geometria różniczkowa W.Bołt.pdf

(357 KB) Pobierz
257378629 UNPDF
WitoldBołt
napodstawiewykładu
dr.hab.AndrzejaSzczepa«skiego,prof.UG
Geometria ró»niczkowa
15czerwca2007
Uwaga! Je±li zauwa»ysz jakie± bł¦dy to pisz: Witold Bołt h ja@hope.art.pl i .
Aktualn¡ wersj¦ tego dokumentu mo»na zawsze znale¹¢ w Internecie na stronie
Dzi¦kuj¦ wszystkim, którzy swoj¡ cierpliwo±ci¡ i jak¡kolwiek pomoc¡ przyczynili
si¦ do powstania tego tekstu.
Witold Bołt
257378629.001.png
Spis tre±ci
1 Teoria krzywych
5
1.1 Podstawowe definicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.2 Podstawowe własno±ci, wzory Freneta . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Krzywe w przestrzeniR
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Teoria powierzchni 13
2.1 Rozmaito±ci ró»niczkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Podstawowe poj¦cia, metryka Riemanna . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Geodezyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.1 Równania ró»niczkowe geodezyjnych . . . . . . . . . . . . . 16
2.4 Krzywizna powierzchni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4.1 Krywizna Gaussa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4.2 Druga forma kwadratowa i przekroje normalne . . . . . . . . 18
2.4.3 Lokalny układ współrz¦dnych . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5 Twierdzenie Egregium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.6 Twierdzenie Gaussa–Bonneta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.6.1 Płaszczyzna hiperboliczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.6.2 Współrz¦dne geodezyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.6.3 Dowód twierdzenia Gaussa–Bonneta . . . . . . . . . . . . . 35
Bibliografia
39
3
1.3 Wzory Freneta wR
257378629.002.png
Rozdział 1
Teoria krzywych
Oznaczenia. Liter¡ I b¦dziemy oznacza¢ przedziały (zazwyczaj domkni¦te) [ a,b ]
wR. Niech dana b¦dzie funkcja ró»niczkowalna f : I ! R n , oraz niech t 0 2 I . Po-
chodn¡ f w punkcie t 0 oznaczamy f 0 ( t 0 ) i rozumiemy jako wektor: lim h ! 0 f ( t 0 + h ) − f ( t 0 )
h .
1.1 Podstawowe definicje
Definicja 1.1.1 (krzywa i parametryzacja krzywej) . Krzyw¡ w przestrzeniR
n
nazywamy dowolny ci¡gły obraz odcinka I = [ a,b ].
Funkcj¦ ci¡gł¡ c : I ! R
n nazywamy parametryzacj¡ krzywej , o ile = c ( I ).
W dalszej cz¦±ci tego opracowania b¦dziemy uto»samia¢ (tam gdzie to mo»liwe)
krzyw¡ i jej opis parametryczny (na obie te rzeczy b¦dziemy mówi¢ krzywa). Krzywe
oznacza¢ b¦dziemy literami c lub .
B¦dziemy zakłada¢ (je±li nie napisano inaczej), »e rozwa»ane przez nas krzywe
s¡ klasy C m dla pewnego m > 0.
Definicja 1.1.2 (krzywa regularna) . Mówimy, »e krzywa jest regularna (ma opis
regularny), gdy:
8 t 2 I 0 ( t ) 6 = 0 .
Przykład 1.1.3. Niech dane b¦d¡ krzywe, zadane przez parametryzacje: 1 ( t ) =
(cos t, sin t ), t 2 [0 , 2 ]; 2 ( t ) = (cos − 2 t, sin − 2 t ), t 2 [0 , ]. Obie parametryzacje
opisuj¡ t¡ sam¡ krzyw¡. Z drugiej strony, zauwa»my, »e 1 (0) = 2 (0) = (1 , 0), oraz
0 1 (0) = (0 , 1), 0 2 (0) = (0 , − 2). Pochodne wyznaczaj¡ tutaj wektory styczne. W obu
przypadkach s¡ one równoległe, jednak ró»ni¡ si¦, zale»nie od parametryzacji.
Definicja 1.1.4 (długo±¢ krzywej) . Niech : [ , ] ! R n b¦dzie krzyw¡. Długo±¢
krzywej oznaczamy przez L ( ) i definiujemy:
L ( ) =
Z
| 0 ( t ) | dt
5

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin