wytrzymalosc wyklad 6.doc

Wytrzymałość Materiałów 6                                                                      35WM

Metoda Maxwella-Mohra obliczania przemieszczeń konstrukcji

Literatura Jan Misiak, Stat. i Wytrz. Mat. strona 254.

Dla belek i ram przemieszczenie konstrukcji wyznaczamy ze wzoru:

                     (26)

Dla belek prostych i ram płaskich obciążonych układem sił płaskich T2 = t2 = M2 = m2 = 0. Wzór (26) ma postać

                             (27)

gdzie siły i momenty oznaczone dużymi literami są siłami i momentami wewnętrznymi wywołanymi obciążeniem zewnętrznym

zaś siły i momenty wewnętrzne wywołane siłami jednostkowymi są

określone literami małymi.

N, n                       siły normalne

T, t                             siły tnące

Mg , mg              momenty gnące

MS , mS               momenty skręcające

A                            pole przekroju elementu konstrukcji

a                            współczynnik wynikający z nierównomierności

                            rozkładu naprężeń tnących w przekroju

Wzór Wereszczagina do całkowania iloczynu dwóch funkcji, z których jedna jest funkcją liniową

                                                                  C1                  C2

36WM

  Y(x)                                        y(x)

                    xść                                          xść

                  x

                                                           y = ax + b

               Y(x)            C                                                    yc

                             dA

             x0               dx               x       x0                                   x

                            x1                                              x1

             Rys.29 Sposób obliczania całki

A                            pole pod krzywą Y(x),

xść                            współrzędna środka ciężkości pola A

C1 = Aaxść       C2 = Ab

  C1 + C2  = A(axść + b) = Ayc           (28)

Przykład 12

Określić pionowe przemieszczenie przekroju A pryzmatycznej belki (rys.30) o przekroju kołowym wywołane siłą P. Dana średnica przekroju belki d.

Rozwiązanie.

Pierwszy etap polega na wprowadzeniu w przekroju A

jednostkowej siły pionowej Pc = 1N, jako „czujnika” mierzącego szukane przemieszczenie. W etapie drugim wyznaczamy składowe sił i momentów wewnętrznych w przekroju B jako funkcje x, słuszne w całym przedziale

(0,l).

37WM

           z                           P                               Pc = 1N

              x       B                                    x       B   

    C                                A          C                                 A

                          l                                            l

                       Mg= -P(l-x)                                   mg = -1(l-x)

      C                              A            C                               A

  Pl                                           1×l

                              T = P                                    t = 1N

      T                +                            t

      C                              A            C                               A

          Rys.30 Przykład obliczenia ugięć belki

Mg = -P(l-x), T = P, N = 0, mg = -(l-x)Nm/N, t = 1N/N, n = 0

W etapie trzecim funkcje te podstawiamy do (27) i całkujemy

                                                                            (a)         (b)

gdzie:   Y = 1/a =1.185 i wynika z nierównomierności

                     rozkładu naprężeń stycznych w  przekroju

              n = 0.3,

              E/G =2(1+n) = 2(1+0.3) = 2.6

              Jy = pd4/64,       A = pd2/4

przy czym uwzględniono, że iloczyn wartości ujemnych jest dodatni.

-         człon (a) reprezentuje wpływ momentu gnącego na

                   ugięcie belki

-         człon (b) reprezentuje wpływ siły tnącej na ugięcie belki

38WM

Widać, że wpływ siły tnącej jest rzędu (d/l)2

w stosunku do jedności i gdy l/d > 8, wówczas

wpływ ten nie przekracza 1% wartości ugięcia wywołanego momentem gnącym.                  

Przykład 13

Obliczyć wypadkowe przemieszczenie węzła B stalowej kratownicy obciążonej siłami P1 =  50kN i P2 = 40kN (rys.31).

E = 2·...