KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW: to grupa twierdzeń pozwalających ustalić,
czy dany szereg jest zbieżny, czy nie.
Niech dany będzie szereg ∑an o wyrazach rzeczywistych lub zespolonych.
WARUNEK KONIECZNY ZBIEŻNOŚCI: Jeśli wyraz ogólny szeregu ∑an nie zbiega do 0,
to szereg ten jest rozbieżny. Jeśli limn→∞ an = 0 to warunek konieczny nie rozstrzyga,
czy szereg jest zbieżny czy nie i trzeba użyć innego kryterium.
WARUNEK CAUCHY’EGO ZBIEŻNOŚCI: Dla szeregów liczbowych zachodzi następujący
warunek zbieżności, pochodzący od Cauchy'ego: Szereg liczbowy ∑an jest zbieżny wtedy
i tylko wtedy, gdy: Jest to równoważne temu, że ciąg sum częściowych ciągu (an) jest ciągiem Cauchy'ego.
ZBIEŻNOŚĆ BEZWZGLĘDNA: Szereg ∑an nazywamy zbieżnym bezwzględnie, jeżeli zbieżny jest szereg ∑|an|. Jeżeli dany szereg jest zbieżny bezwzględnie, to jest on zbieżny również w zwykłym sensie.
KRYTERIUM D’ALEMBERTA:
szereg ∑an jest zbieżny
szereg ∑an jest rozbieżny
kryterium nie rozstrzyga
KRYTERIUM RAABEGO:
KRYTERIUM CAUCHY’EGO: Jeżeli granica ciągu istnieje i jest mniejsza od 1, to szereg
jest zbieżny; jeżeli granica ta jest większa od 1, szereg jest rozbieżny.
KRYTERIUM CAŁKOWE: Szereg o wyrazie ogólnym an = f(n) jest zbieżny, jeżeli f(x) jest funkcją monotonicznie malejącą i całka niewłaściwa jest zbieżna; natomiast jeżeli całka ta jest rozbieżna, to szereg o wyrazie ogólnym f(n) jest rozbieżny. Przy tym dolną granicę całkowania a należy tak obrać, żeby funkcja f(x) w przedziale była oznaczona i nie miała punktów nieciągłości.
KRYTERIUM ILORAZOWE (NAZYWANE TEŻ KRYTERIUM PORÓWNAWCZYM W POSTACI GRANICZNEJ): Jeżeli mamy szeregi ∑an, ∑bn i znamy typ (rozbieżny, zbieżny) jednego z nich,
oraz 0 < lim n→∞ (an/bn) < ∞, to drugi z nich jest tego samego typu.
Ponadto:
Jeżeli lim n→∞ (an/bn) = 0 i ∑bn jest zbieżny, to ∑an jest zbieżny.
Jeżeli lim n→∞ (an/bn) = ∞ i ∑an jest zbieżny, to ∑bn jest zbieżny.
Tika02