cps_w06_v7.pdf

(367 KB) Pobierz
1
CPS
- 1 -
2006
ZASTOSOWANIA PRZEKSZTAŁCENIA ZET
Rozwiązywanie równań różnicowych
Dyskretny system liniowy-stacjonarny można opisać równaniem różnicowym w
postaci ogólnej
∑
N
[ ] [ ]
∑
M
aynk bxnk
− =
−
k
k
k
=
0
k
=
0
Przekształcenie ZET pozwala w efektywny sposób obliczać odpowiedzi systemu na
zadane wymuszenia.
Przykład:
Rozważmy przyczynowy LTI system opisany równaniem różnicowym
[] [ ] [ ]
− − =
0.9
yn
1
xn
Wyznaczymy odpowiedź systemu na wymuszenie jednostkowe x [ n ]= 1 [ n ] dla
wartości początkowej odpowiedzi y [ -1 ]= 2 .
Wykorzystamy własności przesunięcia w dziedzinie czasu dla transformaty
jednostronnej
Jeżeli [] ( )
yn
←⎯→
Z
Y z
to
[ ] ( ) [ ]
yn
− ←⎯→+ −
1
Z
zY z y
1
1
Przekształcamy ( transformacja Z ) obie strony równania różnicowego
Yz
−
0.9
(
zYz y
1
( ) [ ]
+ − =
1
) ( )
Xz
U
yn
−
( )
−
CPS
- 2 -
2006
Yz
( ) ( ) ( ) [ ]
10.9
− = + −
z Xz
1
0.9 1
y
Yz
()
=
0.9 1
10.9 10.9
Xz
( ) [ ]
1
+
y
−
−
z
−
−
z
−
1
Ponieważ transformata skoku jednostkowego wynosi
Xz
()
=
1
1
−
z −
1
oraz wartość początkowa
y [ -1 ]= 2
to:
Yz
() ( )( )
=
1
+
1
.8
10.9 1
−
z
−
1
− −
z
−
1
10.9
z
−
1
Stosujemy rozkład na ułamki proste:
Yz
()
=
A
1
+ +
A
2
1.8
10.9 1
−
z
−
1
− −
z
−
1
10.9
z
−
1
Współczynniki ułamków prostych obliczamy z zależności
A
=
1
= = −
1
9
1
1
−
z
−
z
=
0.9
1
−
10
9
A
=
1
= =
1
10
2
10.9
−
z
−
1
z
=
1
1
−
9
10
Stąd
Yz
()
=
−
9
+ +
10
1.8
OZ z
>
1
10.9 1
−
z
−
1
− −
z
−
1
10.9
z
−
1
1
163275632.001.png
 
CPS
- 3 -
2006
Jeżeli system jest przyczynowy to oznacza, że odpowiedź na skok jednostkowy jest
funkcją prawostronną, dla czasów dodatnich. Obszar zbieżności będzie zatem
zewnętrzem okręgu o promieniu 1.
Odwrotna transformata dla przyjętego obszaru zbieżności daje rozwiązanie w postaci
sygnału wyjściowego systemu:
[] ( ) [ ] [ ] ( ) [ ]
=−
9 0.9 1
n
n
+ ⋅ +
10 1
n
1.8 0.9 1
n
n
[] ( ) [ ]
=−⋅ ⋅
⎡
10 8.2 0.9
n
⎤
1
n
⎣
⎦
Przykład
Wyznaczymy odpowiedź impulsową systemu przyczynowego LTI opisanego
równaniem różnicowym, dla zerowych warunków poczatkowych.
yn
[ ] [ ] [ ]
++ =
12
yn xn
Wykorzystamy własności:
yn
[ ] ( ) [ ]
+←⎯→−
1
Z
zY z zy
0
δ ←⎯→
[] 1
n
Z
Transformując obie strony równania różnicowego ( przy wyznaczaniu odpowiedzi
impulsowej zakłada się zerowe warunki początkowe ) otrzymamy:
zY z zy
( ) [ ] ( )
− +
02
Y z
=
1
zY z
( ) ( )
+ =
2
Y z
1
Yz z +=
( )( ) 21
yn
yn
U
CPS
- 4 -
2006
Ostatecznie transformata odpowiedzi
impulsowej wynosi:
Yz
()
=
1
2
11
12
1
12
z
+
=⋅ +
⎛ ⎞
z
z
−
1
=
z
−
1
⎜ ⎟
⎝ ⎠
+
z
−
1
Transformata odwrotna wyrażenia w nawiasie (obszar zbieżności jest zewnętrzem
okręgu o promieniu 2) wynosi
1
z − ←⎯→−
Z
() []
21
n
n
12
+
1
Mnożenie przez z P -1 P powoduje w dziedzinie czasu opóźnienie sygnału o jedną próbkę,
stąd otrzymujemy:
z
−
1
⎛ ⎞ ←⎯→− −
1
Z
() [ ]
21 1
n
−
1
n
⎝ ⎠
+
z
−
1
Odpowiedź impulsowa systemu wynosi
yn
[] ( ) [ ]
−
=− −
1
21 1
n
n
Transmitancja systemu dyskretnego
Definicja U : Transmitancję H ( z ) systemu LTI definiujemy jako transformatę ZET
odpowiedzi impulsowej systemu h [ n ].
Odpowiedź y [ n ] systemu na dowolne wymuszenie x [ n ] oblicza się jako splot
odpowiedzi impulsowej h [ n ] systemu oraz wymuszenia:
yn hn xn
[] [ ] [ ]
= ∗
⎜ ⎟
12
U
163275632.002.png
CPS
- 5 -
2006
Przekształcając obie strony wyrażenia oraz wykorzystując własność
transformaty ZET ( splotu w dziedzinie czasu ), możemy wyrazić transformatę
odpowiedzi Y [ z ] w postaci iloczynu transmitancji H [ z ] oraz transformaty wymuszenia
X [ z ].
Yz HzXz
( ) ( ) ( )
=
Stąd transmitancja:
Hz
()
=
Yz
( )
()
Xz
Transmitancja systemu w zależności od współczynników równania różnicowego
System LTI w dziedzinie czasu opisuje równanie różnicowe.
∑
N
[ ] [
∑
M
]
ayn k
− =
bxn i
−
k
i
k
=
0
i
=
0
Wykorzystując własność liniowości przekształcenia ZET oraz transformaty
przesuniętych w czasie sygnałów otrzymuje się:
∑
N
az Y Z
−
k
() ()
=
∑
M
bz X z
−
i
k
i
k
=
0
=
0
Stąd transmitancja systemu może być opisana jako:
∑
bz
−
i
( )
()
Yz
()
()
i
Hz
=
Hz
=
i
N
0
Xz
∑
az
−
k
k
k
=
0
i
M
=
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin