9.Wyznacznik macierzy.pdf

Rozdzial 9

Wyznacznik macierzy

9.1 Denicja i pierwsze wlasnosci

Niech A b edzie macierz a kwadratow a nad cialem K,

A = (a i;j ) i;j=1

2K n;n :

Denicja 9.1 (przez rozwini ecie Laplace'a)

Wynacznikiem macierzy kwadratowej nn nazywamy funkcj e

det n : K n;n !K;

zdeniowan a rekurencyjnie w nast epuj acy sposob:

(n = 1) det 1 (A) := det 1 ([a 1;1 ]) = a 1;1 ;

(n2) det n (A) :=

i=1 (1) i+n a i;n det n1 (A i;n ),

gdzie A i;n 2K n1:n1 jest macierz a powstal a z A poprzez usuni ecie z niej

i-tego wiersza i n-tej kolumny.

Zgodnie z denicj a mamy

det 2 (A) = a 1;1 a 2;2 a 1;2 a 2;1 ;

det 3 (A) = a 1;1 a 2;2 a 3;3 + a 1;2 a 2;3 a 3;1 + a 1;3 a 2;1 a 3;2

a 1;1 a 2;3 a 3;2 a 1;2 a 2;1 a 3;3 a 1;3 a 2;1 a 3;2 ;

det 4 (A) = ::::

ROZDZIAL 9. WYZNACZNIK MACIERZY

Wprost z denicji rekurencyjnej latwo rowniez zauwazyc, ze dla macierzy

identycznosciowej mamy det n (I n ) = 1. Ogolniej, jesli A jest macierz a rojk at-

n a doln a lub trojk atn a gorn a, A2TRIL n;n [TRIU n;n , to

det n (A) =

a i;i :

i=1

Jesli format macierzy jest znany lub nieistotny to dalej b edziemy dla

uproszczenia pisac det(A) zamiast det n (A).

Twierdzenie 9.1 Wyznacznik jest funkcj a liniow a ze wzgl edu na dowoln a

kolumn e macierzy, tzn.

det([a 1 ;:::;a p + a 0 p

0 ;:::;a n ])

= det([a 1 ;:::;a p ;:::;a n ]) + det([a 1 ;:::;a 0 p ;:::;a n ]) 0 ;

1pn.

Dowod. Rzeczywiscie, rownosc w oczywisty sposob zachodzi dla n = 1, a

dla n2 wystarczy osobno rozpatrzyc dwa przypadki, p = n i 1pn1,

oraz skorzystac z denicji rekurencyjnej.

Z twierdzenia 9.1 mamy od razu, ze det([:::;0;:::]) = 0. Natomiast

stosuj ac twierdzenie 9.1 kolejno do kazdej z kolumn macierzy otrzymujemy,

ze dla dowolnej macierzy diagonalnej D = diag( 1 ; 2 ;:::; n )

det(AD) = det([a 1 1 ;:::;a n n ]) = det(A) n

i : (9.1)

i=1

W szczegolnosci,

det n (A) = n det n (A)

oraz

det n (A) = (1) n det n (A):

9.2 Wyznacznik a operacje elementarne

9.2.1 Permutacja kolumn

Twierdzenie 9.2 Przestawienie roznych kolumn macierzy zmienia znak wy-

znacznika, tzn. dla dowolnej transpozycji T p;q , p 6= q,

det(AT p;q ) =det(A):

9.2. WYZNACZNIK A OPERACJE ELEMENTARNE

Dowod. (Indukcja wzgl edem n.)

Dla n = 1; 2 wzor sprawdzamy bezposrednio z denicji. Dla n3 rozpatru-

jemy trzy przypadki.

(a) 1p < qn1.

Korzystaj ac z zalozenia indukcyjnego mamy

det n (AT p;q ) =

(1) i+n a i;n det n1 ((AT p;q ) i;n )

i=1

= n

(1) i+n a i;n det n1 (A i;n )

i=1

=det n (A):

(b) p = n1, q = n.

Stosuj ac dwukrotnie rozwini ecie Laplace'a dostajemy

det n (A) =

(1) i+n a i;n det n1 (A i;n )

i=1

(1) i+n

(1) k+(n1) a k;n1 det n2 (A fi;kgfn1;ng )

i=1

k=1

(1) (k1)+(n1) a k;n1 det n2 (A fi;kgfn1;ng )

(1) i+k a i;n a k;n1 det n2 (A fi;kgfn1;ng )

k<i

(1) i+k a i;n a k;n1 det n2 (A fi;kgfn1;ng );

i<k

gdzie A fi;kgfn1;ng jest macierz a powstal a z A poprzez usuni ecie wierszy i-tego

i k-tego oraz kolumn (n1)-szej i n-tej. Wykonuj ac to samo dla macierzy A

T p;q otrzymujemy ten sam wzor, ale z odwroconymi znakami przed symbolami

sumowania.

W tym przypadku wystarczy zauwazyc, ze

AT p;n = AT p;n1 T n1;n T p;n1

i skorzystac dwukrotnie z (a) i raz (b).

k=i+1

ROZDZIAL 9. WYZNACZNIK MACIERZY

Z twierdzenia 9.2 wynika w szczegolnosci, ze wyznacznik macierzy trans-

pozycji T p;q z p 6= q wynosi1.

Wyznacznik mozna rozwijac nie tylko wzgl edem ostatniej, ale rowniez

wzgl edem dowolnej kolumny.

Twierdzenie 9.3 Dla dowolnego n2 i 1jn mamy

det n (A) =

(1) i+j a i;j det(A i;j ):

i=1

Dowod. Jesli j = n1 to

det n (A) =det n (AT n1;n )

= n

(1) i+n a i;n1 det n1 (A i;n1 )

i=1

(1) i+n1 a i;n1 det n1 (A i;n1 ):

i=1

Dalej, korzystaj ac z prawdziwosci rozwini ecia dla j = n1, pokazujemy

podobnie prawdziwosc rozwini ecia dla j = n2, itd., az do j = 1.

9.2.2 Kombinacja liniowa kolumn

Z twierdzenia 9.2 od razu otrzymujemy

det([:::;a;:::;a;:::]) = 0:

St ad i z liniowosci wyznacznika wzgl edem dowolnej kolumny wynika, ze wy-

znacznik nie ulegnie zmianie gdy do kolumny dodamy inn a kolumn e po-

mnozon a przez skalar, tzn.

det([a 1 ;:::;a p1 ;a p + a q m;a p+1 ;:::;a n ])

= det([a 1 ;:::;a p1 ;a p ;a p+1 ;:::;a n ]):

Uogolnieniem ostatniej wlasnosci jest nast epuj aca.

Twierdzenie 9.4 Jesli do p-tej kolumny dodamy kombinacj e liniow a pozo-

stalych kolumn to wyznacznik macierzy nie ulegnie zmianie, tzn.

a 1 ;:::;a p1 ;a p +

det

a j m j ;a p+1 ;:::;a n

j6=p

= det([a 1 ;:::;a p1 ;a p ;a p+1 ;:::;a n ]):

9.3. DALSZE WLASNOSCI WYZNACZNIK OW

Zauwazmy, ze ostatni a rownosc mozna symbolicznie zapisac jako

det(A(I + ma p )) = det(A); o ile e p m = 0:

Wniosek 9.1 Jesli macierz A jest osobliwa to det(A) = 0.

Dowod. Jesli A nie jest pelnego rz edu to jedna z kolumn, powiedzmy p,

jest kombinacj a liniow a pozostalych kolumn. Odejmuj ac od p-tej kolumny t a

kombinacj e liniow a otrzymujemy macierz A 0 o tym samym wyznaczniku co

A i o zerowej p-tej kolumnie. St ad det(A) = det(A 0 ) = 0.

9.3 Dalsze wlasnosci wyznacznikow

9.3.1 Wyznacznik iloczynu macierzy

Jak wiemy, kazd a macierz trojk atn a doln a L2TRIL n;n z jedynkami na

glownej przek atnej mozna przedstawic jako iloczyn

L = I n +l 1 e 1 ++l n1 e n1 = (I n +l 1 e 1 )(I n +l n1 e n1 );

gdzie l j = [0;:::; 0

;l j+1;j ;:::;l n;j ] T , 1jn1. Na podstawie twierdzenia

9.4 mamy wi ec, ze

det(AL) = det(A): (9.2)

Podobnie, wyznacznik nie ulegnie zmianie gdy macierz pomnozymy z prawej

strony przez macierz trojk atn a gorn a z jedynkami na glownej przek atnej.

Niech teraz W2TRIL n;n [TRIU n;n . Jesli wszystkie wyrazy na przek atnej

s a niezerowe, w i;i 6= 0, 1in, to

W = W 1 diag(w 1;1 ;:::;w n;n );

gdzie W 1 2TRIL n;n [TRIU n;n z jedynkami na glownej przek atnej. Stosuj ac

kolejno (9.1) i (9.2) (z macierz a odpowiednio trojk atn a gorn a albo trojk atn a

doln a) dostajemy

det(AW) = det(AW 1 ) n

w i;i = det(A) n

w i;i : (9.3)

i=1

Jesli zas w k;k = 0 dla pewnego k to W jest osobliwa, a st ad osobliwa jest

rowniez macierz AW i rownanie det(AW) = det(A)

i=1 w i;i pozostaje

w mocy.

Mozemy teraz pokazac nast epuj ace twierdzenie

| {z }

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: