Otremba Z - Mechanika.pdf

(269 KB) Pobierz
Microsoft Word - 01-MECHANIKA.doc
Mechanika
1
1. MECHANIKA
Mechanika - to idee odnosz Ģ ce si ħ do zrozumienia i opisu wszelkiego ruchu. Wprowadzone tu poj ħ cia i wielko Ļ ci
daj Ģ postawy innym działom fizyki oraz mechanice technicznej.
Mechanika nie jest jednolit Ģ dziedzin Ģ , i tak:
• Mechanika klasyczna zawiera idee, które znajduj Ģ zastosowanie do opisu zjawisk zachodz Ģ cych w skali
czasu i przestrzeni bliskiej człowiekowi, to znaczy przebiegaj Ģ w czasie zbli Ň onym do czasu Ň ycia
człowieka, w przestrzeni zbli Ň onej do jego rozmiarów, (czyli co najwy Ň ej kilka rz ħ dów wi ħ cej lub mniej).
• Mechanika kwantowa zawiera idee przydatne w opisie zjawisk przebiegaj Ģ cych w skali bardzo krótkich
odcinków czasu, w obr ħ bie bardzo małych rozmiarów.
• Mechanika relatywistyczna zawiera idee w obr ħ bie zjawisk w skali du Ň ych szybko Ļ ci i przy Ļ piesze ı . Przy
czym matematyczne idee mechaniki relatywistycznej i mechaniki kwantowej nie s Ģ sprzeczne z
mechanik Ģ klasyczn Ģ - s Ģ od niej ogólniejsze.
Dydaktyka mechaniki klasycznej sformułowanej przez Newtona wykształciła trzy cz ħĻ ci: statyk ħ , kinematyk ħ i
dynamik ħ .
• Statyka zajmuje si ħ ciałami pozostaj Ģ cymi w bezruchu, a matematycznie s Ģ to równania wynikaj Ģ ce z
bilansu sił i momentów sił (rozdział 1.1).
• Kinematyka to opisywanie ruchu oraz wielko Ļ ciami potrzebnymi do analizy ruchu (rozdział 1.2).
• Dynamika umo Ň liwia opisanie ruchu na bazie znajomo Ļ ci rozkładów sił i momentów sił (rozdział 1.3).
Rys. 1.1. Działy mechaniki.
Rozł Ģ czne traktowanie kinematyki i dynamiki ma przyczyn ħ wył Ģ cznie dydaktyczn Ģ (stopniowanie trudno Ļ ci),
jako Ň e dynamika obejmuje swoim zakresem równie Ň kinematyk ħ (rys. 1.1). Matematyka w kinematyce to głównie
ró Ň niczkowanie (cz ħĻ ciowo tak Ň e całkowanie). Natomiast matematyka w dynamice – to przede wszystkim
całkowanie oraz okre Ļ lanie stałych całkowania na podstawie warunków brzegowych (rozdział 1.3).
NEWTON Isaac (1643-1727
W rozdziale Mechanika rozwa Ň any jest jeden rodzaj ciała fizycznego – bryła sztywna . Mechanika innych ciał –
jak: materiały plastyczne, przedmioty elastyczne, płyny Ļ ci Ļ liwe i nie Ļ ci Ļ liwe, ciecze lepkie, a tak Ň e media
specjalne (np ciekłe kryształy, ferrosmary) – mo Ň e by ę rozwa Ň ana dopiero po zapoznaniu si ħ z mechanik Ģ bryły
sztywnej (niniejszy podr ħ cznik tych zagadnie ı nie uwzgl ħ dnia).
1.1. Statyka
Statyka zajmuje si ħ analiz Ģ warunków, przy jakich ciała pozostaj Ģ w bezruchu. Chodzi o bilans sił i momentów sił:
1/ Suma zewn ħ trznych sił działaj Ģ cych w kierunku Ļ rodka masy ciała wynosi zero (1.1.1).
C
à =
n
=
0
(1.1.1)
i
1
2/ Suma zewn ħ trznych momentów sił działaj Ģ cych na ciało wynosi zero (1.1.2).
à =
n
M C
i
=
0
(1.1.2)
i
1
Reguła 1.1.1 oraz reguła 1.1.2 dostarczaj Ģ równa ı , których rozwi Ģ zanie zawiera informacje o warunkach
pozostawania ciała (czy układu ciał) w stanie statycznym (w bezruchu).
1.2. Kinematyka
Podstawowym zagadnieniem w kinematyce jest identyfikacja poło Ň enia . W przypadku ruchu post ħ powego jest to
wektor wskazuj Ģ cy poło Ň enie punktu (np. Ļ rodka masy ) w przestrzeni (rozdział 1.2.1.1), natomiast w ruchu
obrotowym jest to k Ģ t obrotu bryły (rozdział 1.2.2).
Z poło Ň enia mo Ň na wyznaczy ę szereg wielko Ļ ci, np.: pr ħ dko Ļę , szybko Ļę , przemieszczenie, drog ħ ,
przy Ļ pieszenie, szybko Ļę Ļ redni Ģ , pr ħ dko Ļę Ļ redni Ģ itd.
718247127.009.png 718247127.010.png
 
2
Mechanika
1.2.1. Kinematyka w ruchu post ħ powym
Dział kinematyka w ruchu post ħ powym uczy umiej ħ tno Ļ ci wyznaczania wielko Ļ ci kinematycznych z uprzednio
zidentyfikowanego poło Ň enia (diagram na rys.1.2.1.1).
Rys. 1.2.1.1. Wielko Ļ ci kinematyczne.
1.2.1.1. Poło Ň enie
Poło Ň enie (t)
C to wektorowa funkcja czasu, opisuj Ģ ca ruch punktu w przestrzeni. Pocz Ģ tek poło Ň enia znajduje si ħ w
pocz Ģ tku układu współrz ħ dnych, koniec poło Ň enia (strzałka) wskazuje miejsce, gdzie w danym momencie znajduje
si ħ punkt (rys. 3). Poło Ň enie (t)
C . Ka Ň da z tych składowych daje si ħ
przedstawi ę jako współrz ħ dna (x(t), y(t) lub z(t)) pomno Ň ona przez wła Ļ ciwy wersor ( i – wzdłu Ň osi x, j – wzdłu Ň
osi y, k – wzdłu Ň osi z):
C mo Ň na rozło Ň y ę na składowe
C ,
C i
C = x(t) i ;
C = y(t) j ;
C = z(t) k
Z tego wzgl ħ du poło Ň enie (t)
C
zapisuje si ħ w postaci sumy poszczególnych składowych:
(t)
C
= x(t) i + y(t) j + z(t) k (1.2.1.1.1)
Rys. 1.2.1.1.1. Poło Ň enie.
Współrz ħ dne x(t), y(t), z(t) (trzy funkcje czasu) - z matematycznego punktu widzenia - stanowi Ģ układ równa ı
parametrycznych opisuj Ģ cy kształt krzywej – tor ruchu punktu.
Poło Ň enie, chocia Ň opisuje ruch obiektu idealnego – czyli tzw. punktu materialnego , nadaje si ħ tak Ň e do opisu
ruchu translacyjnego bryły sztywnej. Ruch translacyjny wyst ħ puje wtedy, gdy wszystkie punkty bryły poruszaj Ģ si ħ
po takich samych, równoległych torach (rys. 1.2.1.1. 2).
Rys. 1.2.1.1 . 2 . Ruch translacyjny.
718247127.011.png
Mechanika
3
D C - wektor, którego pocz Ģ tek dotyka miejsca, gdzie punkt znajduje si ħ w momencie t 1 ,
a koniec – w miejscu - gdzie punkt znajduje si ħ w momencie t 2 . Wektor ów, to ró Ň nica poło Ň enia ko ı cowego i
poło Ň enia pocz Ģ tkowego (rys. 1.2.1.2.1).
r
(t
1 ®
t
2
)
D
C
r
(t
®
t
)
=
r
(t
)
−
r
(t
)
(1.2.1.2.1)
1
2
2
1
Rys. 1.2.1.2.1. Przemieszczenie.
1.2.1.3. Pr ħ dko Ļę Ļ rednia
Pr ħ dko Ļę Ļ rednia
v
(
t
®
t
)
w czasie od t 1 do t 2 to przemieszczenie w czasie od t 1 do t 2 przez czas owego
Ļ r
1
2
przemieszczania.
C
D
r
(
t
®
t
)
v
(
t
®
t
)
=
1
2
(1.2.1.3.1)
Ļ r
1
2
t
−
t
2
1
1.2.1.4. Pr ħ dko Ļę
Pr ħ dko Ļę (angielskie ‘ velocity’ ) (t)
C
jest wektorow Ģ funkcj Ģ czasu okre Ļ laj Ģ c Ģ szybko Ļę zmiany poło Ň enia , czyli
pochodna poło Ň enia wzgl ħ dem czasu.
C
d
r
(t)
v
(t)
=
(1.2.1.4.1)
dt
Rys. 1.2.1.4.1 . Pr ħ dko Ļę .
C
d
r
(t)
d
x(t)
i
+
y(t)
j
+
z(t)
k
]
dx(t)
dy(t)
dz(t)
v
(t)
=
=
=
i
+
j
+
k
=
(1.2.1.4.2)
dt
dt
dt
dt
dt
=
v
x
(t)
i
+
v
y
(t)
j
+
v
z
(t)
k
Z definicji pr ħ dko Ļ ci wynika, Ň e jej kierunek i zwrot s Ģ takie same jak kierunek i zwrot elementarnego
przemieszczenia r
d C . Zatem pr ħ dko Ļę jest wektorem w ka Ň dej chwili stycznym do toru ruchu .
1.2.1.2. Przemieszczenie
Przemieszczenie
C
C
C
C
C
C
718247127.001.png
4
Mechanika
1.2.1.5. Szybko Ļę
Szybko Ļę v(t) (angielskie ‘ speed’ ) jest modułem pr ħ dko Ļ ci :
v(t) = (1.2.1.5.1)
Ponadto, w wypadku gdy znana jest funkcja drogi s(t) w zale Ň no Ļ ci od czasu, szybko Ļę mo Ň e by ę wyliczona z
pochodnej drogi .
v
v(t) = (1.2.1.5.2)
Szybko Ļę w jħzyku angielskim okreĻla słowo speed , natomiast pr ħ dko Ļę – velocity .
ds(t)
dt
Operacyjna definicja szybko Ļ ci przyjmuje posta ę :
v(t)
=
(
dx(t)
)
2
+
(
dy(t)
)
2
+
(
dz(t)
)
2
(1.2.1.5.3)
dt
dt
dt
1.2.1.6. Droga
Droga to długo Ļę toru , po jakim punkt porusza si ħ w okre Ļ lonym czasie. W czasie od momentu t 1 do momentu t 2
punkt przebywa drog ħ równ Ģ całce z szybko Ļ ci wzgl ħ dem czasu w granicach od t 1 do t 2 .
t
2
s(t
®
t
)
=
Ð
(
dx(t)
)
2
+
(
dy(t)
)
2
+
(
dz(t)
)
2
dt
(1.2.1.6.1)
1
2
dt
dt
dt
t
Rys. 1.2.1.6 .1. Droga.
W matematyce istnieje poj ħ cie hodograf , które okre Ļ la geometryczne miejsce ko ı ców wektorów funkcji
wektorowej, odmierzonych z jednego nieruchomego punktu w przestrzeni (np. z pocz Ģ tku współrz ħ dnych). Zatem
droga to hodograf poło Ň enia. Zagadnienie drogi warto tak Ň e porówna ę z zagadnieniem długo Ļ ci łuku krzywej w
matematyce.
1.2.1.7. Szybko Ļę Ļ rednia
Szybko Ļę Ļ rednia v Ļ r w czasie od t 1 do t 2 to droga przez czas, w jakim została przebyta.
v
(t
®
t
)
=
s
(t
1
®
t
)
(1.2.1.7.1)
Ļ r
1
2
t
−
t
2
1
1.2.1.8. Przy Ļ pieszenie
Przy Ļ pieszenie )
C
(
t
– szybko Ļę zmiany pr ħ dko Ļ ci (po angielsku: ‘ The acceleration vector is the rate of change of
the velocity’ ) .
a
(t)
=
d v
C
(t)
(1.2.1.8.1)
dt
1.2.1.9. Przy Ļ pieszenie styczne
Uwaga! Najpierw definicja modułu przy Ļ pieszenia stycznego a s (t), czyli szybko Ļ ci (szybko Ļę to angielskie ‘ rate’ )
zmiany szybko Ļ ci v(t) (w tym przypadku szybko Ļę to angielskie ‘ speed’ ; ‘ The acceleration is the rate of change of
the speed’ ):
a s =
(t)
dv(t)
(1.2.1.9.1)
dt
2
C
718247127.002.png 718247127.003.png 718247127.004.png
Mechanika
5
Wersor przy Ļ pieszenia stycznego jest to Ň samy z wersorem pr ħ dko Ļ ci (poniewa Ň wektor przy Ļ pieszenia stycznego jest
równoległy do wektora pr ħ dko Ļ ci ), zatem przy Ļ pieszenie styczne mo Ň na wyrazi ę nast ħ puj Ģ co:
a s
(t)
=
dv(t)
v
C
(1.2.1.9.2)
dt
v
1.2.1.10. Przy Ļ pieszenie do Ļ rodkowe
Przy Ļ pieszenie do Ļ rodkowe
C jest prostopadłe do toru ruchu . Suma przyspieszenia stycznego i przyspieszenia
do Ļ rodkowego to przyspieszenie (wypadkowe). Z tego wzgl ħ du przyspieszenie do Ļ rodkowe okre Ļ la nast ħ puj Ģ ca
zale Ň no Ļę :
(
t
)
a
(t)
=
a
C
(t)
−
a
(t)
(1.2.1.10.1)
d
s
1.2.1.11. Promie ı krzywizny
Wyra Ň enie na promie ı krzywizny zostało ustalone w oparciu o do Ļ wiadczenie nabyte podczas rozwa Ň ania ruchu po
okr ħ gu.
Teoria ruchu po okrħgu
PołoŇenie w ruchu po okrħgu wyraŇa siħ nastħpujĢco:
r
(t)
=
R
c
os
Ƀ
t
i
+
R
s
in
Ƀ
t
j
( 1.2.1.11.1 )
Rys. 1.8. Ruch po okrħgu.
PrħdkoĻę – pochodna połoŇenia - w ruchu po okrħgu przyjmuje postaę:
j
C
d
r
(t)
v
(t)
=
=
−
R Ƀ
sin
Ƀ
t
i
+
R Ƀ
cos
Ƀ
t
( 1.2.1.11.2 )
dt
Natomiast przyĻpieszenie – pochodna prħdkoĻci – wyraŇa siħ nastħpujĢco:
C
d
C
(t)
C
a
(t)
=
=
−
R Ƀ
2
cos
Ƀ
t
i
−
R Ƀ
2
sin
Ƀ
t
j
=
−
r
(t)
Ƀ
2
( 1.2.1.11.3 )
dt
Zatem przyĻpieszenie ma kierunek taki sam co połoŇenie, ale przeciwny zwrot, i jest skierowane w
kierunku do Ļrodka okrħgu. Gdyby nie był to ruch jednostajny, przyspieszenie miałoby inny kierunek.
W ruchu po okrħgu prħdkoĻę jest prostopadła do połoŇenia, co moŇna łatwo sprawdzię obliczajĢc
iloczyn skalarny tych wektorów, i przekonujĢc siħ, Ňe wynosi on zero.
W ruchu jednostajnym po okrħgu połoŇenie jest toŇsame z promieniem krzywizny. PosługujĢc siħ
modułami promienia krzywizny, prħdkoĻci i przyĻpieszenia moŇna sformułowaę nastħpujĢcy zwiĢzek:
v
2
(1.2.1.11.4)
a
=
r Ƀ
2
=
r
Uogólniaj Ģ c wyra Ň enie (1.2.1.11.4) na dowolny ruch krzywoliniowy otrzymuje si ħ :
v
2
v
2
(1.2.1.11.5)
a
=
ȾɃ
2
=
¼
Ⱦ
=
r
a
Uwzgl ħ dniaj Ģ c fakt, Ň e wersor promienia krzywizny ma zwrot przeciwny do zwrotu wersora przy Ļ pieszenia ,
otrzymujemy:
C
v
2 C
a
(1.2.1.11.6)
Ⱦ
(t)
=
(
−
d
)
a
a
d
d
Przykład konfiguracji przestrzennej poło Ň enia , przy Ļ piesze ı , pr ħ dko Ļ ci i promienia krzywizny w ruchu
krzywoliniowym przedstawiony jest na rys. 1.2.1.11.2.
C
a d
C
C
C
C
718247127.005.png 718247127.006.png 718247127.007.png 718247127.008.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin