomianówjestrównyostatniejniezerowejreszciew
powy»szymci¡gu.Podobniejakwprzypadkuliczbcałkowitychmo»na,na
podstawiepowy»szegoalgorytmu,rozwi¡zywa¢równanie(wielomianowe)po-
staci:
f ( x ) v ( x )+ g ( x ) u ( x )=NWD( f ( x ) ,g ( x )) .
1 Euklidesmatematykgrecki-dałpodwalinywspółczesnejgeometrii
1
Zadanie Wyznaczy¢NWD( x 2 ,x 5 + x +1).
Zadanie Wyznaczy¢liczb¦odwrotn¡do1+ 3 p
2+ 3 p
4.
x 3 − 2.Rozwa»mywielomian g ( x )=1+ x + x 2 .Wtedy g ( 3 p
2)=1+ 3 p
2+ 3 p
wi¦cwarto±¢wielomianu g ( x )wpunkcie 3 p 2jestrównyliczbie,któr¡chcemy
odwróci¢.Zastosujmyalgorytmeuklidesadowielomianów f ( x )oraz g ( x ):
4,a
x 3 − 2=( x − 1)( x 2 + x +1) − 1
st¡d
1=( x − 1)( x 2 + x +1) − ( x 3 − 2)
Popodstawieniu 3 p
2za x mamy:
1=( 3 p
2 − 1)(1+ 3 p
2+ 3 p
4)+(( 3 p
2) 3 − 2)
awi¦c
1=( 3 p
2 − 1)(1+ 3 p
2+ 3 p
4)
Tooznacza,»eliczb¡odwrotn¡do1=( 3 p
2 − 1)(1+ 3 p
2+ 3 p
4)jest 3 p
2 − 1
Macierze
Niech K b¦dziedowolnymciałeminiech m,n 2 N .Układ mn elementów
ciała K uło»onychwprostok¡tn¡tablic¦z m wierszyi n kolumnnazywamy
macierz¡nadciałem K ioznaczamy:
2
a 11 a 12 ...a 1 n
a 21 a 22 ...a 2 n
... ... ......
a m 1 a m 2 ...a mn
3
A =
6 6 6 4
7 7 7 5
gdzie a ij 2 K,i 2{ 1 ,...,m } ,j 2{ 1 ,...,n } .Czasemwskrócieb¦dziemy
pisa¢ A =[ a ij ] m × n .Element a ij poło»onyjestw i -tymwierszui j -tejkolumnie
macierzy A .
Przykład
2
15 − 30 , 5
27 0 3
− 111 , 2 4
3
A =
6 4
7 5
jestmacierz¡3 × 4owspółczynnikachzciała R .Naprzykład a 24 =3jest
elementemzdrugiegowierszaiczwartejkolumny.
2
Rozwi¡zanie Zauwa»my,»eliczba 3 p 2jestpierwiastkiem w ielomian u f ( x ) =
19538064.001.png 19538064.002.png 19538064.003.png 19538064.004.png
Zbiórwszystkichmacierzy m × n owspółczynnikachzciała K oznaczamy
przez M m,n ( K ).Wzbiorze M m,n ( K )mo»nawprowadzi¢działaniedodawania
+: 2
6 6 6 4
a 11 a 12 ...a 1 n
a 21 a 22 ...a 2 n
... ... ......
a m 1 a m 2 ...a mn
3
7 7 7 5 +
2
6 6 6 4
b 11 b 12 ...b 1 n
b 21 b 22 ...b 2 n
... ... ......
b m 1 b m 2 ...b mn
3
7 7 7 5 =
2
6 6 6 4
3
7 7 7 5
a 11 + b 11 a 12 + b 12 ...a 1 n + b 1 n
a 21 + b 21 a 22 + b 22 ...a 2 n + b 2 n
... ... ......
a m 1 + b m 1 a m 2 + b m 2 ...a mn + b mn
Przykład
2
310 − 2
218 − 2
532 1
3
2
1 − 10 2
− 2 11 2
4 − 30 − 1
3
2
4000
0290
9020
3
6 4
7 5 +
6 4
7 5 =
6 4
7 5
Twierdzenie1 Struktura ( M m,n ( K ) , +) jestgrup¡abelow¡.
Niech A b¦dzie m × n macierz¡,a B macierz¡stopnia n × k ,wtedymamy:
A =[ a ij ] m × n ,B =[ b ij ] n × k ,
mo»nawtedywprowadzi¢działaniemno»enia · :
A · B = C =[ c ij ] m × k ,
gdzie:
n X
c ij =
a il b lj .
l =1
Inaczejmówi¡celement c ij z i -tegowierszai j -tejkolumnymacierzy C po-
wstajeprzezwymno»enie i -tegowiersza[ a i 1 ,a i 2 ,...,a in ]macierzy A przez
2
3
b j 1
b j 2
. . .
b jn
j -t¡kolumn¦
6 6 6 6 4
7 7 7 7 5
macierzy B .Mamyzatem:
2
b j 1
b j 2
. . .
b jn
3
c ij =[ a i 1 ,a i 2 ,...,a in ] ·
6 6 6 6 4
7 7 7 7 5
= a i 1 b 1 j + a i 2 b 2 j + ··· + a in b nj .
3
Przeanalizujmymno»eniemacierzynaprzykładach:
Przykłady
1.
2
2
1
3
6
3
[2 , 3 , 4 , 5] ·
6 6 6 4
7 7 7 5 =[2 · 2+3 · 1+4 · 3+5 · 6]=[47] ,
poniewa»pierwszamacierzmawymiar1 × 4,adruga4 × 1towynikjest
macierz¡1 × 1.
2.
2
6 6 6 4
2
1
3
6
3
7 7 7 5 · [2 , 3 , 4 , 5]= C
jesttoiloczynmacierzy4 × 1i1 × 4,zatemwynikjestmacierz¡4 × 4.Mamy
wi¦c:
2
6 6 6 4
3
7 7 7 5
c 11 c 12 c 13 c 14
c 21 c 22 c 23 c 24
c 31 c 32 c 33 c 34
c 41 c 42 c 43 c 44
C =
gdzie:
c 11 = a 11 b 11 =2 · 2 c 12 = a 11 b 12 =2 · 3 c 13 = a 11 b 13 =2 · 4 c 14 = a 11 b 14 =2 · 5
c 21 = a 21 b 11 =1 · 2 c 22 = a 21 b 12 =1 · 3 c 23 = a 21 b 13 =1 · 4 c 24 = a 21 b 24 =1 · 5
c 31 = a 31 b 11 =3 · 2 c 32 = a 31 b 12 =3 · 3 c 33 = a 31 b 13 =3 · 4 c 34 = a 31 b 14 =3 · 5
c 41 = a 41 b 11 =6 · 2 c 42 = a 41 b 12 =6 · 3 c 43 = a 41 b 13 =6 · 4 c 44 = a 41 b 14 =6 · 5
zatem:
2
46810
2345
691215
12182430
3
C =
6 6 6 4
7 7 7 5
3.
2
6 4
1 35
− 1 02
4 − 11
3
7 5 ·
2
6 4
0 2 − 1
1 3 2
3 − 2 − 1
3
7 5 = C
Jesttoiloczyndwóchmacierzywymiaru3 × 3.Zatemwynikjestrównie»
macierz¡3 × 3imamy:
2
c 11 c 12 c 13
c 21 c 22 c 23
c 31 c 32 c 33
3
C =
6 4
7 5
4
gdzie:
c 11 = a 11 b 11 + a 12 b 21 + a 13 b 31 =1 · 0+3 · 1+5 · 3=18
c 12 = a 11 b 12 + a 12 b 22 + a 13 b 32 =1 · 2+3 · 3+5 · ( − 2)=1
c 13 = a 11 b 13 + a 12 b 23 + a 13 b 33 =1 · ( − 1)+3 · 2+5 · ( − 1)=0
c 21 = a 21 b 11 + a 22 b 21 + a 23 b 31 =( − 1) · 0+0 · 1+2 · 3=6
c 22 = a 21 b 12 + a 22 b 22 + a 23 b 32 =( − 1) · 2+0 · 3+2 · ( − 2)= − 6
c 23 = a 21 b 13 + a 12 b 21 + a 13 b 31 =( − 1) · ( − 1)+0 · 2+2 · ( − 1)= − 1
c 31 = a 31 b 11 + a 32 b 21 + a 33 b 31 =4 · 0+( − 1) · 1+1 · 3=2
c 32 = a 31 b 12 + a 32 b 22 + a 33 b 32 =4 · 2+( − 1) · 3+1 · ( − 2)=3
c 33 = a 31 b 13 + a 32 b 23 + a 33 b 33 =4 · ( − 1)+( − 1) · 2+1 · ( − 1)= − 7
5

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin