04. Całka podwójna w obszarze normalnym.pdf

(160 KB) Pobierz
Całka podwójna w obszarze normalnym
CAŁKA PODWÓJNA W OBSZARZE NORMALNYM
Definicja ( obszaru normalnego )
Obszar domknięty
__
D określony nierównościami:
 
x
 
y
 
x
,
a
x
b
,
gdzie
,
C
  ,
 
a
,
b
nazywamy obszarem normalnym względem osi OX .
y
d
P
y=ψ(x)
D
y=φ(x)
c
a
x
b
x
Aby zdefinować całkę funkcji f ciągłej w obszarze normalnym
__
D rozważmy prostokąt P,
P= [ a,b ][ c,d ], gdzie
c
:
x
inf
 
,
b
 
x
,
d
:
sup
  ,
x
 
a
b
i zdefiniujmy nową funkcję:
f
*
 
x
,
y
:
f
 
x
,
y
,
gdy
 
 
x
,
y
D
,
0
gdy
x
,
y
P
\
D
.
Ponieważ
f
C
__
D
zatem f * jest ciągła, ewentualnie poza zbiorem punktów położonych na
krzywych y=ψ(x) i y=φ(x), tzn. poza zbiorem miary zero. Zatem f * jest całkowalna w
prostkącie P.
Definiujemy
 

f
x
,
y
dxdy
:

f
*
  .
x
,
y
dxdy
D
P
Stosując wzór o zamianie całki podwójnej po prostokącie na całkę iterowaną
otrzymujemy:
b
d
b
 
 
 
 

f
*
x
,
y
dxdy
dx
f
*
x
,
y
dy
dx
f
x
,
y
dy
.
 
P
a
c
a
x
Stąd
b
 
x
 
 

f
x
,
y
dxdy
dx
f
x
,
y
dy
.
 
D
a
x
Uwaga
Brzeg obszaru D jest zbiorem miary zero, więc nie ma znaczenia czy go włączymy do obszaru
całkowania czy nie.
1
x
a
,
x
35153128.021.png 35153128.022.png 35153128.023.png
Definicja
Obszar dokmnięty D określony nierównościami
 
y
x
  ,
c
y
d
,
gdzie
,
C
  ,
c
,
d
nazywamy obszarem normalnym względem osi OY.
y
d
x=α(y)
D x=β(y)
c
x
Analogicznie określamy całkę funkcji ciągłej w obszarze D normalnym względem OY i
wtedy
 
d
 
y
 

f
x
,
y
dxdy
dy
f
x
,
y
dx
.
D
c
 
y
Definicja
Ob s zar do km nięty D nazywamy obszarem regularnym , jeśli jest sumą
obszarów normalnych względem osi OX lub względem osi OY , które
nie mają wspólnych punktów wewnętrznych.
D
1
D
2
...
D
n
Defini cja
Niech D - obs za r regularny,
 
f
C
D
.
Wtedy
 

n
 

f
x
,
y
dxdy
f
x
,
y
dxdy
i D
1
D
i
Uwaga
Prawdziwe są wszystkie własności całki podwójnej, gdy prostokąt P zastąpimy obszarem
regularnym D, tzn.
– liniowość
– addywność względem obszaru całkowania
– ograniczoność całki
2
y
 
D
:
35153128.024.png 35153128.001.png
 
Przykład
Obliczyć całkę podwójną
I

dxdy
,
gdzie
D – obszar ograniczony krzywymi
x
2 y
2
D
i
x
y
2
1
Wyznaczamy punkty ( x , y ) przecięcia parabol
x
2 y
2
i
x
y
2
1
:
y
1
x
2
i zaznaczamy obszar D
D jest obszarem normalnym względem OY,
D
:
1
y
1
2
y
2
x
y
2
1
Zatem możemy całkę podwójną zamienić na całkę iterowaną:
2
y
2
1
1
1
y
1
1
1
2
4
 
I
dy
dx
x
dy
1
y
2
dy
y
y
3
2
3
3
3
1
2
y
2
1
2
y
2
1
1
Uwaga
Powyższy obszar D nie jest normalny względem OX , ale można go podzielić na na trzy
obszary normalne względem OX i wtedy

dxdy

dxdy

dxdy

dxdy
D
D
D
D
1
2
3
x
x
1
2
2
2
2
x
1
1
2
2
dx
dy
dx
dy
dx
dy
2
x
dx
2
x
dx
2
x
1
dx
0
x
1
x
1
1
x
0
1
1
2
2
3
1
3
2
3
2
2
2
2
2
2
8
2
2
4
4
2
x
2
2
x
2
2
(
x
1
2
3
3
3
3
3
3
3
3
0
1
1
3
1
35153128.002.png 35153128.003.png 35153128.004.png 35153128.005.png 35153128.006.png 35153128.007.png 35153128.008.png 35153128.009.png 35153128.010.png 35153128.011.png 35153128.012.png 35153128.013.png 35153128.014.png 35153128.015.png
Twierdze n i e ( o zamianie zmiennych w całce podwójnej )
Z: Niech D
- obszar y r egularne w R 2 ,
,
:
 
D
,
     
u
,
v
u
,
v
,
u
,
v
dla
(
u
,
v
)
.
T: Jeśli 1 O odwzorowanie przekształca wzajemnie jednoznacznie (różnowartościowo)
wnętrze obszaru Δ na wnętrze obszaru D,
: 
int
bijekcja int
D
2 O
,
C
1
 
,
gdzie
jest
obszarem,
 
f
4 O jakobian
C
D
J odwzorowania jest niezerowy w obszarze Δ ,
J
det
u
v
0
u
v
to
 

f
x
,
y
dxdy

f
   
u
,
v
,
u
,
v
J
T
dudv
.
D
v
y
f (o wartościach w R )
D
Δ
dziedzina odwzorowania f
u
x
określa podstawienie w całce
4
suriekcja
3 O
35153128.016.png 35153128.017.png 35153128.018.png
Uwaga
Odwzorowanie brzegu obszaru Δ na brzeg obszaru D nie musi być wzajemnie
jednoznaczne.
Np. odwzorowanie wprowadzające zmienne biegunowe
x
r
cos
,
gdzie
r
0
2
y
r
sin
nie jest bijektywne, bo jeżeli r= 0, to x=y= 0; i cały odcinek I ={(0, φ ), gdzie  
}
przechodzi w punkt (0,0).
Wyznaczmy jakobian odwzorowania wprowadzającego współrzędne biegunowe,
x
x
r
cos
r
sin
J
det
det
r
y
y
sin
r
cos
r
Uwaga
Zmiana kolejności zmiennych daje zmianę kolejności kolumn macierzy Jacobiego, a wtedy
jakobian zmienia się na przeciwny,
x
x
J
det
r
r
y
y
r
Jednak w twierdzeniu o zamianie zmiennych w całce podwójnej występuje moduł jakobianu
zatem zmiana kolejności zmiennych nie ma znaczenia.
5
0
 2
0
35153128.019.png 35153128.020.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin