geometria różniczkowa - wstęp.pdf - Matematyka studia - sebcio97

Wst¦pdogeometriiró»niczkowej

PawełG.Walczak

17maja2004roku

1Wst¦p

Przedmiotembada«geometriiró»niczkowejs¡krzywe,powierzchnieiich

wielowymiaroweuogólnieniazwanehiperpowierzchniamiirozmaito±ciami.

Metodygeometriiró»niczkowejopartes¡narachunkuró»niczkowym:krzy-

we(powierzchnie,hiperpowierzchnieitp.)opisujesi¦przypomocyfunkcji

ró»niczkowalnych(tj.gładkich,jednejiwieluzmiennych),aichwłasno±ci

geometrycznebadasi¦przypomocypochodnych(pierwszych,drugichiwy»-

szych)zwyczajnychicz¡stkowychtychfunkcji.Wykładopartyb¦dziena

wybranychfragmentachksi¡»ki[ Op ],asłuchaczomproponujemyrównie»

lektur¦odpowiednichframentówjednej(lubkilku)zpozostałychksi¡»ek

wymienionychwBibliograﬁi.

Spistre±ci

1Wst¦p 1

2Geometriakrzywych 2

2.1Poj¦ciekrzywej.......................... 2

2.2Długo±¢krzywejregularnej,parametryzacjanaturalna..... 4

2.3Krzywiznaiskr¦cenie,trój±cianFreneta............ 6

3Powierzchnie 9

3.1Deﬁnicjaiprzykłady....................... 9

3.2Przestrze«styczna,wektornormalny,orientacja........11

3.3Pierwszaformapodstawowa...................13

3.4KoneksjaLevi-CivitaiwspółczynnikiChristoela.......14

3.5Przeniesienierównoległeigeodezyjne..............17

3.6Drugaformapodstawowa....................20

3.7Krzywiznanormalna.......................24

3.8OdwzorowanieikrzywiznaGaussa...............25

3.9WzoryCodazziegoipodstawowetwierdzenieteoriipowierzchni29

2Geometriakrzywych

2.1Poj¦ciekrzywej

Intuicyjnie,przezkrzyw¡rozumiesi¦jednowymiarowypodzbiórpewnejprze-

strzeni(metrycznej,topologicznej,płaszczyzny,trójwymiarowejlub n -wymia-

rowejprzestrzenieuklidesowejitp.).Wﬁzyce,krzywatotrajektoriaruchu

punktumaterialnego.Turozwa»a¢b¦dziemyprzedewszystkimkrzywepo-

ło»onewprzestrzenitrójwymiarowejlubnapłaszczy¹nie.Poniewa»niektóre

poj¦ciaifaktyprzenosz¡si¦”automatycznie”naprzypadekprzestrzenio

dowolnymwymiarzeprzyjmiemynast¦puj¡c¡deﬁnicj¦.

n nazywa-

myci¡głeprzekształcenie przedziału(otwartegolubdomkni¦tego,wła±ci-

wegolubnie) J R w R

n .

Ci¡gło±¢przekształcenia =( 1 ,..., n )jestrównowa»naci¡gło±ciwszyst-

kichjego współrz¦dnych j , j =1 ,...,n .

Poniewa»trajektoriaopisywanaprzezporuszaj¡cysi¦punktniezale»yod

pr¦dko±ciruchuprzyjmujesi¦cz¦sto,»edwiekrzywe : J ! R

n i : I ! R

s¡ równowa»ne ,gdyistniejefunkcja f : J ! I ci¡gła,rosn¡caitaka,»e

f ( J )= I oraz = f .Oczywi±cie,takokre±lonarelacjarównowa»no±ci

jestzwrotna,symetrycznaiprzechodnia,mo»nawi¦cmówi¢ojejklasach

abstrakcji.Ka»datakaklasajestwyznaczonejednoznacznieprzezdowolnego

swegoreprezentanta,aka»dakrzywa(wsensieDef.1)nale»ydopewnejklasy

abstrakcji.Dlategomo»nate»przyj¡¢inneokre±leniekrzywej:

Deﬁnicja2 Krzyw¡ w R n nazywamyklas¦abstrakcji(wzgl¦demrelacjiopi-

sanejpowy»ej)dowolnegoci¡głegoprzekształcenia pewnegoprzedziału

J R w R

Deﬁnicja1 Krzyw¡ w n- wymiarowejprzestrzenieuklidesowej R

n . Wtedy,ka»deprzekształceniereprezentuj¡cet¦klas¦nazy-

wamy parametryzacj¡ krzywejprzezniereprezentowanej.Je»eli J =[ a,b ]

jestprzedziałemdomkni¦tymi ( a )= ( b ) , tokrzyw¡oparametryzacji

nazywamy zamkni¦t¡. (Oczywi±cie,okre±lenietojestpoprawne,toczykrzy-

wajestzamkni¦taczynieniezale»yodwyborujejparametryzacji.)

n ustalonymele-

mentemzwanymczasem wektoremkierunkowym prostej),okr¡g( ( t )=

( x 0 + r cos t,y 0 + r sin t ), t 2 [0 , 2 ],gdzie( x 0 ,y 0 ) 2 R jestjego ±rodkiem ,

a r> 0-jegopromieniem)oraz krzywesto»kowe : elipsa oparametryzacji

( t )=( a cos t,b sin t ), hiperbola oparametryzacji ( t )=( a cosh t,b sinh t )i

parabolaoparametryzacji ( t )=( t 2 ,t ), t 2 R .Krzyw¡płask¡(oparame-

tryzacji ( t )=( t,f ( t )))jestte»wykresdowolnejfunkcjici¡głej f : J ! R .

Niektórekrzywe(np.okr¡g)mo»naopisa¢równaniempostaci F ( x,y )=0,

gdzie F jestfunkcj¡ci¡gł¡dwuzmiennychrzeczywistych;wprzypadkuokr¦-

guo±rodku( x 0 ,y 0 )ipromieniu r równaniemtakimjest-jakdobrzewiemy

-( x − x 0 ) 2 +( y − y 0 ) 2 = r 2 .Ztwierdzeniaofunkcjiuwikłanej(por.wykład

analizymatematycznej)wynika,»eje±li F jestfunkcj¡ró»niczkowaln¡klasy

C 1 ,torównanie F ( x,y )=0opisujepewn¡krzyw¡przechodz¡c¡przeztaki

punkt( x 0 ,y 0 )dziedzinyfunkcji F wktórym F ( x 0 ,y 0 )=0iwektor

@x ( x 0 ,y 0 ) , @F

dF ( x 0 ,y 0 )=

@y ( x 0 ,y 0 )

jestniezerowy.

Krzywewsensiepowy»szejdeﬁnicjimog¡by¢bardzoskomplikowanei

trudnedozbadania.Np.,Peano(1890)wykazałistnieniekrzywejprzecho-

dz¡cejprzezwszystkiepunktypewnegoobszarupłaszczyzny(np.kwadratu).

Dlategoograniczymysi¦tudobadaniakrzywychznaczniew¦»szejklasy:

n nazywamy ró»niczkowal-

n¡ lub gładk¡ (klasyC k , k =1 , 2 ,..., 1 ),gdywszystkiefunkcje j , j =

1 ,...,n ,s¡ k -krotnieró»niczkowalne,aich k -tepochodne ( k ) s¡ci¡głe.Wek-

tor 0 ( t )=( 0 1 ( t ) ,... 0 n ( t ))nazywamy stycznym dokrzywej wchwili t 2 J .

Krzyw¡ nazywamy regularn¡ ,gdyjestgładkaklasy(przynajmniej)C 1 i

0 ( t ) 6 =0dladowolnego t 2 J .Prost¡ R 3 s 7! ( t )+ s · 0 ( t )nazywamy

styczn¡ dokrzywejregularnej wchwili t (lubwpunkcie ( t )) .

Uwaga1 Je±li J jestprzedziałem(jedno-lubobustronnie)domkni¦tymi a

jestjednymzjegoko«ców,toprzez 0 j ( a )rozumiemyodpowiedni¡pochodn¡

jednostronn¡funkcji j .

Dobrzeznanymiprzykładamikrzywychs¡m.in.prosta( ( t )= x 0 + ta ,

t 2 R ,gdzie x 0 2 R jestustalonympunktemza± a 2 R

Deﬁnicja3 Krzyw¡ =( 1 ,..., n ): J ! R

Wspomnianepowy»ejkrzywe:prosta,okr¡gikrzywesto»kowes¡ró»nicz-

kowalneklasyC 1 iregularne.Niewszystkiekrzyweopisuj¡cenawetproste

zjawiskaﬁzycznes¡regularne:

Przykład1 Przypu±¢my,»ekołoopromieniu r toczysi¦(bezpo±lizgu)po

prostejdo«stycznej.Dowolnypunktokr¦gutegokołaporuszasi¦pokrzywej

( t )=( r ( t − sin t ) ,r (1 − cos t ))zwanej cykloid¡ .Cykloidajestoczywi±cie

ró»niczkowalnaklasyC 1 aleniejestregularna: 0 ( t )=0gdy t jestcałkowit¡

wielokrotmo±ci¡liczby2 .Krzyw¡ ( t )=( rt − a sin t,r − a sin t )nazywasi¦

(dlaczego?) cykloid¡wydłu»on¡ (odp., skrócon¡ ),gdy r<a (odp., r>a ).

Słuchaczbeztruduzbada(!)ró»niczkowalno±¢iregularno±¢tychkrzywych.

Przykład2 Prostymprzykłademkrzywejprzestrzennejjest linia±rubowa

( t )=( a cos t,a sin t,bt ) ,t 2 R , gdzie aib s¡stałymidodatnimi.Krzywa

tajestpoło»onanapowierzchniwalca,któregoosi¡jesttrzeciao±układu

współrz¦dnych,apromie«wynosi a; liczb¦ b nazywasi¦ skokiem linii±rubowj

2.2Długo±¢krzywejregularnej,parametryzacjanatu-

ralna

n (lub :[ a,b ] ! X ,gdzie X jestprzestrzeni¡metryczn¡)

jestdowoln¡krzyw¡,tojejdługo±¢ L ( )okre±lamyjakokresgórnydługo±ci

łamanychwpisanychw ;dokładniej,

L ( )=sup {

m X

d ( ( t j ) , ( t j +1 ); a ¬ t 1 ¬ t 2 ¬···¬ t m ¬ t m +1 ¬ b,m 2 N } ,

j =1

gdzie d jestodległo±ci¡w R

n (odp.w X ).

Deﬁnicja4 Krzywa jest prostowalna ,gdy L ( ) < 1 .

Bardzołatwoskonstruowa¢przykładykrzywychnieprostowalnych(np.,

napłaszczy¹nie).Stosuj¡cnierówno±¢trójk¡tamo»nate»sprawdzi¢,»eje±li

krzywa jestprostowalna,to

L ( )=lim

k !1

k X

d ( ( t k,j ,t k,j +1 ) ,

j =1

Je»eli :[ a,b ] ! R

gdzie k = { t k, 1 ,...,t k,k +1 } , k =1 , 2 ,... ,jestdowolnymnormalnymci¡giem

podziałówprzedziału[ a,b ](tzn., a = t k, 1 <t k, 2 < ··· <t k +1 = b i±rednica

k =max

j | t k,j − t k,j +1 |

n jestkrzyw¡regularn¡,tofunkcja k 0 ( t ) k , t 2 [ a,b ],

jestfunkcj¡ci¡gł¡,jestwi¦ccałkowalnawsensieRiemanna.

Twierdzenie1 Dowolnakrzywaregularna :[ a,b ] ! R

n jestprostowalna

oraz

Z b

k 0 ( t ) k dt. (2.2.1)

L ( )=

Dowód. Ztwierdzeniaowarto±ci±redniejwynika,»edladowolnych s,t 2

[ a,b ]( s<t )istniej¡liczby i 2 ( s,t )takie,»e

i ( t ) − i ( s )=( t − s ) 0 i ( i ) ,

gdzie i , i =1 ,...,n ,s¡współrz¦dnymikrzywej .Je±liwi¦c k , k 2 N ,jest

-takjakpowy»ej-ci¡giemnormalnympodziałówprzedziału[ a,b ],to

k X

d ( ( t k,i , ( t k,i +1 )=

k X

( t k,i +1 − t k,i ) ·

s X

( 0 i ) 2 ( k,i,j )

j =1

dlapewnych k,i,j 2 ( t k,j ,t k,j +1 ).Łatwozauwa»y¢,»epowy»szesumyprzybli-

»aj¡(zdowoln¡dokładno±ci¡,gdy k jestdostateczniedu»e)sumyRiemanna

całkiw(2.2.1).

Je»elisymbolem L ( t )oznaczymydługo±¢krzywej | [ a,t ],tootrzymamy

funkcj¦ró»niczkowaln¡ L :[ a,b ] ! R okre±lon¡wzorem

Z t

k 0 ( s ) k ds,

L ( t )=

którejpochodnawdowolnympunkcie t wynosi L 0 ( t )= k 0 ( t ) k ijestdodatnia.

Funkcja L jestwi¦c±ci±lerosn¡cai L ([ a,b ])=[0 ,L ( )].Niech = L − 1 b¦dzie

funkcj¡do«odwrotn¡.Zło»enie przedstawiat¦sam¡krzyw¡,przyczym

( ) 0 ( s )= 1

L 0 ( ( s )) · ( 0 ( ( s ))

podziału k d¡»ydo0,gdy k !1 .

Je»eli :[ a,b ] ! R

geometria różniczkowa - wstęp.pdf

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: