13
METODY OPRACOWANIA I ANALIZY
PODSTAWY TEORII NIEPEWNOŚCI POMIARÓW
Dr Marek Wasek
Akademia Medyczna w Warszawie
Wydział Farmaceutyczny
Zakład Chemii Leków
Kierownik Zakładu:
Prof. dr hab. Piotr Wroczyński
„Nic nie wymaga większej dokładności
przy roztrząsaniu spraw ludzkich jak ścisłe rozróżnienie, co jest wynikiem przypadku, a co działaniem przyczyn”
Esej: „Powstanie i postęp sztuk i nauk”
1. WSTĘP
Doświadczenie uczy, że każdy pomiar może być wykonany tylko z ograniczoną dokładnością. Wynik nawet najstaranniej wykonanego pomiaru lub obserwacji obarczony jest niepewnością odzwierciedlającą niedokładność wartości wielkości zmierzonej. Dlatego też analiza niepewności pomiarowych jest istotnym elementem każdego eksperymentu w fazie jego projektowania, realizacji i opracowania otrzymanych wyników. W praktyce istnieje wiele możliwych źródeł niepewności pomiaru. Są to m.in.:
(a) niepełna definicja wielkości mierzonej,
(b) niedoskonała realizacja definicji wielkości mierzonej,
(c) niereprezentatywne pobieranie próbek, tzn. mierzona próbka nie jest reprezentatywna dla definiowanej wielkości mierzonej,
(d) niepełna znajomość wpływu warunków środowiskowych na procedurę pomiarową lub niedoskonały pomiar parametrów charakteryzujących te warunki,
(e) subiektywne błędy w odczytywaniu wskazań przyrządów analogowych,
(f) skończona rozdzielczość lub próg pobudliwości przyrządu,
(g) niedokładnie znane wartości przypisane wzorcom i materiałom odniesienia,
(h) niedokładnie znane wartości stałych i innych parametrów, otrzymanych ze źródeł zewnętrznych i stosowanych w procedurach przetwarzania danych,
(i) upraszczające przybliżenia i założenia stosowane w metodach i procedurach pomiarowych,
(j) rozrzut wartości wielkości mierzonej uzyskanych podczas obserwacji powtarzanych w warunkach pozornie identycznych.
Tak duża liczba możliwych źródeł popełnienia błędu w pomiarach powoduje, że wynik pomiaru jest tylko przybliżeniem lub estymatą (oszacowaniem) wartości wielkości mierzonej i dlatego wynik pomiaru jest pełny tylko wtedy, gdy jest podany wraz z niepewnością tej estymaty. Zatem, jedynym sensownym sposobem zapisu wartości wielkości mierzonej jest:
(wartość wielkości mierzonej ± niepewność pomiarowa) jednostka (1)
Oznacza to, że :
- wartość rzeczywista wielkości mierzonej znajduje się w przedziale równym podwojonej wartości niepewności pomiarowej
- niepewności pomiarowe wyrażone są w tych samych jednostkach co wynik
UWAGA:
1. Każdej wartości wielkości mierzonej musisz zawsze przypisać niepewność oraz jednostkę (bardzo ważne!)
2. Wartość wielkości mierzonej i niepewności pomiarowej muszą być odpowiednio zaokrąglone (patrz rozdz. 7)
Analiza niepewności pomiaru powinna być przeprowadzona z ogólnie przyjętymi zasadami. Międzynarodowa społeczność naukowa od dawna dążyła do uzgodnienia terminologii i metod szacowania niepewności. Rezultatem jest opublikowany w 1995 r. dokument Guide to Expression of Uncertainty in Measurement [1] opracowany przez Międzynarodową Organizację Normalizacyjną ISO w porozumieniu z szeregiem światowych organizacji naukowo- technicznych*. Polska wersja językowa nosi tytuł Wyrażanie Niepewności Pomiaru. Przewodnik i została wydana w 1999 r. przez Główny Urząd Miar. W dalszej części tego opracowania pozycję tę będę nazywał Przewodnikiem. Przewodnik ustala ogólnie obowiązujące zasady obliczania wyrażania niepewności pomiaru, które mogą być stosowane dla wszystkich pomiarów fizycznych. Należy uważać go ( i stosować) za międzynarodową normę oceny niepewności pomiarów. Zatem jak widzimy globalizacja nie tylko dotyczy gospodarki światowej ale także wkroczyła na pole zastosowań statystyki matematycznej. Normy ujęte w Przewodniku są podstawą wszelkich procesów akredytacyjnych metod badawczych i metod wzorcowania [2], opracowywania nowych metod analitycznych, walidacji procesów analitycznych itp.
Celem tego opracowania jest zaznajomienie studenta ze sposobami przedstawiania wyników pomiarów, teorią niepewności pomiarów i praktycznym jej zastosowaniem w laboratorium biofizyki. Nazewnictwo i symbole stosowane w niniejszym opracowaniu zgodne są z międzynarodową terminologią przedstawioną w Przewodniku [1,3].
2. POJĘCIE BŁĘDU I NIEPEWNOŚCI POMIAROWEJ.
Zgodnie z Przewodnikiem :
Błąd jest różnicą między daną wartością zmierzoną xi i wartością rzeczywistą x0
błąd = xi – x0 (2)
W takim sensie powyższej definicji, błąd jest pojęciem idealizowanym i błędy nie mogą być znane dokładnie (wartość rzeczywista wielkości jest nieznana). Zwyczajowo przyjmuje się, że błąd ma dwie składowe: składową przypadkową i składową systematyczną. Zgodnie z Przewodnikiem [1]( definicje B.2.21 i B.22 str. 50):
*) - Międzynarodowe Biuro Miar (BIPM), Międzynarodowa Komisja Elektrotechniczna (IEC), Międzynarodowa Federacja Chemii Klinicznej (IFCC), Międzynarodowa Unia Chemii Czystej i Stosowanej (IUPAC), Międzynarodowa Unia Fizyki Czystej i Stosowanej (IUPAP), Międzynarodowa Organizacja Metrologii Prawnej (OIML)
Błąd przypadkowy – różnica między wynikiem pomiaru a średnią z nieskończonej liczby wyników pomiarów tej samej wielkości mierzonej, wykonanych w warunkach powtarzalności
Błąd systematyczny – różnica między średnią z nieskończonej liczby pomiarów a wartością prawdziwą wielkości mierzonej
UWAGA: W praktyce laboratoryjnej nie znamy ani wartości prawdziwej, ani nie jest możliwe wykonanie nieskończonej liczby pomiarów. Z tego powodu możemy jedynie wyznaczyć przybliżone wartości (estymaty) tych błędów.
Poniżej zostaną wyjaśnione pojęcia błędów przypadkowych i systematycznych.
Błąd przypadkowy spowodowany jest losowym odchyleniem wyniku pomiaru od wartości rzeczywistej. Wynik kolejnego pomiaru jest inny, lecz szansa uzyskania wyników tak większych, jak i mniejszych od wartości rzeczywistej jest w przybliżeniu taka sama. Wynika on z nieprzewidywalnych czasowych i przestrzennych zmian wielkości nie będącej wielkością mierzoną, która ma jednak wpływ na wynik pomiaru.
Przyczyną powstawania błędów przypadkowych jest:
Ø niedokładność odczytu, np. niedokładna ocena części działki miernika, czy też niezbyt staranne oszacowanie optimum ostrości obrazu w pomiarach optycznych;
Ø fluktuacja warunków pomiaru, takich jak temperatura, ciśnienie, napięcie w sieci elektrycznej itp.;
Ø drobne zaburzenia, których przykładem mogą być drgania mechaniczne, a w układach elektrycznych szumy wprowadzane do sieci przez podłączone równolegle inne urządzenia elektryczne (np. silniki);
Ø nieokreśloność mierzonej wielkości; np. skutkiem różnych czynników związanych z wykonaniem stołu jego długość jest różna w różnych miejscach, a więc nie jest jednoznacznie określona. Nawet najprecyzyjniejsze pomiary dadzą więc w różnych miejscach różne wyniki;
Ø niedoskonałość zmysłów obserwatora i brak dostatecznej koncentracji podczas wykonywania pomiarów.
Czynniki wywołujące błędy przypadkowe nazywane są oddziaływaniami przypadkowymi.
Charakter błędu przypadkowego można zilustrować na osi liczbowej, na której umieszczono indywidualne wyniki pomiarów xi i wartość prawdziwą (nieznaną) wielkości mierzonej x0.
x0 – wartość prawdziwa
xi – wyniki pomiarów (oznaczone symbolem )
Z błędem systematycznym mamy do czynienia, gdy przy powtarzaniu pomiaru występuje ta sama różnica między wartościami zmierzonymi a wartością rzeczywistą, natomiast rozrzut wyników poszczególnych pomiarów jest zaniedbywalnie mały.
Są to błędy wywoływane następującymi przyczynami:
Ø niedoskonałość przyrządów pomiarowych, a w szczególności ich błędne wyskalowanie lub nie wyzerowanie. Mogą to być np. zbyt duże lub zbyt małe odstępy między działkami skali milimetrowej, spieszenie się lub późnienie zegara, przesunięcie zera skali termometru itp.
Ø błąd eksperymentatora polegający na ustawianiu oka ciągle zbyt na lewo lub ciągle zbyt na prawo przy odczycie położenia wskazówki przesuwającej się na tle poziomej skali; powstaje wówczas tzw. błąd paralaksy (patrz poniższy rysunek)
Ø nieuwzględnienie zmiany warunków pomiaru w stosunku do warunków skalowania mierników; jeżeli np. metalowa skala barometru została wykalibrowana w temperaturze 273 K, to na skutek jej rozszerzalności cieplnej ciśnienie odczytane na niej w wyższych temperaturach będzie niższe od rzeczywistego:
Ø przybliżony charakter metody pomiaru.
Czynniki wywołujące błędy systematyczne nazywane są oddziaływaniami systematycznymi.
Akademickim przykładem błędu systematycznego jest tzw. błąd paralaksy. Charakteryzuje on jednak w sposób właściwy ten rodzaj błędu (patrz poniższy rysunek).
Błąd paralaksy. Pomiar średnicy kuli( „dość wymyślny”)*)
Rozważając przyczyny błędów systematycznych łatwo zauważyć, że znak błędu systematycznego nie będzie się zmieniał od pomiaru do pomiaru, a jego wartość też praktycznie pozostanie stała. Ta stałość znaku i wartości odróżnia błąd systematyczny od przypadkowego. Przewodnik uważa błąd systematyczny za zjawisko losowe, gdyż nie znamy a priori jego wielkości, tak samo jak w przypadku błędu przypadkowego. Można mu zatem przypisać rozkład prawdopodobieństwa – co jest zasadniczą nowością.
Charakter błędu systematycznego można zilustrować na osi liczbowej, na której umieszczono indywidualne wyniki pomiarów xi i wartość prawdziwą (nieznaną) wielkości mierzonej x0.
*) - Przykład z „Elementarza rachunku błędu pomiarowego” – dr Piotr Jaracz - Wydział Fizyki U.W.)
Omówmy jeszcze jeden rodzaj błędu, którym teoria niepewności pomiaru się nie zajmuje. Błąd gruby to różnica pomiędzy wynikiem pomiaru i wartością rzeczywistą, na ogół drastycznie duża. Są to błędy powstające w wyniku np. pomyłki w odczytaniu zakresu przyrządu, złego zapisania wyniku (pomyłka o rząd wielkości lub użycie niewłaściwej jednostki) itp. Błędy grube znacznie przewyższają inne błędy pomiarowe i mogą być stosunkowo łatwo zauważone. Wyniki pomiarów obciążone błędami grubymi odrzuca się, a pomiary powtarza. Charakter tego typu błędu ilustruje poniższy rysunek.
błąd gruby
Przykład 1.
...
am.waw