zbiory.liczbowe.teoria.pdf

Tytułem wstępu:

Dla ułatwienia orientacji w zapisie matematycznym, przyjęto ustalenie, iż zbiory oznaczamy

dużymi literami alfabetu: A, B, C, X, Y, …, a elementy zbiorów – małymi literami alfabetu: a, b,

c, x, y, … Należy jednak mieć na uwadze, ze nie jest to ustalenie obowiązkowe (choć – by nie

komplikować zapisu – jest najczęściej przestrzegane). Jeżeli ktoś napisze, że A jest elemen-

tem zbioru B, to taki ekscentryczny zapis jest poprawny.

Znak równości, który używamy w obliczeniach rachunkowych, może być stosowany także w

przypadku zbiorów. Jeżeli zapiszemy

, to tym samym stwierdzamy, że zbiory

są

równe, czyli mają takie same elementy :

= ⟺ ∈ ⟺ ∈

W powyższym zapisie symbolicznym pojawił się znak

∈

. J est to znak przynależności do zbio-

ru:

∈

oznacza, że

należy do zbioru

Rzadko spotykany zapis:

∋

oznacza dokładnie to samo (to mniej więcej tak, jakby ktoś

zastąpił nierówność

nierównością

) jest to zbiór, do którego nie należy żaden element.

Czy coś takiego jest do czegokolwiek potrzebne? A zero jest do czegoś potrzebne, jeżeli

obietnica: „dam Ci zero prezentów” nikogo nie cieszy? Niby zero to nic, a jednak się go uży-

wa. Tak samo jest ze zbiorem pustym.

∅

Zbiór pusty (oznaczamy go

Mówimy, że zbiór A zawiera się w zbiorze B , lub że zbiór A jest podzbiorem zbioru B , jeżeli

każdy element zbioru A jest elementem zbioru B.

Zapisujemy to symbolicznie:

⊂

(symbol

⊂

jest symbolem zawierania się zbiorów).

Każdy zbiór jest swoim własnym podzbiorem :

⊂

, gdyż każdy element zbioru

należy

do zbioru A.

Zbiór pusty jest podzbiorem każdego zbioru

, gdyż nie ma w zbiorze pustym takich ele-

(dlatego nie da się skutecznie zaprzeczyć stwier-

dzeniu: każdy element zbioru pustego należy do zbioru

– nie każdy? – więc podaj jaki?).

Przy tym założeniu mamy:

,,, ⊂

= ,,,

, ⊂

∅ ⊂

Po prawej stronie równania mamy zbiór, którego cztery elementy wypisano w nawiasie

klamrowym. Właśnie nawias klamrowy jest używany do zapisywania zbiorów.

Wymienimy teraz sposoby zapisywania różnych zbiorów:

= ,,,

Û Znaki specjalne , np.:

∅

- zbiór pusty

- zbiór liczb całkowitych

- zbiór liczb rzeczywistych dodatnich

Û Wypisanie elementów zbioru w nawiasie klamrowym , np.:

,,,

,,,,,…

Jak widać można to zrobić nawet wtedy, gdy zbiór ma nieskończenie wiele elemen-

tów.

mentów, które nie należałyby do zbioru

Niech

Zbiory zazwyczaj oznaczamy dużymi literami alfabetu, ale nie jest to jedyny sposób ich zapi-

sywania. W powyższym przykładzie pojawiła się równość:

Û Określenie zbioru poprzez własność, którą spełniają wszystkie elementy tego zbio-

ru , np. zapisy:

∈ : + <

określają zbiór takich liczb rzeczywistych, które spełniają podaną nierówność.

Ogólnie: ten sposób zapisu zbiorów wygląda następująco:

∈ :

: ∈

Û Suma zbiorów (inaczej: unia zbiorów )

Suma zbiorów A i B jest to zbiór, którego każdy element należy do zbioru A lub do

zbioru B (czyli należy co najmniej do jednego z tych zbiorów).

Sumę zbiorów A i B oznaczamy symbolem

∪

∪ = : ∈ ∨ ∈

Przykład:

,,∪, = ,,,

Û Iloczyn zbiorów (inaczej: przecięcie zbiorów lub część wspólna zbiorów )

Iloczyn zbiorów A i B jest to zbiór, którego każdy element należy do zbioru A i do

zbioru B.

Iloczyn zbiorów A i B oznaczamy symbolem:

∩

∩ = : ∈ ∧ ∈

Zbiory, których iloczyn jest zbiorem pustym (

,,∩, =

), czyli takie, które nie mają

wspólnych elementów, nazywamy zbiorami rozłącznymi .

Û Różnica zbiorów

Różnica zbiorów A i B jest to zbiór, którego każdy element należy do zbioru A i nie na-

leży do zbioru B.

Różnicę zbiorów A i B oznaczamy symbolem:

∩ = ∅

lub

−

\ = : ∈ ∧ ∉

Przykład:

,,\, = ,

lub

: ∈ ∧ + <

Przykład:

- zbiór liczb naturalnych

Z tym zbiorem mamy niezły galimatias. Kiedyś, dawno temu, sprawa była prosta: de-

finicję zbioru liczb naturalnych przyjmowano w Polsce następującą:

= ,,,,…

Potem, w ramach nieustających reform oświaty, nie obyło się bez kombinowania przy

nauczanych treściach matematycznych i zaczęto wprowadzać definicję:

= ,,,,…

, czyli do zbioru liczb naturalnych dołączono liczbę zero.

Takie ustalenie nie jest zbyt wygodne - staje się wygodne wtedy, gdy konsekwentnie

będziemy wszelkiego rodzaju numerację elementów zaczynać od zera (np. numerację

wyrazów ciągu). Wobec tego zaczęto się z tej „nowatorskiej” definicji powoli wycofy-

wać, ale ten proces tak jakby zatrzymał się, więc mamy teraz taką sytuację, iż zbiór

liczb naturalnych jest taki, jaki sobie ktoś-tam w danym momencie zdefiniuje: z ze-

rem, albo bez zera.

W końcowym efekcie „dla pewności” (np. w tematach zadań maturalnych) zaznacza

się: „ zbiór liczb naturalnych dodatnich ”, by ktoś nie brał pod uwagę zera, gdy układa-

jący temat zadania tego nie chce.

Podsumowując: najczęściej przyjmowaną definicją zbioru liczb naturalnych jest defi-

nicja następująca:

= ,,,,…

, wsparta dodatkowym symbolem

= ,,,,…

- zbiór liczb naturalnych dodatnich

- zbiór liczb całkowitych

= …,−,−,−,,,,,…

- zbiór liczb wymiernych

Zbiór liczb wymiernych jest to zbiór tych wszystkich liczb, które dadzą się zapisać w

postaci ułamka zwykłego:

, gdzie

∈ ∈ ≠

Zwracamy tu uwagę na często popełniany błąd: o tym, czy liczba jest wymierna decy-

duje możliwość zapisania jej w postaci ułamka zwykłego, a nie jej wygląd. Często

wymierne są liczby, które wcale na to nie wyglądają, np.:

V liczby całkowite:

,−,

, − =

, =

V niektóre pierwiastki:

, , =

V inne:

= =

Bardzo ważną cechą liczb wymiernych jest to, że jeżeli zapiszemy liczbę wymierną w

postaci ułamka dziesiętnego, to będzie to albo ułamek dziesiętny skończony (od

pewnego miejsca po przecinku będą same zera – np.

), albo ułamek dziesiętny

nieskończony i okresowy (np.

,… = ,

- zbiór liczb niewymiernych

Zbiór liczb niewymiernych jest to zbiór tych wszystkich liczb, które nie dadzą się zapi-

sać w postaci ułamka zwykłego.

P rz ykłady liczb niewymiernych:

√ , ,

Bardzo ważną cechą liczb niewymiernych jest to, że jeżeli zapiszemy liczbę niewy-

mierną w postaci ułamka dziesiętnego, to będzie to ułamek dziesiętny nieskończony

i nieokresowy , np.:

= .…

Û Związki między zbiorami liczbowymi

, czyli:

- każda liczba naturalna jest całkowita i wymierna,

- każda liczba całkowita jest wymierna, ale nie każda liczba całkowita jest natural-

na (np.

⊂ ⊂

- nie każda liczba wymierna jest całkowita (np.

−

) i nie każda liczba wymierna jest

naturalna (np.

,−

Nie istnieje taka liczba, która jest jednocześnie wymierna i niewymierna.

V Mamy:

∩ = ∅

Na osi liczbowej każdemu punktowi odpowiada dokładnie jedna liczba rzeczywi-

sta i jest to liczba wymierna albo niewymierna.

∪ =

W podanych niżej definicjach:

, ∈ <

Przedziały liczbowe ograniczone

, = : ∈ < <

V Przedział domknięty :

, = : ∈ ≤ ≤

V Mamy:

V Przedział otwarty :

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: