wariacje.pdf

Rozdział7

Rachunekwariacyjny

1Typowyproblemwariacyjny

Pocz¡tki rachunku wariacyjnego to koniec 17. wieku. W 1696 roku, Jan Bernoulli w ActaEruditorum 1

wezwał „najt¦»szych matematyków ±wiata” do rozwi¡zania zagadnieniabrachistochrony : znalezienia rów-

nania krzywej, po której porusza si¦ punkt materialny pod wpływem sił ci¦»ko±ci, a która ma własno±¢

zminimalizowania czasu podró»y pomi¦dzy dwoma, dowolnie zadanymi, punktami 2 . Problem ten dobrze

ilustruje podstawowe zagadnienie rachunku wariacyjnego, jakim jest znalezienie ekstremum (praktycznie

zawsze to b¦dzie minimum) funkcjonału – wielko±ci wyra»onej przy pomocy całki, której warto±¢ zale»y od

drogicałkowania , a wi¦c postaci krzywej ł¡cz¡cej dwie konkretne warto±ci zmiennej całkowania.

W problemie brachistochrony zmienn¡ x – zmienn¡niezale»n¡ – jest odległo±¢ „w poziomie” pomi¦dzy

poło»eniami punktu; poło»enie „w pionie” y = y ( x ) to zmiennazale»na . Dwoma punktami, pomi¦dzy któ-

rymi przebiega droga całkowania, s¡ punkt „startu” ( x s ,y s ) i punkt „mety”: ( x m ,y m ) – wi¦zy narzucone na

ruch

y s = y ( x s ) , y m = y ( x m ) . (7.1)

Nasze zadanie to znalezienie równania krzywej y = y ( x ), które musi spełnia¢ wi¦zy ( 7.1 ) i minimalizuje

całkowity czas T podró»y, który mo»emy przedstawi¢ w postaci całki

Z x m ,y m

v ,

T =

dt =

(7.2)

x s ,y s

gdzie ds to element drogi, a v – pr¦dko±¢ podró»uj¡cego ciała. Warto±¢ tej ostatniej obliczamy z prawa

zachowania energii

v = v ( y ) =

2 g ( y s − y );

(7.3)

z kolei

ds =

dx 2 + dy 2 =

1 +

dx =

1 + y 2 x dx,

(7.4)

gdzie przez y x b¦dziemy oznacza¢ dy/dx . Po podstawieniu z ( 7.3 ) i ( 7.4 ) do ( 7.1 ) mamy 3

T =

Z x s

p 2 g ( y s − y ) dx.

p 1 + y 2 x

(7.5)

x m

Okre±lenie krzywej najszybszego spadku, to wybranie, spo±ród niesko«czenie wielu mo»liwych trajektorii

ł¡cz¡cych punkt ( y s ,x s ) („start”) z punktem ( x m ,y m ) („meta”) tej, która minimalizuje wyra»enie ( 7.5 ).

1 Byłtopierwszyniemieckiperiodyknaukowy.Ukazywałsi¦onrazwmiesi¡cuibyłwydawanywLipsku,wlatach1682–1782,

przezOttoMenkeijegosynaJohanna.Tennaukowymiesi¦cznikwydawanybyłpołacinie,apublikowaliwnimnajlepsiuczeni,

»yj¡cywtym–jak»eproduktywnym–stuleciu.

2 Brachistochron¡jest–jakwiemyizarazzobaczymy–cykloida.Jestonazarazem izochron¡ albo tautochron¡ –czaspodró»y

b¦dzietakisamdlaró»nych(le»¡cychnaró»nychwysoko±ciach)punktówstartowych.Nazwywywodz¡si¦zj¦zykagreckiego:

brakhus –krótki; tauto –takisam; isos –równy,tensam; chronos –czas.Empirycznieproblemtenbyłju»znanyChristianowi

Huyghensowi,którywykorzystywałizochronizmcykloidydokonstrukcjizegarów.Problembrachistochronyrozwi¡zali:Newton,

Leibniz,del’Hospital(n.b.ucze«JanaB.)oraz„wielkibratJana”,JakubBernoulli.Zciekawostek:Jakubznałprawidłow¡

odpowied¹ju»odpewnegoczasu,izachodz¡podejrzenia,»ejego(młodszy)brat...zapoznałsi¦zni¡przedogłoszeniem

konkursu.Leibniznietylkorozwi¡załproblem,alepodał(prawidłowo!)nazwiskawszystkichmatematyków,którzyznimsi¦

uporaj¡.Newton,b¦d¡cyju»wnienajlepszejkondycjipsychicznej,pootrzymaniuwyzwaniazamkn¡łsi¦nacaływieczórwswojej

pracowniiwyszedłzniejo4.ranozgotowymrozwi¡zaniem.

3 „Wymiana”graniccałkowaniatokonsekwencjaantyrównoległo±ci wektorów ds i v .

–Rachunekwariacyjny

2Rachunekwariacyjny–jednazmiennaniezale»naijednazmienna

zale»na

Sformułowany w poprzednim podrozdziale problem ilustruje najprostszy przypadek rachunku wariacyjnego,

kiedy mamy do czynienia z jedn¡ funkcj¡ – jedn¡zmienn¡zale»n¡ – y = y ( x ), b¦d¡c¡ funkcj¡ (tylko !)

jednejzmiennejniezale»nejx . Wyst¦puj¡ca pod znakiem całki funkcja f zale»y od obu zmiennych, zale»nej

i niezale»nej, a tak»e od pochodnej dy/dx y x . Ogólne sformułowanie problemu wariacyjnego sprowadza

si¦ do znalezienia y = y ( x ), dla której funkcjonał J , okre±lony jako

J =

Z x 2

y ( x ) , dy

dx ,x

dx,

(7.6)

x 1

przyjmuje warto±¢ ekstremaln¡. Tak¡ drog¦ całkowania oznaczamy y ( x ). W kontek±cie rozwa»a« mechanicz-

nych mo»emy nazwa¢ j¡ trajektori¡rzeczywist¡ . Dla ka»dej warto±ci zmiennej x z przedziału ( x 1 ,x 2 ) zdeﬁ-

niujmy trajektori¦porównawcz¡ Y ( x ), przebiegaj¡c¡ w bezpo±rednim s¡siedztwie y ( x ).

Podkre±lmy, »e wszystkie trajektorie przechodz¡

przez narzucone punkty ( x 1 ,y 1 ) i ( x 2 ,y 2 ) – por.

rys. 7.1 .

Odchylenie trajektorii porównawczej od rzeczy-

wistej w punkcie x nazywamy wariacj¡funkcjiy

i oznaczamy

y = y ( x ) = Y ( x ) − y ( x ) . (7.7)

Ze wzgl¦du na narzucone warto±ci y 1 = y ( x 1 ) =

Y 1 ( x 1 ) oraz y 2 = y ( x 2 ) = Y 2 ( x 2 ) dla ko«ców prze-

działu mamy

y ( x 1 ) = y ( x 2 ) = 0 .

(7.8)

Podobnie mo»emy wprowadzi¢, ró»niczkuj¡c

obie strony ( 7.7 ), wariacj¦ pochodnejfunkcjiy(x)

dy/dx

Rysunek 7.1: Trajektoria rzeczywista y ( x ), minimali-

zuj¡ca warto±¢ funkcjonału J i trajektoria porównaw-

cza Y ( x ), obie przechodz¡ce przez y ( x 1 ) = Y ( x 1 ) y 1

oraz y ( x 2 ) = Y ( x 2 ) y 2 .

dx y. (7.9)

Dla funkcji f , b¦d¡cej w ogólnym przypadku

funkcj¡ y i y x , wariacja f b¦dzie si¦ wyra»ała przez

wariacje y i y x 4

y x = dY ( x )

dx − dy ( x )

= d

f f ( x ) = f

Y ( x ) , dY

dx ,x

− f

y ( x ) , dy

dx ,x

= @f

@y y +

@y x y x .

(7.10)

Konsekwentnie wariacjafunkcjonału b¦dzie okre±lona jako

J = J ( Y,Y x ,x ) −J ( y,y x ,x ) =

Z x 2

Y ( x ) , dY

dx ,x

− f

y ( x ) , dy

dx ,x

x 1

Z x 2

@y y +

(7.11)

@y x

dx y

dx.

x 1

Dla trajektorii y ( x ) realizuj¡cej minimum J , wariacja wielko±ci J musi by¢ równa zeru. Mamy tu analo-

giczn¡ sytuacj¦ jak w przypadku „zwykłego” warunku ekstremum dla funkcji g = g ( x ) – aby g ( x ) osi¡gało

ekstremum musi by¢ dg = 0 . Warunkiem dla trajektorii rzeczywistej b¦dzie wi¦c

J =

Z x 2

@y y +

@y x

dx y

dx = 0 .

(7.12)

x 1

4 Wwyra»eniuna wariacj¦ funkcji f nie wyst¦puje pochodnacz¡stkowa @f/@x –zmianyfunkcjonałuwynikaj¡bowiem

zodst¦pstwa– przy ustalonej warto±ci x –trajektoriiporównawczejodrzeczywistej.Inaczejmówi¡c:nazmian¦funkcjonału

maj¡wpływwariacjefunkcji y ijejpochodnej y x ,ale„wariacja” x =0.

–Rachunekwariacyjny

Drugi człon w funkcji podcałkowej „zaprasza” do całkowania przez cz¦±ci. Mamy

Z x 2

@y x

dx ydx =

Z x 2

@y x y

− y d

@y x

x 1

Z x 2

(7.13)

@y x y

x = x 2

y d

@y x dx.

−

x = x 1

x 1

W tym momencie wykorzystujemy „warunek wi¦zów” ( 7.8 ) – z całki ( 7.13 ) pozostaje tylko drugi wyraz

i całka wyj±ciowa ( 7.12 ) przybiera posta¢

J =

Z x 2

@y − d

@y x

ydx ;

(7.14)

x 1

warunek zerowania si¦ jej dostarcza – z uwagi na zupełn¡dowolno±¢wwyborzenaszychwariacji y –

równania na szukan¡ trajektori¦ rzeczywist¡ y ( x ) 5 .

@y − d

@y x

y ( x ) = 0 ,

(7.15)

albo

@y − d

@y x = 0 .

(7.16)

Równanie ( 7.16 ) nosi nazw¦ równania Eulera-Lagrange’a (E-L) 6 . Wyst¦puje ono w ró»nych postaciach,

które maj¡ swoje zastosowanie w pewnych, specyﬁcznych przypadkach. Na przykład obliczaj¡c

dx = @f

@y y x +

@y x y xx + @f

oraz

y x @f

@y x

= y xx @f

@y x + y x d

@y x

zweryﬁkujemy łatwo, »e

@x − d

f ( x ) − y x @f

@y x

= − y x

@y − d

@y x

a je»eli tak to alternatywna posta¢ równania Eulera-Lagrange’a to wła±nie

@x − d

f ( x ) − y x @f

@y x

= 0 .

(7.17)

Jest ona szczególnie przydatna, je»eli funkcja f ( x ) nie zale»y explicite od x , gdy» wtedy równanie E-L

przybiera ju» całkiem prost¡ posta¢

f ( x ) − y x @f

@y x = pewna stała .

(7.18)

Nie zapominajmy, »e w równaniu ( 7.16 ) lub ( 7.18 ) dysponujemy jawn¡ postaci¡ funkcji f , natomiast

szukan¡ funkcj¡ jest „rzeczywista trajektoria” y ( x ).

Jako przykład zastosowania równania Eulera-Lagrange’a rozwi¡»emy do ko«ca problem brachistochrony,

równanie ( 7.5 ), w którym poło»ymy x m = y m = 0 [„meta” w pocz¡tku układu – por. rys. 7.2 (b)].

T =

Z x s

p 2 g ( y s − y ) dx.

p 1 + y 2 x

(7.19)

5 Zerowaniesi¦całkiniemusiwynika¢zzerowaniasi¦funkcjipodcałkowej.Ale dowolno±¢ wariacji y -apozwalastwierdzi¢,

»eabycałka( 7.14 )byłarównazerutozeru musi by¢ równa funkcjapodcałkowa.

6 Czasamimówisi¦poprostuorównaniuEulera.ZarównoEuler,jakiLagrange–dwajnajwi¦ksimatematycy18.wieku

–pracowaliwBerli«skiejAkademiiNauk(uFryderykaWielkiego),chocia»anijeden,anidruginiepozostalitamzbytdługo.

Eulerpowrócił–nazaproszenieKatarzynyWielkiej–doPetersburga,Lagrange–zpochodzeniaWłoch–przyj¡łzaproszenie

LudwikaXVIdoFrancji,gdzieprzyszłomuprze»y¢prze»y¢czasyWielkiegoTerroru.

–Rachunekwariacyjny

Rysunek 7.2: (a) – cykloida, krzywa jak¡ zakre±la punkt obwodu koła, tocz¡cego si¦ ze stał¡ pr¦dko±ci¡

k¡tow¡ po poziomej prostej; (b) – cykloida odwrócona, brachistochrona siły ci¦»ko±ci.

Wyst¦puj¡ca w nim funkcja podcałkowa to

1 + y 2 x

2 g ( y s − y )

f = f ( y,y x ) =

(7.20)

nie zale»y od x , a wi¦c stosujemy uproszczon¡ posta¢ równania Eulera ( 7.18 ). Podstawiamy do niej f ( y,y x )

z równania ( 7.20 ) i po prostych przekształceniach mamy

( y s − y )(1 + y 2 x ) = stała C .

(7.21)

„Rozwikłanie” tego równania ze wzgl¦du na pochodn¡ dy/dx prowadzi do

dx =

C 2 − y s + y

y s − y

(7.22)

W dalszych rachunkach pomo»emy sobie . . . znajomo±ci¡ ko«cowego wyniku. Brachistochron¡ ma by¢ „od-

wrócona” (wypukło±ci¡ ku dołowi) cykloida, a wi¦c krzywa zakre±lana przez punkt obwodu koła o promieniu

R , tocz¡cego si¦ po prostej ze stał¡ pr¦dko±ci¡ k¡tow¡ ! . Parametryczne równania cykloidy (koło i punkt

na jego obwodzie startuj¡ z pocz¡tku układu współrz¦dnych) to

x ( ) = R ( − sin )

(7.23)

y ( ) = R (1 − cos ) ,

(7.24)

gdzie parametr = !t ( t to czas). Tak¡ cykloid¦ widzimy na rys. 7.2 (a).

Aby nasze obliczenia były jak najprostsze wybierzmy stał¡ C 2 w równaniu ( 7.22 ) równ¡ y s 7 . Równanie

to przybiera wówczas posta¢

dx =

y s − y .

(7.25)

Poniewa» wiemy, »e jego rozwi¡zaniem ma by¢ cykloida, zdajemy sobie spraw¦, »e trudno byłoby liczy¢ na

uzyskanie równania w postaci uwikłanej y = y ( x ); zamiast tego spróbujmy dokona¢ apriori parametryzacji

równania, „inspiruj¡c si¦” wzorem ( 7.24 ) i pisz¡c

y = y ( ) = R (1 − cos ) ,

(7.26)

gdzie kładziemy – zgodnie z rysunkiem 7.2 – R = y s / 2 (współrz¦dna y -owa punktu startu to najwy»sze

z mo»liwych poło»e« punktu na kole o ±rednicy 2 R ). Mamy wi¦c

y = y ( ) = y s

2 (1 − cos );

(7.27)

7 Wartotoprzemy±le¢„doko«ca”.Zpewno±ci¡mo»emywybra¢ ró»nic¦ C 2 − y s jakopewn¡now¡stał¡,atooznacza:(1)„inny

pocz¡tek”osi y -óworaz(2)„inn¡warto±¢”współrz¦dnej y s (innypunktstartu)wmianownikuwzoru( 7.22 ).Jaktopotwierdz¡

uzyskanewyniki,wybór C 2 = y s ,atak»ewybórodpowiedniejstałejcałkowaniawrównaniunadrug¡zmienn¡: x = x ( )[por.

równanie( 7.30 )],odpowiadaj¡sytuacji,kiedypunkt(0 , 0) stanowi rzeczywi±cie „met¦”dlaze±lizguj¡cegosi¦pokrzywejciałai

jednocze±niejesttopunktprzegi¦ciacykloidy,dlaktóregowarto±¢pochodnej y x =0.

–Rachunekwariacyjny

podstawiaj¡c z tego równania do ( 7.25 ) dostaniemy

s y s 2 − y s 2 cos

dx =

1 − cos

1 + cos ,

y s − y s 2 + y s 2 cos =

(7.28)

albo – uwzgl¦dniaj¡c ( 7.27 ) –

1 − cos dy = y s

1 + cos

1 − cos sin d

dx =

(7.29)

= ... = y s

2 (1 + cos ) d.

Rozwi¡zaniem tego równania (z dokładno±ci¡ do stałej B ) b¦dzie

x = y s

2 ( + sin ) + B .

(7.30)

Stał¡ B musimy jednak poło»y¢ jako równ¡ zeru, je»eli chcemy aby nasza krzywa przechodziła przez punkt

(0 , 0). Równania brachistochrony przybieraj¡ w tej sytuacji posta¢

x ( ) = R ( + sin )

(7.31)

y ( ) = R (1 − cos ) ,

(7.32)

i przedstawiaj¡ cykloid¦, obrócon¡ wypukło±ci¡ w dół [por. rys. 7.2 (b)]. Pozostawiamy Czytelnikowi spraw-

dzenie, »e (1) „przesuwaj¡c” argument k¡towy o : ! + w obu wzorach; (2) dodaj¡c do współrz¦dnej

x -owej stał¡ − R ; i (3) „odbijaj¡c” nasz¡ trajektori¦ w osi 0 x oraz przesuwaj¡c j¡ w gór¦ o 2 R : y !− y +2 R

otrzymamy równania ( 7.23 ) i ( 7.24 ), opisuj¡ce „normaln¡” krzyw¡ cykloidy, jak¡ widzimy na rys. 7.2 (a).

Cykloida jest krzyw¡ najszybszej podró»y, ale warto policzy¢ ten czas, aby stwierdzi¢ naocznie, »e jest

on niezale»ny od współrz¦dnych ( x s ,y s ) punktu startowego. Zgodnie z ( 7.5 ) (pami¦tajmy: x m = y m = 0)

T =

p 2 g

Z 0

p y s − y dx.

(7.33)

x s

Teraz za y x podstawiamy z ( 7.28 ), za y – z ( 7.26 ) i wreszcie zamiast całkowa¢ wzgl¦dem x -a podstawiamy

z ( 7.31 ) dx = R (1 + cos ) d . Obliczmy czas podró»y dla sytuacji kiedy punkt startuje z najwy»szego

poło»enia – b¦dzie to odpowiadało, zgodnie z ( 7.32 ), przyj¦ciu y s = R [1 − cos( − )] = 2 R i całkowaniu

w granicach [por. rys. 7.2 (b)] = − i = 0. Poniewa» (por. ( 7.27 ))

1 + cos ;

p 1 + y 2 x

r 2

1 + cos

1 + y 2 x =

p y s − y =

(7.34)

całka ( 7.5 ) przyjmuje prost¡ posta¢

Z 0

− d =

g .

T =

(7.35)

To było do±¢ łatwe. Policzenie czasu podró»y dla dowolnegopunktustartu , a wi¦c dla dowolnej warto±ci

= − 0 [por. rysunek 7.2 (b)] wymaga nieco wi¦cej zachodu. Przyjmujemy y s = R [1 − cos( − 0 )] i całkujemy

w granicach [por. rys. 7.2 (b)] = − 0 i = 0. Odpowiednikiem ( 7.33 ) b¦dzie

Z 0

p 2 g

1 + cos

R (1 + cos ) d

p R (1 − cos 0 ) − R (1 − cos )

T =

− 0

Z 0

2 cos 2

1 + cos

cos − cos 0 d =

− 0

cos 2 / 2 − sin 2 / 2 − cos 2 0 / 2 + sin 2 0 / 2

Z 0

cos 2 d

sin / 2

sin 0 / 2 , du =

cos / 2

2 sin 0 / 2

= u =

− 0

sin 2 0 / 2 − sin 2 / 2

Z 0

g arcsin u

g .

= 2

1 − u 2 = 2

− 1

1 + cos

p 1 + y 2 x

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: