Ganowicz R. Statyka II.PDF

DOWOLNY PRZESTRZENNY

lii

UKAD sl

Zajmiemy si obecnie przestrzennym ukadem si dziaajcych na ciao sztywne, przy czym siy maj

dowolne kirunki i punt<ty przyozenia. Taki ukad si bywa te nazywany oglnym ukadem si. Podob-

nie jak dla paskiego ukadu si zajmiemy si dwoma podstawowymi problemami statyki, tj. redukcj

i rwnowag tym razem dla dowolngo ukadu si w przestrzenr.

REDUKCJA DoWotNEGo uKADU s|

Rozpatrzymy ukad przestrznny n sIdziaajcych na ciao sztywne (rys' 71).

Rys.7l

Przeprowadzimy redukcj wszystkich si,przyjmujc jako rodek rdukcji pocztek ukadu wsphzd-

nych. Dokonamy' w znany sposb, rwnolegego przemieszczenia kadej z si tak, by bya zag,zepiona

w pocztku ukadu, dodajc i*noc"enie odpowiednie momenty. Przedstawimy to na przykadzie si

P, (patrz rys. 72).

M1 :11 xP1

Redukcja dowolnego ukadu si

Postpujc tak samo z kad si6 otrzymuj emy zbieny ukad si oraz zbiezny ukad wektorw mo-

mentw ch si wzgldem pocztku ukadu wsprzdnych z punktem zbinoci w punkcie o (rys.73).

Rys.73

Zbiezny ukad si zastpimy jednym wektorem gtwnym, ktry jest nastpujc Sum gometryczn

G = Pr+P2+..'+ +...+ = p,

a ukadwektorw momentw jednym momentemgwnym, .rv,'yi,.,.ie geometrycznej

M = Mr +M2 +.'.+Mi +...+M" = M,

(8.1)

(8.2)

c ma

Tak samo jak w przypadkupaskiego ukadusiwektor gwny ^il ,ul"zyod przyjtego punktu re-

dukcji. Mwimy, e wektor gwny jest niezmiennikim ukadu. Natomiast momnt gwny za|eiy od

wybranego punktu redukcji.

obecnie przyjmiemy inny, obrcony wzgldem pocztku ukaduo, ukad,osi 1, /l, z1taki,by osie x,

iy,|eay w p.aszczynie wyznaczonej przez wektory: G i M (rys.74), a oy' miaakierunk i zwrot

wektora gwnego G.

Dowolny przesttzenny ukad si

JizIioka si, ewktor gwny G jest zerowy' a momnt gwny M jest rny od zta,to ozI].acza,

iukad'sprowadza si do pary si o momencie rwnym M, co koczy problem redukcji takiego ukadu.

Jeeli wektor gtwny dowolnego ukadunie jest zrowy,a zkoli M jest rwny zeru, to okazuje si, e

ukad sprowadza si do siy o prostej dziaanjaptzechodzcej przez punkt o; problem redukcji take

i w tym przypadku monauwaa zazakoilczony. Jeeli natomiast wektor gwny ukadu dowolnego nie

jest zerowy i M * 0, to redukcj moemykontynuowa. W celu dalszej redukcji ukadu,dla ktrego M + 0

i G * 0 przykadamyw punkcie 01 samozrwnowaony ukad si (G, -G) rwnolegych do wektora gw-

nego G (rys. 75). Punkt tn znajduje si na osi z1 w odlegoci d : od osi y'.

Rys.75

atwo zau-wazymy,e w takim przypadku moment ]rf , i momnt pary si Gd zredukujsi. Skadowa

momntu M,, zniknie wic, a skadow M, przeniesiemy do punktu o ', jako e j est to wektor swobodny

i moemy go przesuwarwnolegle

otrzymalimy ukad dwch wspliniowych wektorw M, i G (patrz rys. 75 b), nazywany skrtni-

kiem (lub rub{ ukadu. Dalsz prby zredukowania ukadu skadajcego si z dwch wspliniowych

wktorw G i M, do jednego wektora nie przyniospowodzenia. Jakikolwik bowim przem\eszczanie

wektora G nie wygeneruje wektora momentu o kierunku rwnolegym do kierunku wsplnej osi l, tak

wic nie mamy Szans do doprowadzenia ukadu do jednego wektora.

Redukcj dowolnego przestr"ennego ukadu si moemy - alternatywnie - prowadzi od etapu zi.

lustrowanego narysunku ,.3bniedo skrtnika,1,eczdoukadu dwchwichrowatychs1,z ktrych jedna

przechodziprzez rodek redukcji. Aby tego dokaza,przyjmiemy takpaszczyzfuft, ktra bdzie pro-

stopadado zna|ezionego wczeniej wektora momentu gwnego M i zawirabdzie t rodk rduk.

cji o. Moment gwny M zastpujemy par sio ramieni" d:+ , gdzie P : lPr| : lP|. T si pary' ktra

iaczepiona jest w punkci o, oiazwektor gwny G zastpujemy wypadkow s. w ten sposb ukad do-

wolny zredukowany zostaje do dwch wich1owatych si:S i P (rys. 76).

Redukcja dowolnego ukadusi

Rys.7

I'a

Zauulamy wic, ze dowolny przestrzenny ukadsiredukuje si (w przypadku oglnym) do dwch

wktorw M i G lub dwch siwichrowatych, podczas gdy paskiukad siredukowasi do jednego tyl-

ko wektora, tj. wektora wypadkowej W, lub gdy W : 0, do wektora pary si M.

Mona dowie, ze lloczyn skalarny wektora momentu gwnego M, okrelonegowzgldem dowol-

nego rodka redukcji i wektora gwnego G jest staty

ll-

ile

M.G= MGcosu =const.

a poniewa wktor gwny G nie zaIey od rodkaredukcji, to iloczyn M cos a : M, tijest stay.

Dowolny ukad si ma zatm dwa niezmienniki: wktor gwny ukadu G oraz rzut wktora momen-

tu gwnego na kierunk wektora gwnego G. Jeli moment gwny M jest wektorem prostopadym do

wektora gwnego G, to jego rzutI:'akierunk wektora gwnego M, : M cos 90":0. Skrtnik vprasz-

cza si w tym wypadku do wektora G przesunitego do osi centralnej ukadu. Zatem, w przypadku gdy

G l M, dowolny ukad si ma wypadkow (w : G) o prostej dzia,aniapokrywajcej si z centraln osi

ukadu si. Tak waniebyo w przypadku paskiego ukadu si.

zl-

lna

ro-

uk-

tra

do-

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: