podstawy.algebry.teoria.pdf

Rqfuvcy{ ct{vogv{mk

30 E|vgt{ rqfuvcyqyg f|kccpkc ct{vogv{e|pg

E|vgt{ rqfuvcyqyg f|kccpkc ct{vogv{e|pg

Zadziwiająco wielu uczniów nie rozumie tematu zadania: „Dany wielomian rozłóż na czynniki

liniowe”. Dlaczego tak się dzieje? Prawdopodobnie z ich pamięci wyparowały informacje,

które przekazano im bardzo dawno – w szkole podstawowej: nazwy występujące przy

wykonywaniu podstawowych działań arytmetycznych.

1. Dodawanie:

2. Odejmowanie:

− =

óż

3. Mnożenie:

∙ =

4. Dzielenie:

∶ =

Czynniki to liczby lub wyrażenia pomnożone przez siebie. Wspomniany wyżej wielomian

należy zapisać w postaci iloczynu, a czynniki mają być liniowe: przez skojarzenie z funkcją

liniową – mają być pierwszego stopnia, czyli postaci

40 Egej{ rqf|kgnpqek

Egej{ rqf|kgnpqek nke|d pcvwtcnp{ej

nke|d pcvwtcnp{ej

Znajomość cech podzielności liczb naturalnych jest niezbędna dla sprawnego wykonywania

obliczeń. Nie należy opierać wszystkich obliczeń na użyciu kalkulatora – zajęci

wystukiwaniem cyfr przestajemy myśleć. Nie ma jednak potrzeby zapamiętywać tych

bardziej skomplikowanych cech podzielności: przez 7, czy przez 13 – Twoja pamięć to nie

śmietnik, a kalkulator jest przecież po to, by go czasami użyć. Warto (bo to przyspiesza

obliczenia) znać podstawowe cechy podzielności.

1. Liczba jest podzielna przez 2 , jeśli ostatnia jej cyfra jest parzysta , czyli jest jedną z

liczb: 2, 4, 6, 8, 0

2. Liczba jest podzielna przez 3 , jeśli suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 3 .

Przykład: 104628: suma cyfr

+ + + + + =

. Otrzymana suma 21 dzieli

się przez 3, czyli liczba 104628 też jest podzielna przez 3.

330

440

Egej{ rqf|kgnpqek

3. Liczba jest podzielna przez 4 , jeśli liczba tworzona przez jej dwie ostatnie cyfry jest

podzielna przez 4 . Przykład: 104628 dzieli się przez 4, bo 28 dzieli się przez 4.

4. Liczba jest podzielna przez 5 , jeśli jej ostatnią cyfrą jest 0 lub 5 .

5. Liczba jest podzielna przez 6 , jeśli jest podzielna zarówno przez 2, jak i przez 3 .

6. Liczba jest podzielna przez 9 , jeśli suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 9 .

7. Liczba jest podzielna przez 10 , jeśli jej ostatnią cyfrą jest 0 .

50 Mqnglpq y{mqp{ycpkc f|kcc

Mqnglpq y{mqp{ycpkc f|kcc

Wśród uczniów starszych klas szkół podstawowych krąży taka zagadka: „Ile to jest: dwa plus

trzy razy pięć?”. Zagadka ta jest próbą złapania tych, którzy mechanicznie wyliczą:

+ =

. Liczący w ten sposób, nie przestrzegając ustalonej kolejności

wykonywania działań arytmetycznych, otrzymują oczywiście błędny wynik:

+ ∙ = + =

∙ =

W czasie obliczeń nie można zapominać o kolejności wykonywania działań :

Û Jeżeli wyrażenie zawiera nawiasy, to obliczenia zaczynamy od działań w takich

nawiasach, które nie zawierają innych nawiasów.

Û Ze wszystkich działań najpierw wykonujemy potęgowanie i pierwiastkowanie.

Û Następnie wykonujemy mnożenie i dzielenie w kolejności ich występowania.

Û Na końcu wykonujemy dodawanie i odejmowanie.

60 Y|qt{ umteqpgiq opqgpkc

Y|qt{ umteqpgiq opqgpkc

Wyrażeniom algebraicznym często nadaje się nazwy. Warto znać rządzące tym zasady.

W nazwie wyrażenia algebraicznego działania wymienia się w kolejności odwrotnej do ich

wykonywania: jako pierwsze podaje się te działania, które wykonywane są na końcu :

- kwadrat sumy a i b (na końcu będziemy potęgować)

550

a potem

660

- suma kwadratów a i b (na końcu wykonujemy dodawanie)

Ponadto w nazwach wzorów nie podajemy liter, bo przecież

+ = + +

to ten sam wzór - we wzorach nie są istotne użyte litery, a

tylko działania, jakie należy wykonać.

Oto wzory skróconego mnożenia (przy każdym zaznaczono kolorem wyrażenie, od którego

pochodzi nazwa wzoru):

Û Kwadrat sumy :

+ = + +

Û Różnica kwadratów ( iloczyn sumy przez różnicę ):

− = + −

Û Sześcian sumy :

+ = + + +

Û Sześcian różnicy :

− = − + −

Û Suma sześcianów :

+ = + − +

Û Różnica sześcianów :

− = − + +

Û Kwadrat sumy trzech składników :

+ + = + + + + +

70 Rtqrqtelg

Proporcja to równość dwóch ilorazów:

∶ = ∶

lub

Warto o tym pamiętać nie tylko podczas rozwiązywania zadań związanych z wielkościami

proporcjonalnymi, ale także przy rozwiązywaniu równań typu:

+ =

∙ = ∙

Rozwiązujemy najprościej:

∙ + = ∙ +

Rtqegpv{

egpv{

Jeden procent (1%) pewnej liczby a to setna część tej liczby:

% =

Oznacza to, że

oraz

% =

oraz

Û Kwadrat różnicy :

− = − +

Rtqrqtelg

Podane proporcje możemy przekształcić do postaci

80 Rtq

Rtq

Często spotykanym praktycznym zastosowaniem tego pojęcia jest określenie, jakim

procentem jednej liczby jest druga liczba. Przykładowo - jeżeli w klasie mamy 25 uczniów, w

tym 11 chłopców, to chłopcy stanowią

∙ % = %

uczniów klasy.

Zwracamy tu uwagę, że można też mówić, iż chłopcy stanowią

klasy, (liczba

została

pomnożona przez

= %

) - 44% to po prostu inna postać ułamka

90 Yctvq dg|y|infpc

Yctvq dg|y|infpc

Wartość bezwzględna z liczby

|| = ≥

− <

Własności:

| | = | − | , | ∙ | = | | ∙ | | ,

= ||

|| , | + | ≤ | | + | |

Bardzo ważne jest, aby znać geometryczny punkt widzenia na pojęcie wartości bezwzględnej:

| |

- to odległość liczby

od liczby 0 na osi liczbowej

| − |

- odległość liczb

na osi liczbowej

Takie „geometryczne” myślenie pozwala szybko i bez błędów rozwiązywać proste równania i

nierówności z wartością bezwzględną, np. rozwiązaniem równania

| | <

jest

∈ −,

gdyż szukamy takich liczb

, które na osi liczbowej są odległe od zera o mniej, niż 7

jednostek.

:0 \cqmtincpkg wcomy f|kgukvp{ej

qmtincpkg wcomy f|kgukvp{ej

Zazwyczaj z góry wiemy, z jaką dokładnością mamy zaokrąglić ułamek dziesiętny.

Przykładowo: jeżeli zaokrąglenie ma być z dokładnością do

, to musimy zwrócić uwagę

na trzecią cyfrę po przecinku. Jeżeli trzecia cyfra po przecinku:

Û należy do zbioru

,,,,

, to drugą cyfrę po przecinku pozostawiamy bez zmian,

Û należy do zbioru

, to po odrzuceniu trzeciej i następnych cyfr po

przecinku, do otrzymanej liczby dodajemy

,,,,

Przykłady:

, ≅ ,

, ≅ , , + ,

::0

, ≅ , , + ,

Błędy przybliżenia - jeżeli dla danej liczby

wyznaczyliśmy jej przybliżenie

, to:

Û różnicę

−

nazywamy błędem przybliżenia

| − |

- nazywamy błędem bezwzględnym

| |

- nazywamy błędem względnym

;0 tgfpkg

Û Średnia arytmetyczna n liczb

,…,

+ ⋯+

Û Śr ednia geometryczna n liczb nieujemnych

,…,

∙

∙ …∙

Û Średnia ważona n liczb

,…,

, z których każda ma przypisaną dodatnią

„wagę” odpowiednio

,…,

∙

+ ⋯+

∙

+ …+

320 Tgfwmelc y{tc|y rqfqdp{ej

Tgfwmelc y{tc|y rqfqdp{ej

.” sprawia wielu uczniom nie lada kłopot. W

zasadzie nie wiadomo - dlaczego? Przecież takie równanie niemal niczym nie różni się od

równania

− √ ∙ =

− ∙ =

, zmieniona jest tylko jedna liczba.

Podczas rozwiązywania drugiego równania liczymy sumę

. Z tym nie ma problemów:

+ =

. Dlac ze go? Bo

+ =

? Gdy rozwiązujemy pierwsze równanie, to

otrzymujemy

+ √ ∙ =

i wielu rozkład a r ęce nie wiedząc, co dalej począć. Zapomina,

W obliczeniach wyko rz ystujemy pr aw o rozdzielności mnożenia względem dodawania lub

odejmowania:

√ ∙

, dodaje liczby:

+ √

+ √ ∙ = + √

, czy jak poprzednio:

+ = + =

Z tych też powodów wyrażeń

nie można dodać, gdyż nie można wyłączyć

wspólnego czynnika przed nawias .

tgfpkg

320

Zadanie „Rozwiąż równanie:

że dodając

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: