3ci+gi funkcyjne.pdf

(390 KB) Pobierz
166835841 UNPDF
Ciągi funkcyjne
Niech X – zbiór,
Y,d – przestrzeń metryczna.
oraz niech ∀ n ∈ℕ f n : X Y ,
czyli określony jest ciąg funkcyjny f n n ∈ℕ .
Niech f : X Y.
Definicja
Mówimy, że ciąg funkcyjny f n n ∈ℕ zmierza punktowo do funkcji f na zbiorze X ,
jeśli dla każdego x ∈ X ciąg f n x  n ∈ℕ zmierza do f x w przestrzeni Y
z metryką d , tzn.
f n
X
f : ⇔ ∀ x ∈ X lim
n ∞
d f n x ,f x =0 ⇔
⇔ ∀ x ∈ X ∀0 ∃ n 0 ∈ℕ ∀ n n 0 d f n x ,f x 
Funkcję f nazywamy funkcją graniczną .
Definicja
Ciąg f n n ∈ℕ zmierza jednostajnie do f na zbiorze X , gdy:
X
f n : ⇔ ∀0 ∃ n 0 ∈ℕ ∀ n n 0 ∀ x ∈ Xd f n x ,f x 
f
Niech
X , Y – przestrzenie metryczne,
f n : X Y ,
f : X Y .
Definicja
Ciąg f n n ∈ℕ zmierza niemal jednostajnie do funkcji f na zbiorze X , gdy:
f n f : ⇔ ∀ E ∈ Comp X f n f
Comp X
E
Uwaga
- zbieżny jednostajnie ⇒ f n n ∈ℕ - zbieżny niemal jednostajnie ⇒ f n n ∈ℕ -
zb i e żn y pu nktow o .
- 1 -
f n n ∈ℕ
166835841.011.png
Przykład
Niech X =[0 ; 1]
oraz niech f n x = x n dla n ∈ℕ.
1.2
y
f(x)=x
f(x)=x^2
f(x)=x^3
f(x)=x^4
f(x)=x^5
f(x)=0.15
f(x)=-0.15
Series 1
1
0.8
0.6
f 1
f 2
0.4
f 1
f 3
f 5
f 2 f 3 f 5
0.2
f 4
f 4
x
x
-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
1
−
-0.4
-0.6
-0.8
Ponieważ
{
więc ciąg f n n ∈ℕ jest zbieżny punktowo. Natomiast nie jest zbieżny jednostajnie , bo dla
wykres żadnej z funkcji f n nie znajduje się w całości w pasie
-1
lim
n ∞
x n =
0 dla x ∈ [ 0,1 )
1 dla x =1
-1.2
x ∈ [ 0 , 1 )
[ 0 , 1 ) ×− , .
Zbadajmy teraz w X = [ 0 , 1 ) zbieżność niemal jednostajną ciągu funkcyjnego f n n ∈ℕ .
Niech E ∈ Comp X . Stąd na podstawie twierdzenia charakteryzującego zbiory zwarte w
przestrzeni standardowej, zbiór E jest domknięty i ograniczony, tzn.
E =[ a ; b ] , gdzie 0≤ a ≤ b 1 .
Ponieważ 0≤ d x n , 0≤ b n 1 oraz lim
n ∞
b n =0 zatem z twierdzenia o 3 ciągach wynika, że
lim
n ∞
d x n , 0=0,
a stąd wynika, że f n f .
E
Zatem f n n ∈ℕ jest zbieżny niemal jednostajnie w X = [ 0 , 1 ) .
- 2 -
y
e
−
-e
-0.2
166835841.012.png 166835841.013.png 166835841.014.png 166835841.001.png
y
f(x)=x
f(x)=x^2
f(x)=x^3
f(x)=x^4
f(x)=x^5
Series 1
Series 2
1.5
1
0.5
a b
x
-0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8
a b
x
−
-0.5
Twierdzenie (o ciągłości funkcji granicznej )
∀ n ∈ℕ f n ∈ C X
} ⇒ f ∈ C X
f n f
Wniosek
Jeśli funkcja graniczna ciągu funkcyjnego funkcji ciągłych nie jest ciągła, to ciąg nie jest
zbieżny jednostajnie.
- 3 -
y
E
X
166835841.002.png 166835841.003.png 166835841.004.png 166835841.005.png 166835841.006.png
Przykład c.d.
Jeżeli f n x = x n , X =[0 ; 1] , to
f x =
{
0 dla x ∈ [ 0 ; 1 ,
1 dla x =1 ,
a wtedy f n ∈ C X i f ∉ C X
zatem
X
f n
f .
T w i e r d z e ni e
Niech f n n ∈ℕ ⊂ B ( X,Y ), gdzie B ( X , Y ) = { f | f : X Y, f − funkcja graniczna}.
Wtedy
X
f ⇔ lim
n ∞
d sup f n ,f =0
f n
Przykład
Zbadać zbieżność jednostajną ciągu f n : ℝℝ , gdzie f n x = nxe − nx 2
oraz określić obszary zbieżności punktowej D p i jednostajnej D j .
I. Aby zbadać zbieżność punktową, wybierzmy x ∈ℝ.
W t e d y
{
lim
n ∞
f n x = lim
n ∞
nxe − nx 2
=
0 , gdy x =0 ,
0 , gdy x ≠0 ,
bo dla x ≠0 mamy:
lim
e nx 2 = [ ∞ ] H lim
x 2 e nx 2 = lim
x
xe nx 2 =0.
1
n ∞
n ∞
n ∞
Zatem
∀ x ∈ℝ lim
n ∞
f n x =0 ⇒ f ≡0 ⇒ D p =ℝ.
II. Sprawdzamy, czy f n f .
f n ∈ C
f n − x =− f n x , tzn. f jest funkcją nieparzystą
} ⇒ f n ∈ B ℝ , ℝ
lim
x ∞
f n x = lim
x ∞
e nx 2 =
H
lim
x ∞
2 nxe nx 2 =0
n
Dla dowolnego n ∈ℕ mamy
d sup f n ,f = sup
x ∈ℝ ∣ f n x − f x ∣= sup
x ∈ℝ ∣ f n x ∣= sup
x ∈ [ 0 ; ∞ )
f n x
- 4 -
X
nx
nx
166835841.007.png 166835841.008.png
Aby wyznaczyć kres górny wartości funkcji f n , zbadajmy jej ekstrema lokalne.
Ponieważ
f n ' x = ne − nx 2
−2 n 2 x 2 e − nx 2
= n 1−2 nx 2 e − nx 2
=0
1−2 nx 2 = 0
1
x =±
2 n
min
max
−
1 2 n
1 2 n
x
zatem
f n max = f n
1
2 n = n 2 e .
Stąd
{ n 2 e , 0 } = n 2 e ,
sup
x ∈ℝ ∣ f n x ∣= max { f n max , lim
f n x }= max
x ∞
więc
n 2 e =∞≠0 ⇒ f n f
lim
n ∞
d sup f n , f = lim
n ∞
Wykażemy, że D j = ( −∞ ;a ] ∪ [ b; ∞ ), gdzie a 0 b.
- 5 -
min
max
x
1 2 n
1 2 n
−
166835841.009.png 166835841.010.png
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin