10 Analiza stanu naprężenia - pojęcia podstawowe.pdf

(281 KB) Pobierz
12838729 UNPDF
10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE
1
10. 
10. Analiza stanu naprężenia - pojęcia podstawowe
10.1 Podstawowy zapisu wskaźnikowego
Elementy konstrukcji znajdują się w przestrzeni fizycznej . Do opisu zjawisk w niej będzie stosowany
prawoskrętny układ współrzędnych kartezjańskich przedstawiony na rysunku 10.1. Na potrzeby opisu zjawisk
zamiast tradycyjnego oznaczenia wprowadzono osie X 1 , X 2 i X 3 . Położenie dowolnego punktu opisują trzy
współrzędne x 1 , x 2 i x 3 , które można zapisać w zapisie wskaźnikowym
x i
,
(10.1)
w którym i=1, 2, 3. Indeks i będzie zawsze przyjmował wartości od 1 do 3. Prawoskrętny układ oznacza, że
śruba prawoskrętna kręcąca się od osi X 1 do osi X 2 będzie się wkręcała w kierunku osi X 3 . Podobnie śruba
kręcąca się od osi X 2 do osi X 3 będzie się wkręcała w kierunku osi X 1 . Na koniec, jeżeli śruba będzie się
kręciła od osi X 3 do osi X 1 to będzie się wkręcała w kierunku osi X 2 . Przedstawia to rysunek 10.2.
Z=X 3
A
x 3
Y=X 2
O
x 2
Rys. 10.1. Prawoskrętny układ współrzędnych.
Z=X 3
Z=X 3
Z=X 3
Y=X 2
Y=X 2
Y=X 2
Obrót śruby prawoskrętnej
Rys. 10.2. Obrót śruby prawoskrętnej.
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
12838729.009.png 12838729.010.png 12838729.011.png 12838729.012.png 12838729.001.png 12838729.002.png
10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE
2
W analizie konstrukcji często występującą wielkością jest wielkość wektorowa. Wielkością wektorową może
być siła lub przemieszczenie punktu konstrukcji. Rysunek 10.3 przedstawia przykładowy wektor A
przyłożony w początku układu współrzędnych. Wektor jest taką wielkością, którą charakteryzuje moduł
wektora, kierunek i zwrot. Jak widać na rysunku 10.3 wektor został przedstawiony za pomocą trzech
współrzędnych wektora na trzy osie przyjętego układu współrzędnych. Wektor przedstawiony na rysunku 10.3
posiada wszystkie trzy współrzędne dodatnie.
Z=X 3
A 3
O
A 2
Y=X 2
Rys. 10.3. Składowe wektora A.
Trzy współrzędne wektora można zapisać w formie macierzy kolumnowej w postaci
[
A 1
A 2
A 3
] ,
(10.2)
lub w zapisie wskaźnikowym
A i
,
(10.3)
w którym i=1, 2, 3.
Jeżeli dwa wektory A i B są równe to współrzędne wektorów spełniają warunek
A i = B i
.
(10.4)
Jeżeli pomnożymy wektor A przez skalar a, otrzymano wektor współosiowy B , który spełnia zależność
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
12838729.003.png 12838729.004.png 12838729.005.png
10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE
3
B= a ⋅ A
.
(10.5)
Równanie (10.5) w zapisie wskaźnikowym będzie miało postać
B i = a ⋅ A i
.
(10.6)
Sumowanie dwóch wektorów A i B można wykonać sumując ich współrzędne. W wyniku otrzyma się
wektor C o współrzędnych
C i = A i B i
.
(10.7)
Wektor o module równym jeden nazywamy wektorem jednostkowym . Jeżeli kierunek i zwrot wektora
jednostkowego zgodne są z kierunkiem i zwrotem osi układu współrzędnych to wektor taki nazywamy
wersorem . Wersory przedstawia rysunek 10.4.
Z=X 3
O
e 2
Y=X 2
Rys. 10.4. Wersory.
Dowolny wektor A można zapisać w postaci sumy
3
A= A 1 ⋅e 1 A 2 ⋅e 2 A 3 ⋅e 3 = ∑ i = 1
.
A i ⋅e i
(10.8)
Dla skrócenia zapisu wzoru (10.8) wprowadzono umowę sumacyjną Einstaina . Umowa ta mówi, że jeżeli w
jednomianie występuje dwa razy ten sam wskaźnik, to oznacza to, że należy wykonać sumowanie względem
wszystkich możliwych wartości tego wskaźnika. Zgodnie z tą umową wzór (10.8) będzie miał postać
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
12838729.006.png
10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE
4
A= A i ⋅e i
,
(10.9)
w którym powtarzający się wskaźnik i jest wskazówką, że należy wykonać sumowanie dla wartości i
zmieniających się od 1 do 3. Wskaźnik ten nazywa się wskaźnikiem sumacyjnym lub niemym , ponieważ
może być on zastąpiony każdym innym symbolem bez zmiany sensu zapisu. Pozostałe wskaźniki są
wskaźnikami żywymi . Jeżeli jednak wyrażenia nie mają być sumowane to wskaźniki należy ująć w nawiasy.
Iloczynem skalarnym dwóch wektorów A i B nazywamy skalar, który jest równy iloczynowi modułów
wektorów A i B oraz kosinusa kąta zawartego pomiędzy oboma wektorami.
A⋅ B= ∣ A ∣ ⋅ ∣ B ∣ ⋅ cos  .
(10.10)
Szczególnym przypadkiem będzie skalarne mnożenie wersorów. W wyniku takiego mnożenia otrzymano
e 1 ⋅e 1 =e 2 ⋅e 2 =e 3 ⋅e 3 = 1
(10.11)
oraz
e 1 ⋅e 2 =e 2 ⋅e 1 =e 1 ⋅e 3 =e 3 ⋅e 1 =e 2 ⋅e 3 =e 3 ⋅e 2 = 0
(10.12)
gdyż kąty zawarte między wersorami równe są 0 lub / 2 . Wektor A można wyrazić
A= A 1 ⋅e 1 A 2 ⋅e 2 A 3 ⋅e 3
.
(10.13)
Wektor B można wyrazić
B= B 1 ⋅ e 1 B 2 ⋅ e 2 B 3 ⋅ e 3
.
(10.14)
Iloczyn skalarny można wyrazić za pomocą wzoru
A⋅ B= A 1 ⋅e 1 A 2 ⋅e 2 A 3 ⋅e 3 ⋅ B 1 ⋅e 1 B 2 ⋅e 2 B 3 ⋅e 3 .
(10.15)
Po wykonaniu mnożenia oraz uwzględnieniu (10.11) i (10.12) otrzymano
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
12838729.007.png
10. ANALIZA STANU NAPRĘŻENIA - POJĘCIA PODSTAWOWE
5
3
A⋅ B= A 1 ⋅ B 1 A 2 ⋅ B 2 A 3 ⋅ B 3 = ∑ i = 1
A i ⋅ B i = A i ⋅ B i
.
(10.16)
Iloczyn skalarny jest działaniem przemiennym, wynik mnożenia skalarnego wektora A przez B oraz
wektora B przez wektor A będzie identyczny.
Wartość iloczynów skalarnych wersorów można zapisać w postaci
e i ⋅e j = ij =
{ 1 gdy i = j
0 gdy i ≠ j
.
(10.17)
Wartość d ij nazywamy symbolem Kroneckera . Symbol ten ma duże znaczenie w mechanice ciała stałego.
Jedno z ważnych zastosowań symbolu Kroneckera można przedstawić na przykładzie równania
A i = ij ⋅ B j
.
(10.18)
Wskaźnik j jest wskaźnikiem niemym i wzór (10.18) można przedstawić w postaci
A i = i1 ⋅ B 1  i2 ⋅ B 2  i3 ⋅ B 3
.
(10.19)
Wzór (10.19) można przedstawić w postaci
A 1 = 11 ⋅ B 1  12 ⋅ B 2  13 ⋅ B 3
A 2 = 21 ⋅ B 1  22 ⋅ B 2  23 ⋅ B 3
A 3 = 31 ⋅ B 1  32 ⋅ B 2  33 ⋅ B 3
.
(10.20)
Uwzględniając wartości delty Kroneckera wzór (10.20) można zapisać
A 1 = B 1 dla i = 1
A 2 = B 2 dla i = 2
A 3 = B 3 dla i = 3
.
(10.21)
Ostatecznie wzór (10.18) można zapisać
A i = ij ⋅ B j = B i
.
(10.22)
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
12838729.008.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin