Wyklad1B.pdf
(
94 KB
)
Pobierz
UDA-PO KL.04.01.01-00-082
/
08-00 Pomorski Port Edukacji i Praktyki - Program Rozwoju
Wy»szej Szkoły Bankowej w Gda«sku
Wykład 1B
PRAWDOPODOBIESTWO WARUNKOWE
Przykład.
Rzucamy jeden raz symetryczn¡ kostk¡ sze±cienn¡. Jakie jest prawdopodobie«stwo,
»e:
a) wypadnie parzysta liczba oczek?
b) wypadnie parzysta liczba oczek, pod warunkiem, »e liczba oczek b¦dzie wi¦ksza od 3?
a) Zbiór wszystkich wyników =
{
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
}
. Niech
A
oznacza zdarzenie polegaj¡ce
na wyrzuceniu parzystej liczby oczek. Zdarzeniu
A
sprzyjaj¡ trzy wyniki
A
=
{
2
,
4
,
6
}
, zatem
P
(
A
) =
3
6
1
2
.
b) Zbiór wszystkicz wyników w tym do±wiadczeniu to
B
=
{
4
,
5
,
6
}
. Spo±ród tych wyników
4 i 6 s¡ liczbami parzystmi. Mo»emy zapisa¢ to nast¦puj¡co:
A
\
B
=
{
2
,
4
}
. Zatem szukane
prawdopodobie«stwo jest równe:
=
A
\
B
B
2
3
.
=
—————————
Prawdopodobie«stwo zdarzenia
A
, gdy wiemy, »e zaszło zdarzenie
B
, nazywamy
prawdopodo-
bie«stwem warunkowym
i oznaczamy
P
(
A
|
B
). Zauwa», »e w schemacie klasycznym mamy
P
(
A
|
B
) =
A
\
B
. Zatem:
A
\
B
B
P
(
A
|
B
) =
A
\
B
B
=
P
(
A
\
B
)
P
(
B
)
=
.
——————————
Ostatni¡ równo±¢ przyjmujemy jako definicj¦ prawdopodobie«stwa warunkowego w ogólnym
przypadku.
DEFINICJA.
Niech
A,B
i
P
(
B
)
>
0. Prawdopodobie«stwo zdarzenia
A
pod warunkiem
zdarzenia
B
, okre±lamy wzorem:
P
(
A
|
B
) =
P
(
A
\
B
)
P
(
B
)
.
Przykład.
W urnie jest 7 kul niebieskich i 4 czerwone. Losujemy z niej kolejno bez zwracania,
dwie kule. Niech
A
oznacza zdarzenie polegaj¡ce na wylosowaniu za drugim razem kuli czerwo-
nej, a
B
- polegaj¡ce na wylosowaniu za pierwszym razem kuli niebieskiej. Oblicz
P
(
A
|
B
).
Je±li za pierwszym razem wyci¡gn¦li±my kul¦ niebiesk¡, to w urnie pozostało 6 kul niebie-
skich i 4 czerwone. Zatem:
4
10
2
5
.
P
(
A
|
B
) =
=
1
wiczenie.
Z urny, w której jest 5 kul białych i 7 czarnych, losujemy dwie kule bez zwracania.
Niech
A
oznacza zdarzenie polegaj¡ce na wylosowaniu za drugim razem kuli czarnej,
B
1
- na
wylosowaniu za pierwszym razem kuli białej,
B
2
- na wylosowaniu za pierwszym razem kuli
czarnej. Oblicz
P
(
A
|
B
1
) i
P
(
A
|
B
2
). Umie±¢ obliczone prawdopodobie«stwa na odpowiednim
drzewie.
Przykład
Pewna choroba wyst¦puje u 0
,
1% ogółu ludno±ci. Test do jej wykrycia daje zawsze odpowied¹
pozytywn¡ u osób chorych oraz w 5% osób zdrowych. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e osoba
u której test dał odpowied¹ pozytywn¡ jest naprawd¦ chora?
Oznaczmy:
D
– wylosowana osoba ma odczyt pozytywny,
C
– wylosowana osoba jest chora,
Z
– wylosowana osoba jest zdrowa. Mamy obliczy¢ prawdopodobie«stwo
P
(
C
|
D
). Z definicji
prawdopodobie«stwa warunkowego i ze wzoru na prawdopodobie«stwo całkowite mamy:
P
(
C
|
D
) =
P
(
C
\
D
)
P
(
D
)
P
(
C
)
·
P
(
D
|
C
)
P
(
C
)
P
(
D
|
C
) +
P
(
Z
)
P
(
D
|
Z
)
==
=
0
,
001
·
1
0
,
001
·
1 + 0
,
999
·
0
,
05
=
= 0
,
02
Prawdopodobie«stwo, »e osoba u której test dał pozytywny wynik jest chora jest równe 0,02.
Wzór Bayesa ( wzór na prawdopodobie«stwo przyczyny)
Niech B
1
,B
2
b¦d¡ zdarzeniami o dodatnich
prawdopodobie«stwach takimi, »e B
1
[
B
2
=
oraz B
1
\
B
2
=
;
. Wówczas dla dowolnego zdarzenia
A
o prawdopodobie«stwie dodatnim zachodzi wzór:
P
(
B
1
)
·
P
(
A
|
B
1
)
P
(
B
1
)
P
(
A
|
B
1
) +
P
(
B
2
)
P
(
A
|
B
2
)
P
(
B
1
|
A
) =
1.
Jak zmieni si¦ prawdopodobie«stwo, »e osoba z odczytem dodatnim jest chora (patrz przy-
kład powy»ej), je±li test b¦dzie dawał odczyt pozytywny w przypadku:
a) 0
,
1% osób zdrowych,
b) 0
,
01% osób zdrowych?
2
Plik z chomika:
kina_tczew
Inne pliki z tego folderu:
egzamin prawdopodobienstwo.pdf
(70 KB)
Wyklad04.pdf
(83 KB)
Wyklad03.pdf
(140 KB)
Wyklad02.pdf
(132 KB)
Wyklad1B.pdf
(94 KB)
Inne foldery tego chomika:
ANGIELSKI
Ekonometria
ELEMENTY PRAWA
Filozofia
HISZPAŃSKI
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin