Algebra 0-07 ciało liczb zespolonych.pdf

(108 KB) Pobierz
19538515 UNPDF
Wykład7
Ciałoliczbzespolonychcd.
Interpretacjageometrycznaliczbyzespolonej
Ka»daliczbazespolona z = a + bi jestopisanaprzezpar¦liczbrzeczywi-
stych.Zatemmo»naj¡interpretowa¢jakopunkt(lubwektor)napłaszczy¹nie
owspółrz¦dnych( a,b ):
Im z
6
` b
`
z = a + bi
` a
- Re z
Odległo±¢liczby z odpocz¡tkuukładuwspółrz¦dnychnazywamy modu-
łemliczby z ioznaczamygoprzez | z | .
Je±li z = a + bi to | z | =
p
a 2 + b 2 .
a 2 =0.Zatem
rozwi¡zaniemrównanias¡wszystkieliczbyrzeczywistemniejszeodzera.
Własno±cimodułówliczbzespolonych
1. | z · w | = | z |·| w | ,
2.Je±li w 6 =0to | z w | = | z |
p
| w |
z + w ,wtedy | t | =1i t ( z + w )= | z + w |2 R.St¡dmamy:
| z + w | = t ( z + w )= tz + tw =Re( tz + tw )=
=Re( tz )+Re( tw ) ¬| tz | + | tw | = | z | + | w | ,
4. z · ¯ z = | z | 2 .
Zadanie Poda¢interpretacj¦geometryczn¡zbioru { z 2 C: | z | =1 } oraz
zbioru { z 2 C: | z − i | =1 } .
Rozwi¡zanie
{ z 2 C: | z | =1 } :
1
Zadanie Rozwi¡za¢równanie | z | + z =0.
Rozwi¡zanie Poniewa» | z | interpretujemyjakoodległo±¢,wi¦c | z |2 R.Wi¦c
je±li z = −| z | toIm( z )=0zatem z = a 2 R.St¡dmamy a +
3. | z + w |¬| z | + | w |
Dowód Niech t = | z + w |
19538515.008.png
 
Im z
6
` 1
- Re z
{ z 2 C: | z − i | =1 } :
Im z
6
`
i
- Re z
K¡t mi¦dzydodatni¡stron¡osiRe,apromieniemwodz¡cymliczby z
nazywamyargumentemtejliczbyioznaczamyprzezarg( z ).
Im z
6
z = a + bi
'$ Arg z
- Re z
&%
Argumentemliczbyzespolonejjestzbiórliczbrzeczywistychbonp.argu-
mentemliczby1+ i jestzbiór { 4 +2 k : k 2 Z } .
Argumentemgłównym liczby z nazywamytenzargumentówktóry
zawartyjestwprzedziale[0 , 2 ).Argumentgłównyliczby z oznaczamyprzez
Arg( z ),np.Arg(1+ i )= 4 .
Zadanie Narysowa¢napłaszczy¹niezbiór { z 2 C:Arg( z )= 2 3 } .
Rozwi¡zanie
2
`
19538515.009.png
Im z
6
A
A
A
A
A
A
- Re z
Je±li jestargumentemliczby z = a + bi tomamy:
cos = a
| z | , sin = b
| z |
Je±li z = a + bi 6 =0tomamy:
| z | + i b
!
z = | z |
= | z | (cos + i sin )
| z |
posta¢t¡nazywamy postaci¡trygonom etrycz n¡ li c zby z .
Przykład Niech z =1 − i ,wtedy | z | =
p
1 2 +1 2 =
p
2,
cos = 1 p
p
2 , sin = − 1 p
2
p
2
2
2 =
2 = −
st¡dArg( z )=2 − 4 = 7 4 ,awi¦cpostaci¡trygonometryczn¡liczby z =1 − i
jest:
p
cos 7
4 + i sin 7
z =1 − i =
2
4
.
| w | (cos( − )+ i sin( − )) .
Dowód
z · w = | z | (cos + i sin ) | w | (cos + i sin )=
| z || w | ((cos cos − sin sin )+ i (cos sin +cos sin ))=
| z || w | (cos( + )+ i sin( + )) ,
todajedowódpunktu1.
Punkt2.jestindukcyjnymuogólnieniempunktu1.,apunkt3.udowadnia
si¦podobniejakpunkt1.
Zadanie Wyznaczy¢liczb¦( − 1+ i p 3) 125 .
1 AbrahamdeMoivre1667-1754,matematykangielski
3
a
Niech z = | z | (cos + i sin ) ,w = | w | (cos + i sin )wtedymamy:
1. zw = | z || w | (cos( + )+ i sin( + )),
2. 8 n 2 N z n = | z | (cos( n )+ i sin( n ))(wzórMoivre’a 1 ),
3. z w = | z |
19538515.010.png 19538515.001.png 19538515.002.png
Rozwi¡zanie Szuka myp o stacitrygonometrycznejliczby z = − 1+ i p 3.
p
p
4=2,cos = − 1 2 , sin =
2 ,st¡dArg( z )=
3
− 3 = 2 3 .Zatem:
3 + i sin 2
z =2
3
.
Wykorzystuj¡cwzórMoivre’amamy:
z 125 =2 125
cos 2 · 125
3 + i sin 2 · 125
3
,
poniewa»2 · 125=250=3 · 83+1,to:
z 125 =2 125
cos 4
3 + i sin 4
=2 125
− 1
p
3
2
!
3
2 − i
.
Pierwiastkowanieliczbzespolonych
Liczb¦ w nazywamypierwiastkiem n -tegostopniazliczbyzespolonej z ,je±li
w n = z .
Twierdzenie1 Dladowolnejliczbyzespolonejz 6 =0 istniejedokładnien
ró»nychpierwiastkówstopnianzz.Je±liz = | z | (cos + i sin ) topier-
wiastkin-tegostopniazzwyra»aj¡si¦wzorami:
k = n q
cos +2 k
n + i sin +2 k
!
| z |
n
,
gdziek =0 , 1 ,...,n − 1 ,a n q | z | oznaczapierwiastekarytmetycznyzliczby
rzeczywistejdodatniej | z | .
Dowód Je±li w jest n -tympierwiastkiemz z = | z | (cos + i sin )i w =
| w | (cos + i sin )tozrówno±ci w n = z izewzoruMoivre’amamy:
( | w | n = | z | ,
n = +2 k
n ,je±li k>n tomo»emypodzieli¢ k przez n
zreszt¡.Otrzymamywtedy k = qn + r, 0 ¬ rlen ,imamy = +2 k
n =
n +2 q .Poniewa»sinicoss¡funkcjamiookresie2 wi¦c
parzyst¡wielokrotno±¢k¡ta mo»naodrzuci¢imamy = +2 r
n dla0 ¬
r<n .Łatworównie»sprawdzi¢,»edla k 6 = l mamy k 6 = l .
4
Mamy | z | = p 1+3=
cos 2
gdzie k 2 Z.St¡d = +2 k
+2( qn + r )
n = +2 r
19538515.003.png 19538515.004.png 19538515.005.png 19538515.006.png
Zadanie Wyznaczy¢wszystkiepierwiastkitrzeciegostopniazliczby i .
Rozwi¡zanie Przedstawiamyliczb¦ i wpostacitrygonometrycznej:
i =cos
2 + i sin
2 .
Zgodniezpowy»szymtwierdzeniempierwiastkamistopniatrzeciegozliczby
i s¡:
2 +2 k
2 +2 k
z k =cos
3 + i sin
3 ,
dla k 2{ 0 , 1 , 2 } .St¡dotrzymujemy:
2 + i 1 2 ,
z 1 =cos 5 6 + i sin 5 6 = −
p
3
2 + i 1 2 ,
z 2 =cos 9 6 + i sin 9 6 = − i.
p 3
5
z 0 =cos 6 + i sin 6 =
19538515.007.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin