Algebra 0-03 struktury algebraiczne.pdf

Wykład3

Strukturyalgebraiczne

III.Strukturyalgebraiczne

Struktur¡algebraiczn¡nazywamyzbiórwrazzpewnymidziałaniamiw

tymzbiorze.Struktur¦algebraiczn¡zapisujemywymieniaj¡czbiórorazdzia-

łanianp.(N , + , · )jeststruktur¡algebraiczn¡zło»on¡zNidwóchdziała«

dodawaniaimno»enia.Działa«wstrukturzealgebraicznejmo»eby¢sko«-

czenielubniesko«czeniewiele.

Wdalszymci¡gudziałanie b¦dziedziałaniembinarnym.

Dowoln¡struktur¦( G, )nazywamy grupoidem .

Grupoid( G, )nazywamy półgrup¡ je±lidziałanie jestł¡czne.

Półgrup¦( G, )nazywamy grup¡ je±li maelementneutralnyika»dy

elementjestodwracalny.

Inaczejmówi¡c( G, )jestgrup¡je±li:

(1) 8 a,b,c 2 Ga ( b c )=( a b ) c ,

(2)Istnieje e 2 G ,»e 8 a 2 Ae a = a e = a ,

(3) 8 a 2 G 9 a 0 2 Gaa 0 = a 0 a = e .

je±lidodatkowo

(4) 8 a,b 2 Ga b = b a

togrup¦nazywamy przemienn¡ lub abelow¡ .

Przykłady

(N , +)jestpółgrup¡iniejestgrup¡,

(Z , +)jestgrup¡abelow¡,

(R \{ 0 } , · )jestgrup¡abelow¡,

( S n , )jestgrup¡ije±li n> 2tojesttogrupanieabelowa.

Zbiór A = { e,a,b,c } zdziałaniem okre±lonymwtabelce:

eabc

eeabc

aaecb

bbcea

ccbae

jestgrup¡abelow¡.Ka»dyelementjestodwrotnysamdosiebie.

Twierdzenie1 Ka»dyelementgrupyposiadadokładniejedenelementod-

wrotny.

Dowód Zdeﬁnicjigrupywynika,»eka»dyelementposiadaelementodwrot-

ny.Przypu±¢my,»epewienelement a posiadadwaelementyodwrotne a 0 i a 00 .

Wtedy,je±li e oznaczaelementneutralny,mamy:

a a 0 = a 0 a = e

a a 00 = a 00 a = e

Korzystaj¡czpowy»szychrówno±ciizł¡czno±cidziałania,otrzymujemy:

a 0 = a 0 e = a 0 ( a a 00 ) (1) =( a 0 a ) a 00 = e a 00 = a 00 .

Cooznacza,»eelementodwrotnyjestdokładniejeden.

Elementodwrotnydo a oznaczamyprzez a − 1 .

Twierdzenie2 Je±li ( G, ) jestgrup¡to:

(i) 8 a 2 G ( a − 1 ) − 1 = a,

(ii) 8 a,b 2 G ( a b ) − 1 = b − 1 a − 1 .

Dowód

(i)Poniewa» a a − 1 = a − 1 a = e toelement a jestodwrotnydo a − 1 i

poniewa»elementodwrotnyjestwyznaczonyjednoznacznieto( a − 1 ) − 1 = a .

(ii)Wystarczysprawdzi¢,»eelement b − 1 a − 1 jestodwrotnydo a b .

Zadanie Wyznaczy¢elementyodwrotnedoelementówgrupy( S 3 , ).

Twierdzenie3 Je±li ( G, ) jestgrup¡to:

(i) a x = b x ) a = b,

(ii) x a = x b ) a = b.

Dowód

(i)Je±li a x = b x tomno»¡ctorównanieobustronniezprawejstrony

przez x − 1 otrzymujemy:

( a x ) x − 1 =( b x ) x − 1

a ( x x − 1 )= b ( x x − 1 )

a e = b e

a = b

(ii)Analogiczniejakpoprzednipunkt.

Twierdzenie4 Je±li ( G, ) jestgrup¡ia,b 2 Gtorównaniea x = bma

dokładniejednorozwi¡zaniewzbiorzeG.

Dowód Nietrudnojestzauwa»y¢,»eelement a − 1 b jestrozwi¡zaniemrów-

naniai»ejesttojedynerozwi¡zanietegorównania.

Je±ligrupajestabelowatodziałaniebinarnecz¦stozapisujemyprzypomocy

znaku+,elementodwrotnydo a nazywamyprzeciwnymizapisujemygow

postaci − a ,aelementneutralnyoznaczamyprzez0.

Systemalgebraiczny( R, , )nazywamy pier±cieniem je±li , s¡

działaniamibinarnymioraz:

(1)( R, )jestgrup¡abelow¡,

(2)( R, )jestpółgrup¡,

(3)działanie jestrozdzielnewzgl¦dem .

Dodatkowoje±li:

(4)działanie jestprzemiennetopier±cie«nazywamy pier±cieniemprze-

miennym ,aje±limno»enie posiadaelementneutralnytopier±cie«nazy-

wamy pier±cieniemzjedynk¡ (elementneutralnydziałania b¦dziemy

zwyklenazywa¢jedynk¡pier±cieniaioznacza¢gob¦dziemyzwykleprzez1).

Przykładamipier±cieniprzemiennychzjedynk¡s¡(Z , + , · ),(R , + , · ).Pó¹-

niejpoznamyrównie»przykładypier±cieninieprzemiennych.

Poniewa»struktura( R, )jestgrup¡abelow¡toistniejeelementneu-

tralnydziałania ika»dyelementjestodwracalnywzgl¦demtegodziałania.

Elementneutralnyoznacza¢b¦dziemyprzez0,aelementodwrotnydo x

nazywa¢b¦dziemyelementemprzeciwnymioznacza¢gob¦dziemyprzez − x .

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: